数学试卷
（考试时间120分钟，满分150分）
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．﹣8的绝对值是（ ） A．8
B．
C．﹣8
D．﹣
2．下列运算正确的是（ ）
A．a12÷a3＝a4 B．（3a2）3＝9a6 C．2a•3a＝6a2 D．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2 3．如图是由6个大小相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列调查适合采用抽样调查的是（ ）
A．某公司招聘人员，对应聘人员进行面试 B．调查一批节能灯泡的使用寿命 C．为保证火箭的成功发射，对其零部件进行检查 D．对乘坐某次航班的乘客进行安全检查 5．将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝130°，则∠BFG的度数为（ ）
A．130°
B．120°
C．110°
D．100°
6．某校七年级举办“诵读大赛”，10名学生的参赛成绩分别为：85分，90分，94分，85分，90分，95分，90分，96分，95分，100分，则这10名学生成绩的众数是（ ） A．85分
B．90分
C．92分
D．95分
7．若ab＜0且a＞b，则函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
1
A． B． C． D．
8．某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路x公里，根据题意列出的方程正确的是（ ） A．C．
﹣
﹣
＝60
B．D．
﹣﹣
＝60 ＝60
＝60
9．如图，直线EF是矩形ABCD的对称轴，点P在CD边上，将△BCP沿BP折叠，点C恰好落在线段AP与EF的交点Q处，BC＝4
，则线段AB的长是（ ）
A．8
B．8
C．8
D．10
10．一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：
①A，B两村相距10km； ②出发1.25h后两人相遇；
③甲每小时比乙多骑行8km； ④相遇后，乙又骑行了15min或65min时两人相距2km． 其中正确的个数是（ ） A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
第二部分 非选择题（共120分）
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．今年全国高考报考人数是10310000，将10310000科学记数法表示为 ． 12．已知正多边形的一个外角是72°，则这个正多边形的边数是 ．
13．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中黑色区域的概率是 ．
2
14．6﹣
的整数部分是 ．
的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，
15．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是∠OCD＝35°，那么∠OED＝ ．
16．某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车 （填“超速”或“没有超速”）（参考数据：
≈1.732）
17．如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO，CO分别在x轴，y轴上，A点的坐标为（﹣8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，P点坐标为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3…△AnBn∁n都是等腰直角三角形，点B，B1，B2，B3…Bn都在x轴上，点B1与原点重合，点A，C1，C2，C3…∁n都在直线l：y＝
x+
上，点C在y轴上，AB∥A1B1∥A2B2∥…∥AnBn∥y轴，AC∥A1C1∥A2C2
∥…∥An∁n∥x轴，若点A的横坐标为﹣1，则点∁n的纵坐标是 ．
3
四、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分） 19．（10分）先化简，再求值：（
+
）÷
，其中x＝3tan30°﹣（
）1+
﹣
．
20．（12分）我市某校准备成立四个活动小组：A．声乐，B．体育，C．舞蹈，D．书画，为了解学生对四个活动小组的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中必须选择而且只能选择一个小组，根据调查结果绘制如下两幅不完整的统计图．
请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽查了 名学生，扇形统计图中的m值是 ； （2）请补全条形统计图；
（3）喜爱“书画”的学生中有两名男生和两名女生表现特别优秀，现从这4人中随机选取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）为了进一步丰富校园活动，学校准备购买一批足球和篮球，已知购买7个足球和5个篮球的费用相同；购买40个足球和20个篮球共需3400元． （1）求每个足球和篮球各多少元？
（2）如果学校计划购买足球和篮球共80个，总费用不超过4800元，那么最多能买多少个篮球？ 22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边BC交x轴于点D，AD⊥x轴，反比例函数y＝
（x＞0）的图象经过点A，点D的坐标为（3，0），AB＝BD．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点P为y轴上一动点，当PA+PB的值最小时，求出点P的坐标．
五、解答题（满分12分）
4
23．（12分）我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
六、解答题（满分12分）
24．（12分）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若CE＝AE＝2
，求阴影部分的面积．
七、解答题（满分12分） 25．（12分）如图1，△ABC（于点F．
（1）∠AFD与∠BCE的关系是 ；
（2）如图2，当旋转角为60°时，点D，点B与线段AC的中点O恰好在同一直线上，延长DO至点G，使OG＝OD，连接GC．
①∠AFD与∠GCD的关系是 ，请说明理由；
②如图3，连接AE，BE，若∠ACB＝45°，CE＝4，求线段AE的长度．
AC＜BC＜AC）绕点C顺时针旋转得△DEC，射线AB交射线DE
5
八、解答题（满分14分）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上． （1）求抛物线解析式；
（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．﹣8的绝对值是（ ） A．8
B．
C．﹣8
D．﹣
【知识考点】绝对值．
【思路分析】根据绝对值是实数轴上的点到原点的距离，可得答案． 【解题过程】解：﹣8的绝对值是8． 故选：A．
【总结归纳】本题考查了绝对值，正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0．
6
2．下列运算正确的是（ ）
A．a12÷a3＝a4 B．（3a2）3＝9a6 C．2a•3a＝6a2 D．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2 【知识考点】整式的混合运算．
【思路分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，本题得以解决． 【解题过程】解：∵a12÷a3＝a9，故选项A错误， ∵（3a2）3＝27a6，故选项B错误， ∵2a•3a＝6a2，故选项C正确，
∵，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项D错误， 故选：C．
【总结归纳】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法． 3．如图是由6个大小相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【知识考点】简单组合体的三视图．
【思路分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可．
【解题过程】解：左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，2． 故选：D．
【总结归纳】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置． 4．下列调查适合采用抽样调查的是（ ）
A．某公司招聘人员，对应聘人员进行面试 B．调查一批节能灯泡的使用寿命 C．为保证火箭的成功发射，对其零部件进行检查 D．对乘坐某次航班的乘客进行安全检查 【知识考点】全面调查与抽样调查．
【思路分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解题过程】解：A、某公司招聘人员，对应聘人员进行面试适合采用全面调查； B、调查一批节能灯泡的使用寿命适合采用抽样调查；
C、为保证火箭的成功发射，对其零部件进行检查适合采用全面调查； D、对乘坐某次航班的乘客进行安全检查适合采用全面调查； 故选：B．
【总结归纳】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，
7
应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5．将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝130°，则∠BFG的度数为（ ）
A．130°
B．120°
C．110°
D．100°
【知识考点】平行线的性质．
【思路分析】依据平行线的性质，即可得到∠BFE的度数，再根据三角形内角和定理，即可得到∠EFG的度数，进而得出∠BFG的度数． 【解题过程】解：∵AD∥BC，∠1＝130°， ∴∠BFE＝180°﹣∠1＝50°， 又∵∠EGF＝90°，∠FEG＝30°， ∴∠EFG＝60°，
∴∠BFG＝50°+60°＝110°， 故选：C．
【总结归纳】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补． 6．某校七年级举办“诵读大赛”，10名学生的参赛成绩分别为：85分，90分，94分，85分，90分，95分，90分，96分，95分，100分，则这10名学生成绩的众数是（ ） A．85分
【知识考点】众数．
【思路分析】利用众数的定义求解即可． 【解题过程】解：数据90出现了3次，最多， 所以众数为90分， 故选：B．
【总结归纳】考查了众数的定义：一组数据中出现次数最多的数是众数，难度不大． 7．若ab＜0且a＞b，则函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
B．90分
C．92分
D．95分
A． B． C． D．
【知识考点】一次函数的图象．
【思路分析】利用ab＜0，且a＞b得到a＞0，b＜0，然后根据一次函数图象与系数的关系进行判断．
【解题过程】解：∵ab＜0，且a＞b， ∴a＞0，b＜0，
8
∴函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限． 故选：A．
【总结归纳】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
8．某施工队承接了60公里的修路任务，为了提前完成任务，实际每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前60天完成了这项任务．设原计划每天修路x公里，根据题意列出的方程正确的是（ ） A．C．
﹣
﹣
＝60
B．D．
﹣﹣
＝60 ＝60
＝60
【知识考点】由实际问题抽象出分式方程．
【思路分析】设原计划每天修路x公里，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合提前60天完成任务，即可得出关于x的分式方程．
【解题过程】解：设原计划每天修路x公里，则实际每天的工作效率为（1+25%）x公里， 依题意得：故选：D．
【总结归纳】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
9．如图，直线EF是矩形ABCD的对称轴，点P在CD边上，将△BCP沿BP折叠，点C恰好落在线段AP与EF的交点Q处，BC＝4
，则线段AB的长是（ ）
﹣
＝60．
A．8
B．8
C．8
D．10
【知识考点】矩形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）． 【思路分析】由题意得：BF＝
BC，EF∥AB，由平行线的性质得出∠ABQ＝∠BQF，由折叠的
BQ，证出∠BQF＝30°，
AQ＝4
，
性质得：∠BQP＝∠C＝90°，BQ＝BC，得出∠AQB＝90°，BF＝
得出∠ABQ＝30°，在Rt△ABQ中，由直角三角形的性质得出AB＝2AQ，BQ＝即可得出答案．
【解题过程】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°， 由题意得：BF＝
BC，EF∥AB，
9
∴∠ABQ＝∠BQF，
由折叠的性质得：∠BQP＝∠C＝90°，BQ＝BC， ∴∠AQB＝90°，BF＝∴∠BQF＝30°， ∴∠ABQ＝30°，
在Rt△ABQ中，AB＝2AQ，BQ＝∴AQ＝4，AB＝8； 故选：A．
【总结归纳】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、轴对称的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证出∠ABQ＝30°是解题的关键．
10．一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：
AQ＝4
，
BQ，
①A，B两村相距10km； ②出发1.25h后两人相遇；
③甲每小时比乙多骑行8km； ④相遇后，乙又骑行了15min或65min时两人相距2km． 其中正确的个数是（ ） A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【知识考点】一次函数的应用．
【思路分析】根据图象与纵轴的交点可得出A、B两地的距离，而s＝0时，即为甲、乙相遇的时候，同理根据图象的拐点情况解答即可． 【解题过程】解：
由图象可知A村、B村相离10km，故①正确，
当1.25h时，甲、乙相距为0km，故在此时相遇，故②正确，
当0≤t≤1.25时，易得一次函数的解析式为s＝﹣8t+10，故甲的速度比乙的速度快8km/h．故③正确
当1.25≤t≤2时，函数图象经过点（1.25，0）（2，6）设一次函数的解析式为s＝kt+b 代入得∴s＝8t+10
当s＝2时．得2＝8t﹣10，解得t＝1.5h 由1.5﹣1.25＝0.25h＝15min
同理当2≤t≤2.5时，设函数解析式为s＝kt+b
10
，解得
将点（2，6）（2.5，0）代入得
，解得
∴s＝﹣12t+30
当s＝2时，得2＝﹣12t+30，解得t＝由
﹣1.25＝
h＝65min
故相遇后，乙又骑行了15min或65min时两人相距2km，④正确． 故选：D．
【总结归纳】此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是读懂图象，根据图象的数据进行解题．
第二部分 非选择题（共120分）
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．今年全国高考报考人数是10310000，将10310000科学记数法表示为 ． 【知识考点】科学记数法—表示较大的数．
【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解题过程】解：将10310000科学记数法表示为1.031×107． 故答案为：1.031×107．
【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12．已知正多边形的一个外角是72°，则这个正多边形的边数是 ． 【知识考点】多边形内角与外角．
【思路分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数． 【解题过程】解：这个正多边形的边数：360°÷72°＝5． 故答案为：5
【总结归纳】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．
13．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中黑色区域的概率是 ．
11
【知识考点】几何概率．
【思路分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解题过程】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积 ∴飞镖落在阴影部分的概率是故答案为：
．
＝
，
【总结归纳】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 14．6﹣
的整数部分是 ．
＜2，所以6﹣＜2，
的整数部分是6﹣2，依此即可求解．
【知识考点】估算无理数的大小． 【思路分析】由于1＜【解题过程】解：∵1＜∴6﹣
的整数部分是6﹣2＝4．
故答案为：4．
【总结归纳】此题主要考查了无理数的估算能力，解题首先估算出整数部分后，那么小数部分等于原数﹣整数部分．
15．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是∠OCD＝35°，那么∠OED＝ ．
的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，
【知识考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【思路分析】连接OB，求出∠D，利用三角形的外角的性质解决问题即可． 【解题过程】解：连接OB．
∵
＝
，
∴∠AOB＝∠BOC＝50°，
12
∴∠BDC＝∠BOC＝25°，
∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°， ∴∠OED＝60°， 故答案为60°．
【总结归纳】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
16．某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车 （填“超速”或“没有超速”）（参考数据：
≈1.732）
【知识考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【思路分析】作AD⊥直线l于D，根据等腰直角三角形的性质求出BD，根据正切的定义求出CD，得到BC的长，求出小汽车的速度，比较即可得到答案． 【解题过程】解：作AD⊥直线l于D，
在Rt△ADB中，∠ABD＝45°， ∴BD＝AD＝100，
在Rt△ADB中，tan∠ACD＝则CD＝
＝100
，
≈173.2，
∴BC＝173.2﹣100＝73.2（米）， 小汽车的速度为：0.0732÷
＝52.704（千米/小时），
∵52.704千米/小时＜速60千米/小时， ∴小汽车没有超速， 故答案为：没有超速．
【总结归纳】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
17．如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO，CO分别在x轴，y轴上，A点的坐标为（﹣8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，P点坐标为 ．
13
【知识考点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的性质． 【思路分析】由题意得出P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上； ①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，证出PE∥CO，则△PBE∽△CBO，由已知得出点P横坐标为﹣4，OC＝6，BO＝8，BE＝4，由相似对应边成比例得出PE＝3即可得出结果；
②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P，过点P作PE⊥BO于E，证出PE∥CO，则△PBE∽△CBO，由已知得出AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6，由勾股定理得出BC＝即可得出结果．
【解题过程】解：∵点P在矩形ABOC的内部，且△APC是等腰三角形， ∴P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上；
①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，如图1所示：
∵PE⊥BO，CO⊥BO， ∴PE∥CO， ∴△PBE∽△CBO，
∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（﹣8，6）， ∴点P横坐标为﹣4，OC＝6，BO＝8，BE＝4， ∵△PBE∽△CBO， ∴
＝
，即
＝
，
＝10，则BP＝2，由相似对应边成比例得出PE＝
，BE＝
，则OE＝
解得：PE＝3， ∴点P（﹣4，3）；
②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P， 过点P作PE⊥BO于E，如图2所示：
∵CO⊥BO， ∴PE∥CO，
14
∴△PBE∽△CBO，
∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（﹣8，6）， ∴AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6， ∴BC＝∴BP＝2，
∵△PBE∽△CBO， ∴
＝
＝
，即：
，
＝
＝
，
＝
＝10，
解得：PE＝∴OE＝8﹣∴点P（﹣
，BE＝＝，
， ）；
综上所述：点P的坐标为：（﹣故答案为：（﹣
，
，）或（﹣4，3）；
）或（﹣4，3）．
【总结归纳】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、平行线的判定、勾股定理、分类讨论等知识，熟练掌握相似三角形与等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3…△AnBn∁n都是等腰直角三角形，点B，B1，B2，B3…Bn都在x轴上，点B1与原点重合，点A，C1，C2，C3…∁n都在直线l：y＝
x+
上，点C在y轴上，AB∥A1B1∥A2B2∥…∥AnBn∥y轴，AC∥A1C1∥A2C2
∥…∥An∁n∥x轴，若点A的横坐标为﹣1，则点∁n的纵坐标是 ．
【知识考点】规律型：点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质． 【思路分析】分别求出C1，C2，C3，C4，…，探究规律，利用规律解决问题即可． 【解题过程】解：由题意A（﹣1，1），可得C（0，1）， 设C1（m，m），则m＝∴C1（2，2），
设C2（n，n﹣2），则n﹣2＝∴C2（5，3），
15
m+，解得m＝2，
n+，解得n＝5，
设C3（a，a﹣5），则a﹣5＝a+，解得a＝，
∴C3（，），同法可得C4（，），…，∁n的纵坐标为，
故答案为．
【总结归纳】本题考查等腰直角三角形的性质，一次函数的应用，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考填空题中的压轴题． 四、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分） 19．（10分）先化简，再求值：（
+
）÷
，其中x＝3tan30°﹣（
）1+
﹣
．
【知识考点】实数的运算；分式的化简求值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【思路分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【解题过程】解：（
+
）÷
＝[＝（＝＝x+1，
）
]
当x＝3tan30°﹣（3+1＝
﹣2．
）1+
﹣
＝3×﹣3+2＝﹣3+2＝3﹣3时，原式＝3﹣
【总结归纳】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．（12分）我市某校准备成立四个活动小组：A．声乐，B．体育，C．舞蹈，D．书画，为了解学生对四个活动小组的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中必须选择而且只能选择一个小组，根据调查结果绘制如下两幅不完整的统计图．
16
请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽查了 名学生，扇形统计图中的m值是 ； （2）请补全条形统计图；
（3）喜爱“书画”的学生中有两名男生和两名女生表现特别优秀，现从这4人中随机选取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 【知识考点】全面调查与抽样调查；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．
【思路分析】（1）用D组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后计算C组的人数所占的百分比得到m的值；
（2）先计算出B组人数，然后补全条形统计图；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后利用概率公式求解． 【解题过程】解：（1）10÷20%＝50， 所以本次抽样调查共抽查了50名学生， m%＝
＝32%，即m＝32；
故答案为50，32；
（2）B组的人数为50﹣6﹣16﹣10＝18（人）， 全条形统计图为：
（3）画树状图为：
17
共有12种等可能的结果数，其中所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为8， 所以所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率＝
＝
．
【总结归纳】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）为了进一步丰富校园活动，学校准备购买一批足球和篮球，已知购买7个足球和5个篮球的费用相同；购买40个足球和20个篮球共需3400元． （1）求每个足球和篮球各多少元？
（2）如果学校计划购买足球和篮球共80个，总费用不超过4800元，那么最多能买多少个篮球？ 【知识考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
【思路分析】（1）设每个足球为x元，每个篮球为y元，根据题意得出方程组，解方程组即可； （2）设买篮球m个，则买足球（80﹣m）个，根据购买足球和篮球的总费用不超过4800元建立不等式求出其解即可．
【解题过程】解：（1）设每个足球为x元，每个篮球为y元， 根据题意得：解得：
．
，
答：每个足球为50元，每个篮球为70元；
（2）设买篮球m个，则买足球（80﹣m）个，根据题意得： 70m+50（80﹣m）≤4800， 解得：m≤40． ∵m为整数， ∴m最大取40，
答：最多能买40个篮球．
【总结归纳】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到建立方程的等量关系和建立不等式的不等关系是解答本题的关键． 22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边BC交x轴于点D，AD⊥x轴，反比例函数y＝
（x＞0）的图象经过点A，点D的坐标为（3，0），AB＝BD．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点P为y轴上一动点，当PA+PB的值最小时，求出点P的坐标．
18
【知识考点】反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【思路分析】（1）根据矩形和AB＝BD可得△ABD为等腰直角三角形，进而得出△OAD也是等腰直角三角形，从而确定点A的坐标，求出反比例函数的解析式；
（2）根据对称，过点A与点B关于y轴的对称点B1的直线与y轴的交点就是所求的点P，于是求出点B的坐标，得到点B1的坐标，求出直线AB1的关系式，求出它与y轴的交点坐标即可． 【解题过程】解：（1）∵OABC是矩形， ∴∠B＝∠OAB＝90°， ∵AB＝DB，
∴∠BAD＝∠ADB＝45°， ∴∠OAD＝45°， 又∵AD⊥x轴，
∴∠OAD＝∠DOA＝45°， ∴OD＝AD， ∵D（3，0）
∴OD＝AD＝3，即A（3，3） 把点 A（3，3）代入的y＝
得，k＝9
． ．
∴反比例函数的解析式为：y＝答：反比例函数的解析式为：y＝
（2）过点B作BE⊥AD垂足为E，
∵∠B＝90°，AB＝BD，BE⊥AD
19
∴AE＝ED＝∴OD+BE＝3+∴B（
，
AD＝＝
， ，
），
，
），直线AB1与y轴的交点就是所求点P，此时PA+PB
则点B关于y轴的对称点B1（﹣最小，
设直线AB1的关系式为y＝kx+b，将 A（3，3）B1（﹣，），代入得，
解得：k＝，b＝，
∴直线AB1的关系式为y＝当x＝0时，y＝∴点P（0，
）
，
x+，
答：点P的坐标为（0，）．
【总结归纳】考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及轴对称和一次函数的性质等知识，综合应用的知识较多，掌握基本的解题思路是关键，对每个知识点的掌握是基础． 五、解答题（满分12分）
23．（12分）我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
【知识考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．
【思路分析】（1）根据图象利用待定系数法，即可求出直线解析式； （2）利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．
20
【解题过程】解：
（1）设一次函数关系式为y＝kx+b（k≠0）
由图象可得，当x＝30时，y＝140；x＝50时，y＝100 ∴
，解得
∴y与x之间的关系式为y＝﹣2x+200（30≤x≤60）． （2）设该公司日获利为W元，由题意得
W＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝﹣2（x﹣65）2+2000 ∵a＝﹣2＜0； ∴抛物线开口向下； ∵对称轴x＝65；
∴当x＜65时，W随着x的增大而增大； ∵30≤x≤60，
∴x＝60时，W有最大值；
W最大值＝﹣2×（60﹣65）2+2000＝1950．
即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1950元．
【总结归纳】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝
时取得．
六、解答题（满分12分）
24．（12分）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若CE＝AE＝2
，求阴影部分的面积．
【知识考点】圆周角定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算．
【思路分析】（1）连接OA，过O作OF⊥AE于f，得到∠EAO+∠AOF＝90°，根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠EDA＝∠AOF，推出OA⊥AC，得到AC是⊙O的切线；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠EAC，得到∠AEO＝2∠EAC，推出△OAE是等边三角形，根据扇形的面积公式得到S
AOE＝
扇形
＝2π，求得S△AOE＝
21
AE•OF＝
3＝3，于是得到结论．
【解题过程】（1）证明：连接OA，过O作OF⊥AE于F，
∴∠AFO＝90°， ∴∠EAO+∠AOF＝90°， ∵OA＝OE， ∴∠EOF＝∠AOF＝AOE，
∵∠EDA＝
AOE，
∴∠EDA＝∠AOF， ∵∠EAC＝∠EDA， ∴∠EAC＝∠AOF， ∴∠EAO+∠EAC＝90°， ∵∠EAC+∠EAO＝∠CAO， ∴∠CAO＝90°， ∴OA⊥AC， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：∵CE＝AE＝2，
∴∠C＝∠EAC， ∵∠EAC+∠C＝∠AEO， ∴∠AEO＝2∠EAC， ∵OA＝OE， ∠AEO＝∠EAO， ∴∠EAO＝2∠EAC， ∵∠EAO+∠EAC＝90°， ∴∠EAC＝30°，∠EAO＝60°， ∴△OAE是等边三角形， ∴OA＝AE，∠EOA＝60°， ∴OA＝2，
∴S扇形AOE＝
＝2π，
22
在Rt△OAE中，OF＝OA•sin∠EAO＝2∴S△AOE＝
AE•OF＝
．
3＝3
，
＝3，
∴阴影部分的面积＝2π﹣3
【总结归纳】本题考查了切线的判定和性质，扇形的面积的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 七、解答题（满分12分） 25．（12分）如图1，△ABC（于点F．
（1）∠AFD与∠BCE的关系是 ；
（2）如图2，当旋转角为60°时，点D，点B与线段AC的中点O恰好在同一直线上，延长DO至点G，使OG＝OD，连接GC．
①∠AFD与∠GCD的关系是 ，请说明理由；
②如图3，连接AE，BE，若∠ACB＝45°，CE＝4，求线段AE的长度．
AC＜BC＜AC）绕点C顺时针旋转得△DEC，射线AB交射线DE
【知识考点】几何变换综合题．
【思路分析】（1）先判断出∠BCE＝∠ACD，再利用三角形的内角和定理，判断出∠ACD＝∠AFD，即可得出结论；
（2）①先判断出∠ACD是等边三角形，得出AD＝CD，再判断出∠ACD＝∠AFD，进而判断出△AOD≌△COG（SAS），得出AD＝CG，即可得出结论；
②先判断出∠GCB＝∠BCE，进而判断出∠GCB＝∠ACE，进而判断出△GCB≌△ACE，得出BC＝CE＝4，最后用锐角三角函数即可得出结论． 【解题过程】解：（1）如图1，
AF与BD的交点记作点N，由旋转知，∠ACB＝∠DCE，∠A＝∠D， ∴∠BCE＝∠ACD，
∵∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ANC，∠AFD＝180°﹣∠D﹣∠DNF，∠ANC＝∠DNF， ∴∠ACD＝∠AFD， ∴∠AFD＝∠BCE， 故答案为：∠AFD＝∠BCE； （2）①∠AFD＝
∠GCD或∠AFD+∠GCD＝180°，
23
理由：如图2，连接AD，由旋转知，∠CAB＝∠CDE，CA＝CD，∠ACD＝60°， ∴△ACD是等边三角形，∴AD＝CD， ∵∠AMC＝∠DMF， ∴△ACM∽△DFM， ∴∠ACD＝∠AFD， ∵O是AC的中点， ∴AO＝CO，
∵OD＝OG，∠AOD＝∠COG， ∴△AOD≌△COG（SAS）， ∴AD＝CG， ∴CG＝CD，
∴∠GCD＝2∠ACD＝120°， ∴∠AFD＝
∠GCD或∠AFD+∠GCD＝180°，
∠GCD或∠AFD+∠GCD＝180°；
故答案为：∠AFD＝
②由①知，∠GCD＝120°，∠ACD＝∠BCE＝60°， ∴∠GCA＝∠GCD﹣∠ACD＝60°， ∴∠GCB＝∠BCE，
∵∠GCB＝∠GCA+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB， ∴∠GCB＝∠ACE，
由①知，CG＝CD，CD＝CA， ∴CG＝CA， ∵BC＝EC＝4，
∴△GCB≌△ACE（SAS）， ∴BC＝CE＝4， ∴GB＝AE，
∵CG＝CD，OG＝OD， ∴CO⊥GD，
∴∠COG＝∠COB＝90°
在Rt△BOC中，BO＝BC•sin∠AC∠＝2在Rt△GOC中，GO＝CO•tan∠GCA＝2∴GB＝CO+BO＝2∴AE＝2
+2
．
+2
，
，CO＝BC•cos∠AC∠＝2，
，
24
【总结归纳】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，锐角三角函数，判断出△AOD≌△COG（SAS）是解本题的关键． 八、解答题（满分14分）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上． （1）求抛物线解析式；
（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．
【知识考点】二次函数综合题．
【思路分析】（1）将点C、E的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）S△ACQ＝
×DQ×BC，即可求解；
（3）分EC是菱形一条边、EC是菱形一对角线两种情况，分别求解即可． 【解题过程】解：（1）将点C、E的坐标代入二次函数表达式得：故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3， 则点A（1，4）；
（2）将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AC的表达式为：y＝﹣2x+6，
25
，解得：，
点P（1，t），则点D（S△ACQ＝∵﹣
×DQ×BC＝
，t），设点Q（
﹣t＝﹣
，t2+4t﹣6，
），
＜0，故S△ACQ有最大值，当t＝8时，其最大值为10；
（3）设点P（1，m），点M（x，y）， ①当EC是菱形一条边时， 当点M在x轴下方时，
点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C， 则点P平移3个单位、向下平移3个单位得到M， 则1+3＝x，m﹣3＝y，
而MP＝EP得：1+（m﹣3）2＝（x﹣1）2+（y﹣m）2， 解得：y＝m﹣3＝故点M（4，
）；
，
当点M在x轴上方时， 同理可得：点M（﹣2，3+②当EC是菱形一对角线时， 则EC中点即为PM中点， 则x+1＝3，y+m＝3，
而PE＝PC，即1+（m﹣3）2＝4+（m﹣2）2， 解得：m＝1，
故x＝2，y＝3﹣m＝3﹣1＝2， 故点M（2，2）； 综上，点M（4，
）或（﹣2，3+
）或M（2，2）．
）；
【总结归纳】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
26
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