二次函数的提高与拓展训练

一.提高训练

1．当m=_______时，y=（m－3）xm23m2+mx+1是二次函数．

2．若矩形的周长是8，则这个矩形的面积y与一边长x的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______．

3．半径为9cm的圆面上，挖去半径为xcm的圆面，剩下一个面积为ycm2的圆环，•则y与x之间的函数关系式为（ ） A．y=－x2+81 B．y=（x－9）2 C．y=－x2+9 D．y=－x2+81

4．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=60°，梯形

的周长为60，设腰AB=x，梯形面积为y．

（1）写出y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （2）当x=15时，求y的值．

5．如图，已知矩形的长为3，宽为2，现在矩形上截去一个边长为x的正方形，求：

（1）余下部分的面积y关于x的函数表达式； （2）当x=1时，y的值；

（3）当x为何值时，余下部分的面积是截去部分面积的2倍

1

6．已知函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数），问当a，b，c满足什么条件时，

（1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数？

谈谈你的看法，和同学一起交流．

7．如图，桥拱是抛物线形状，其函数解析式为y=－x2，当水位线在AB位置时，

41•水面的宽为12m，此时水面离桥顶的高度h是____．

8．在抛物线y=ax2的图象上有一点P的坐标是（a，8），则a的值为（ ）

A．2 B．－2 C．±2 D．±2 9．已知二次函数y=a2x2（a≠0），当x1=

22，x2=1－2，x3=0.4时，y

的对应值分别为y1，y2，y3，•请用“<”把y1，y2，y3连结起来． 10．已知函数y=（2+k）x

kk42是关于x的二次函数，求：

2

（1）满足条件的k的值；

（2）k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标．此时x为何值时，y•随x的增大而增大？

（3）k为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？此时x为何值时，y随x•的增大而减小？

11．已知正方形的周长为C（cm），面积为S（cm2）．

（1）求S关于C的函数解析式，以及自变量C的取值范围； （2）画出函数的图象；

（3）根据图象，求当S=1cm2时，正方形的周长．

12．如图，直线L过A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y=ax2的图象在第一象限内相交于点P，若△AOP的面积为，求这

29个二次函数的解析式．

213．已知抛物线y=－（x+m）的顶点在直线y=－2x+6上，则m=______．

3

14．抛物线y=a（x+m）2（a≠0）与坐标轴交点的个数（ ） A．必定是一个 B．必定是两个

C．必定是三个 D．可以是一个也可以是两个

15．在同一坐标系中画出函数y=x2，y=（x+3）2，y=（x-3）2-1

222111的图象，并回答：

2

（1）函数y=（x+3）的图象可由抛物线y=x怎样平移得到？

1122 （2）函数y=x2的图象可由抛物线y=（x－3）2－1怎样平移

2211得到？

（3）函数y=（x+3）2－1的图象可由抛物线y=（x－3）2怎

2211样平移得到？

16．抛物线y=2（x－2）2－6的顶点为C，且直线y=－kx+3经过点C．求这条直线与两坐标轴所围成的三角形的面积．

17．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，－4），且过点B（3，0）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）将该二次函数的图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．

4

18．将抛物线y=x2+bx+c先向右平移3个单位，再向下平移2•个单位得到的抛物线是y=x2－3x+5，则有（ ） A．b=3，c=7 B．b=－9，c=－15 C．b=3，c=3 D．b=－9，c=21

19．若抛物线y=x2－2x+c与y轴的交点为（0，－3），则下列说法不正确的是（ ）

A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线x=1

C．当x=1时，y的最大值为－4 D．抛物线与x轴的交点为（－1，0），（3，0）

20．已知抛物线y=x2－（a+2）x+9的顶点在坐标轴上，求a的值．

21．抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（－2，0），B（，0），与y

21轴交于点C（0，-1）．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）在这条抛物线上有一点M（x，y），（x>0，y>0），且四边形ACBM的面积为

258，求点M的坐标．

5

22．在同一平面内，把抛物线y=3+2x－x2绕它的顶点旋转180°，求

所得的新图象所对应的函数关系式．

23．已知抛物线y=ax2+bx的顶点在第二象限，试确定a，b的符号．

24．已知二次函数y=x2－4x－a，下列说法正确的是（ ） A．当x<0时，y随x的增大而减小 B．若图象与x轴有交点，则a≤4

C．当a=3时，不等式x2－4x+a>0的解集是1D．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，－2），则a=－3

25．二次函数y=ax2+bx+c中，b2=4ac，且x=0时，y=－4，则（ ） A．y最大=－4 B．y最小=－4 C．y最大=0 D．y最小=0 26．如图，抛物线y=ax2+bx+1与x轴相交于点A，B两点，与y轴相交于点C，如果OB=OC=OA，

21那么b的值为（ ）

A．－2 B．－1 C．－ D．

221127．已知抛物线y=4x2－11x－3．

6

（1）求它的对称轴；（2）求它与x轴，y轴的交点坐标．

28．抛物线y=x2－5x+6与x轴的两个交点分别为A，B，与y轴的交

点为C，求△ABC的面积．

29．已知方程ax2+bx+c=0的两根分别是－1和3，抛物线y=ax2+bx+c

与过点M（3，2）•的直线y=kx+m有一个交点N（2，3），求直线和抛物线的解析式．

30．如图，已知抛物线y=2x2－4x+m与x轴交于不同的两点A，B，其顶点是C，•点D是抛物线的对称轴与x轴的交点． （1）求实数m的取值范围；

（2）求顶点C的坐标和线段AB的长度（用含有m的式子表示）； （3）若直线y=2x+1分别与x轴，y轴于点E，F．问△BDC与

△EOF是否有可能全等？如果可能，请证明；如果不可能，请说明理由．

7

31．抛物线y=x2+bx+c与x轴的正半轴交于 A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB的 长为1，△ABC的面积为1，则b的值是_____．

32．如图，已知正方形ABCD的边长为1，E，F，G，H•分别为各边上的点，•且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE=x，则S关于x的函数图象大致是（ ）

33．如图，在周长为400m且两端为半圆形 的跑道上，要使矩形内部操场的面积最大， 直线跑道的长应为多少米？

34．如图，有长为24m的篱笆，其中一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）．围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x，面积为Sm2． （1）求S关于x的函数关系式；

（2）如围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？

8

（3）能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．

35．有一个抛物线的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的图形放在坐标系中（如图）．若在离跨度中心M点5m处垂直竖立一铁柱支撑拱顶，这根铁柱应取多长？

36．已知抛物线的解析式为y=2x2+3mx+2m， （1）求该抛物线的顶点坐标（x0，y0）；

（2）以x0为自变量，写出自变量y0与x0之间的关系式； （3）当m为何值时，抛物线的顶点位置最高？

37．某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售产品的总开支（不含进价）总计120

9

万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式如图2－4－9所示． （1）求y关于x的函数关系式；

（2）试写出该公司销售该种产品的年获利额Z（万元）关于销售单价x（元）•的函数关系式．当销售单价x为何值时，年获利额最大？并求出这个最大值；（注：年获利额=年销售额－年销售产品总进价－年总开支）

（3）若公司希望该种产品一年的销售获利额不低于40万元，借助（2）•中的函数图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围，在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？ 38．如图，图中四个函数的图象分别对应的解析式是①y=ax2；②y=bx2；•③y=cx2；④y=dx2．则a，b，c，d的大小关系为（ ） A．a>b>c>d B．ac>b>d D．d>c>b>a

39．（如上图所示）为备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队

员在距离球门12m处挑射，•正好射中了2．4m高的球门横梁，若足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c．•有下列结论：①a+b+c>0；②－

1600；④010

确的结论是（ ）

A．①② B．①④ C．②③ D．②④

40．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC向点C以2cm/s的速度移动，回答下列问题：

（1）设运动后开始第t秒时，五边形APQCD的面积为S（单位：厘米2），写出S与t•之间的函数关系式，并求出自变量t的取值范围；

（2）t为何值时S最小？并求出S的最小值．

41．如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B，C，Q，R在同一直线L上，当C，Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线L•按箭头方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR•重合部分的面积为S（单位：cm2）． （1）当t=3s时，求S的值； （2）当t=5s时，求S的值；

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（3）当5≤t≤8时，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．

42．如图，甲船位于乙船的正西方向26km处，现甲、乙两船同时出发，甲船以每小时12km的速度朝正北方向行驶，乙船以每小时5km的速度朝正西方向行驶，•何时两船相距最近？最近距离是多少？

43．如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，截取AE=BF=DG=x，已知AB=6，CD=3，AD=4，求：

（1）四边形CGEF的面积S关于x的函数关系式和x的取值范围； （2）面积S是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；

（3）当x为何值时，S的数值等于x的4倍？

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44．抛物线y=ax2+2ax+a2+2图象的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴的交点坐标是______．

45．一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为－3，1，则抛物线y=ax2+bx+c

的对称轴是（ ）

A．直线x=2 B．直线x=－2 C．直线x=1 D．直线x=－1

y5x12,46．利用函数图象求下列方程组的解： 2yxx.

47．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根； （2）写出当y>0时，x的取值范围；

（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；

（4）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

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48．已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的顶点是C（0，1），直线L：y=

－ax+3•与这条抛物线交于P，Q两点，与x轴，y轴分别交于点M和N．

（1）设点P到x轴的距离为2，试求直线L的函数关系式； （2）若线段MP与PN的长度之比为3：1，试求抛物线的函数关系式．

49．如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长

BC为8m，•宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y，建立平面直角坐标系，y•轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m． （1）求抛物线的解析式；

（2）一辆卡车高4.5m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？

（3）如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道E中间设有

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0.4m的隔离带，•则该辆卡车还能通过隧道吗？

50．（10分）足球场上守门员在O处踢出一高球，球从地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线的形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半。

（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；

（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（43取7）

（3）运动员乙要抢先到达第二个落地点D，他应再向前跑多少米？（26取5）

y421MNABCDxO

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二、拓展训练

1．利用图象解一元二次方程x2－2x－1=0时，我们采用的一种方法是：•在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．

（1）请再给出一种利用图象求方程x2－2x－1=0的解的方法； （2）已知函数y=x3的图象（如图2－4－28），求方程x3－x－2=0的解．（结果保留两个有效数字）

2．已知关于x的二次函数y=x－mx+

2

m122与y=x－mx－

2

m222，这

两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A，B两个不同的点． （1）试判断哪个二次函数的图象不能经过A，B两点； （2）若A点的坐标为（－1，0），试求出B点坐标；

（3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x为何值时，y随x•的增大而减小？

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3．某商场从玩具厂进了一批高档玩具，每个玩具进价是160元，该

商场的售价可自行确定，若每个定价为x元时，可卖出（4800－20x）个，在这种情况下，•为获得最大利润，应该把每个玩具的售价定为多少？最大利润是多少？

4．如果一条抛物线的形状与y=－x2+2的形状相同，且顶点坐标是

31（4，－2），•试求这条抛物线的函数解析式．

5．已知二次函数y=3x2－2，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相

等，求当x取x1+x2时，函数值为多少？

6．请说说二次函数y=－x2的图象与二次函数y=x的图象有什么相同的地方和不同的地方．

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7．请设计一个二次函数，使得函数的二次项系数为1，且当x=1时，y=2．

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