深圳中学2022-2023学年度第一学期期中考试试题
年级：高二 科目：数学
命题人：金朝阳 审题人：贺汇雅 考试时长：120分钟 卷面总分：150分
注意事项：
1、答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效。选择题作答必须用2B铅笔， 修改时用橡皮擦干净。
一、 单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分） 1．在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，在𝑦轴上截距为−1且倾斜角为4的直线方程为
A．𝑥+𝑦+1=0 C．𝑥−𝑦+1=0
B．𝑥+𝑦−1=0 D．𝑥−𝑦−1=0
3𝜋
2．圆𝑥2+𝑦2+𝑎𝑥=0的圆心横坐标为1，则𝑎等于
A．1
B．2
C．−1
D．−2 3．在递增的等差数列{𝑎𝑛}中，已知𝑎4与𝑎6是方程𝑥2−10𝑥+24=0的两个根，则𝑎20=
A．19 B．20 C．21 D．22 4．等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑎2=3, 𝑆5=25，则𝑎8=
A．13 B．14 C．15 D．16 5．已知点𝐴(−2,−1)，𝐵(3,0)，若点𝑀(𝑥,𝑦)在线段𝐴𝐵上，则𝑥+1的取值范围
A．(−∞,−2]∪[3,+∞) C．(−∞,−1]∪[3,+∞)
1
𝑦−2
B．[−2,3] D．[−1,3]
1
2
6．已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛=𝑎𝑛−1⋅𝑎𝑛+1 (𝑛≥2)，若𝑎2=3, 𝑎2+𝑎4+𝑎6=21，则𝑎4+𝑎6+𝑎8=
A．84 B．63 C．42 D．21
7．直线2𝑥+𝑦−1=0与直线𝑥−2𝑦−3=0交于点𝑃，则点𝑃到直线𝑘𝑥−(𝑘+1)𝑦+1+2𝑘=0（𝑘∈𝑅）的最大距离为
A．√2
B．2√2 C．3√2 D．4√2 8．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个……按照此规律，12小时后细胞存活个数
A．2048
B．2049
C．4096
D．4097
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二、多项选择题（共4小题，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分） 9．已知𝑏∈𝑅，圆𝐶1:(𝑥−1)2+(𝑦−𝑏)2=4，𝐶2:𝑥2+𝑦2=1，则
A．两圆可能外离 C．两圆可能内切
B．两圆可能相交 D．两圆可能内含
10．已知公差大于0的等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑎9=𝑆17，下列说法正确的是
A．𝑎8=0
B．𝑎9=0
C．𝑎1=𝑆16 D．𝑆8>𝑆10
11．已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，则下列说法正确的是
A．若𝑆𝑛=2𝑛2−3，则{𝑎𝑛}是等差数列
B．若{𝑎𝑛}是等差数列，且𝑎3=5，𝑎2+𝑎10=2，则数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛有最大值 C．若等差数列{𝑎𝑛}的前10项和为170，前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9：8，则公差为2
D．若{𝑎𝑛}是等差数列，则三点(10,
𝑆10
2030
)、(20,20)、(30,30)共线 10
𝑆𝑆
12．设圆𝐶:(𝑥−3)2+(𝑦−4)2=9，过点𝑃(1,2)的直线𝑙与𝐶交于𝐴，𝐵两点，则下列结论正确的为
A．𝑃可能为𝐴𝐵中点
C．若|𝐴𝐵|=2√5，则𝑙的方程为𝑦=2 三、填空题（共4小题，每空5分，共20分）
13．数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，𝑆𝑛=2𝑎𝑛−1，则{𝑎𝑛}的通项公式𝑎𝑛=_____． 14．过点𝐴(1,2)且与两定点(2,3)、(4,−5)等距离的直线方程为_____． 15．数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑎𝑛=𝑛，则𝑆+𝑆+⋯+𝑆=_____．
1
2
𝑛
B．|𝐴𝐵|的最小值为3 D．△𝐴𝐵𝐶的面积最大值为
29
111
16．已知圆 𝐶:𝑥2+𝑦2−2𝑎𝑥+4𝑦=0关于直线𝑥+3𝑦+2=0对称，𝑃(𝑥,𝑦)为圆𝐶上一点，则
2𝑥−𝑦的最大值为_____．
四、解答题（共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分） 17．已知直线𝑙：𝑥−𝑘𝑦+2+𝑘=0(𝑘∈𝑅)． （1）若直线不经过第一象限，求𝑘的取值范围； ．．．
（2）若直线𝑙交𝑥轴负半轴于𝐴，交𝑦轴正半轴于𝐵，△𝐴𝑂𝐵的面积为𝑆（𝑂为坐标原点），求𝑆的最小值和此时直线𝑙的方程．
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18．在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐,(𝑠𝑖𝑛𝐴−𝑠𝑖𝑛𝐶)2=sin2𝐵−𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐶． （1）求𝐵；
（2）若𝑏=1，△𝐴𝐵𝐶的面积为4，求△𝐴𝐵𝐶的周长．
19．已知等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，数列{𝑏𝑛}为等比数列，满足𝑎1=𝑏2=2，𝑆5=30， 𝑏4+2是𝑏3与𝑏5的等差中项． （1）求数列{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}的通项公式；
（2）若𝑐𝑛=𝑎𝑛⋅𝑏𝑛，𝑇𝑛是数列{𝑐𝑛}的前𝑛项和，求𝑇𝑛．
20．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，已知𝐴𝐵=2，𝐴𝐶=6√2，∠𝐵𝐴𝐶=45°，𝐵𝐶边上的中线为𝐴𝑀． （1）求𝐴𝑀的值； （2）求𝑠𝑖𝑛∠𝐵𝐴𝑀．
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√321．数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=2，𝑎𝑛+1=
𝑎
𝑛+12𝑛
𝑎𝑛 (𝑛∈𝑁∗)．
（1）证明数列{𝑛}是等比数列，并求数列{𝑎𝑛}的通项公式；
𝑛
（2）设𝑏𝑛=
𝑎𝑛4𝑛−𝑎𝑛
，若数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和是𝑇𝑛，求证：𝑇𝑛<2．
22．函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥−4)−1(𝑎>0，𝑎≠1)所经过的定点为(𝑚 , 𝑛)，圆𝐶的方程为 (𝑥−𝑚)2+(𝑦−𝑛)2=𝑟2 (𝑟>0)，直线√3𝑥+𝑦+1−2√3=0被圆𝐶所截得的弦长为√73． （1）求𝑚，𝑛以及𝑟的值；
（2）设点𝑃(2 , −1)，探究在直线𝑦=−1上是否存在一点𝐵（异于点𝑃），使得对于圆𝐶上任意一点𝑇到𝑃，𝐵两点的距离之比|在，请说明理由．
|𝑇𝐵|𝑇𝑃|
=𝑘 (𝑘为常数)．若存在，请求出点𝐵坐标以及常数𝑘的值，若不存
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