八年级上二次根式

二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识要点梳理

知识点一、二次根式的主要性质： 1.

； 2.

； 3.

； .

；

4. 积的算术平方根的性质： 5. 商的算术平方根的性质： 6.若

，则

.

知识点二、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算

(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理； (3) 乘法公式的推广：

2．二次根式的加减运算 先化简，再运算，

3．二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 二、分类练习与讲解： 1、 二次根式的概念

我们把形如a(a0)的式子叫做二次根式，

如3,1,32,x21,x1(x1)等，都是二次根式

5注意：① 二次根式都含有二次根号\"\"；

② 在二次根式中，被开方数a必须满足a0，当a0时，根式无意义； ③ 在二次根式中，a可以是数也可以是一个代数式； ④ 二次根式a(a0)是a的算术平方根，所以a0。 例1、当x为任意实数时，下列各式有意义的是（ ）

A．2x B．

1 C．2xx23 D．(3x100)2

例2、当x为何值时，下列各式有意义？

⑪

x21； ⑫

3x1 1xa(a0)2、 二次根式的性质性质：a2a a(a0)注意：性质aa表明：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，需注意的是a2不是等于a，而

是等于a，再根据a的正、负确定最后的结果。

例3 已知x2，则x24x4的结果是______________

2

例4 已知x满足2005xx2006x，那么x20052的值为（ ）

A．2004 B．2005 C．2006 D．2007 练习：二次根式的意义及性质

题组1：（二次根式的识别：式子a（a0），叫做二次根式） 1．下列各式中一定是二次根式的是（ ）

A．x21 B．25 C．4 D．1x 2．下列各式中，是二次根式的有_____________________________。（填序号） ①7； ②9； ③a2； ④x22； ⑤3； ⑥52； ⑦2x21； ⑧2n21； ⑨2x1； ⑩39；

3．下列各式中，是二次根式的有_____________________。（填序号） ①a； ②a； ③2a2； ④a2； ⑤a21； ⑥a21； ⑦4．若0x1，则下列各式中，是二次根式的是（ ） A．x1 B．x2 C．5； 31x D．x1 x2题组2：（二次根式有意义的条件）

1．当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

（1）a2___________；（2）3a__________；（3）5a_________；（4）a______。 2．当x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）32x______；（2）12x1______；（3）42x_________；（4）x23_______； x13．已知y2xx25，则x2y的值是_______________。 题组3：（二次根式的性质：a0）

1．若|x2|y30，则3xy的值是_________；

2．若2x1y2，则2x1题组4：（二次根式的性质：

13y的值是___________。

a2a(a0)，a2|a|）

1．计算：

32=_____；32=_______；0.2222=______；3=_______；

22．在实数范围内因式分解：（1）x22=_________________；（2）x49=________________。 3．0.32=______；

223=________；10=_______；

23.142=___________。

4．若5．若12x22x1，则x的取值范围是____________。 32x，则x的取值范围是____________。

32x26．已知a,b,c是三角形的三边，则abc2abc2的值为（ ）

A．2b B．2b C．a2c D．2c2a

7．已知18n是整数，则自然数n的值是____________。若32n是整数，则正整数n的最小值是_________ 3、 二次根式的乘除法法则

（1）一般地，对二次根式的乘法规定

abab(a0,b0)。 aba(a0,b0)。 b 对二次根式的除法规定 （2）二次根式的乘法法则的逆用

把abab(a0,b0)反过来，就得到abab(a0,b0)

把

abaaa(a0,b0)反过来，就得到(a0,b0) bbb3221323 （2）5例5 计算 （1）

（3）14112 （4）

1232131253024a3b(a )4b

4、 最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。 ⑪ 被开方数不含分母；⑫ 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 例如50可化简为52，例6、化简

⑪

23可化简为

63等，

12； ⑫

4x3； ⑬ m4m2n2(m0)； ⑭

132

例7 化简：将a2m3b2n1化为最简根式

5、二次根式的加减法 （1） 同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。 例8 在二次根式①12；②23；③

2；④27中，与3是同类二次根式的是（ ） 3 A．①，③ B．②，③ C．①，④ D．③，④ （2） 二次根式的加减法

二次根式的加减，与整式的加减相类似，只需对同类二次根式进行合并，并且计算的结果一定要化为最简。 例9 22850的結果是______________. 例10 已知a3b2，化简

a24a4b24b4

3、二次根式的混合运算

⑪ 二次根式的混合运算顺序与整式混合运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的。 ⑫ 在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式依然适应。 例11、计算 ⑪

⑫ (62)(63)； ⑭ (232)2

3(68)； ⑫ 433623；

三、课堂练习

1、若二次根式33ab与

(ab)4b是同类二次根式，求a,b的值。

2、设a32，b23，c52，则a,b,c的大小关系是（ ） A．abc B．acb C．cba D．bca 3、下列各组代数式中，互为有理化因式的是（ ） A．a23 与 3a2 B．ab 与 ab

C．2a 与

a2 D．

a与2a

4、已知2x5，化简(x2)2(x5)2________________.

5、当x满足___________条件时，

2x在实数范围内有意义。 6、如果代数式a1ab有意义，那么直角坐标系中点A(a,b)的位置在（ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7、计算 2bab5(33b12ab)3aab

8、已知x372，a是x的整数部分，b是x的小数部分，求

abab的值。

）

一、填空题：

1．当x________时，式子

1x2有意义．

2．若b＜0，化简ab3的结果是________． 3．在12,1,8,27中，与3是同类二次根式的是________． 35．若x52,则代数式x2－4x＋3的值是________． 6．不等式(13)x13的最大整数解为________．

二、选择题：

7．下列各式的计算中，正确的是( )．

(A)（4）（9）4(9)6 (C)4124028119 8．若(x＋2)2＝2则x等于( )． (A)24

(B)24

(C)22

(D)22

(B)3242347 (D)8a4b4a2b

9．若a、b两数满足b＜0＜a且｜b｜＞｜a｜，则下列各式有意义的是( )． (A)ab

(B)ba

(C)ab

(D)ab

10．若|ab23|(ab22)20,则ab的值为( )．

(A)－1

三、计算题：

11．4246543962150.

13．(21)7(21)8.

14．2ba33bab(4a9ab). baa(B)1 (C)32 (D)23

12．(32)(23).

15．

a33aab5(ab)3 b2b16．(x2x38x3)8x 4

四、解答题：

17．已知x

175，y175，求x2＋xy＋y2的值．

3x2y1，18．解方程组：

2x3y0,