第二节命题及其关系、充分条件与必要条件
一、基础知识批注——理解深一点
1．命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫 做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.
2．四种命题及其相互关系
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件； ①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且BA；
②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且AB，在解题中要弄清它们的区别，以免出
现错误．
(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；
(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．
充要关系与集合的子集之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
②若A
B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
③若A＝B，则p是q的充要条件．
二、常用结论汇总——规律多一点
1．四种命题中的等价关系
原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命 题进行证明．
2．等价转化法判断充分条件、必要条件
p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件．其他情况以此类推．
一判一判
三、基础小题强化——功底牢一点
对的打“√”，错的打“ × ”
(1)“x2＋2x－8<0”是命题．( ) (2)一个命题非真即假．( )
(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( ) (4)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
(二)选一选
1．“x＝－3”是“x2＋3x＝0”的( )
A．充要条件 C．充分不必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 由x2＋3x＝0，解得x＝－3或x＝0，则当“x＝－3”时一定有“x2＋3x＝0”，
反之不一定成立，所以“x＝－3”是“x2＋3x＝0”的充分不必要条件．
2．命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是( ) A．若a≤b，则a＋c≤b＋c
C．若a＋c>b＋c，则a>b
B．若a＋c≤b＋c，则a≤b D．若a>b，则a＋c≤b＋c
解析：选A 命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为
“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．
1
3．(2018·唐山一模)若x∈R，则“x>1”是“ <1”的( )
x
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
1 1 1 解析：选A 当x>1时，<1成立，而当<1时，x>1或x<0，所以“x>1”是“ <1”的充
x x x
分不必要条件．
(三)填一填
4．“若a，b都是偶数，则ab是偶数”的逆否命题为________．
解析：“a，b都是偶数”的否定为“a，b不都是偶数”，“ab是偶数”的否定为“ab不是偶 数”，故其逆否命题为“若ab不是偶数，则a，b不都是偶数”．
答案：若ab不是偶数，则a，b不都是偶数
5．设向量a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，则“a⊥b”是“x＝2”的____________条件． 解析：a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，若a⊥b，则a·b＝0， 即(x－1)(x＋2)＋x(x－4)＝0，解得x＝2或x＝－，
1 2
1
∴x＝2⇒a⊥b，反之a⊥b⇒x＝2或x＝－，
2 ∴“a⊥b”是“x＝2”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
考点一 四种命题及其真假判断 [典例] (2019·菏泽模拟)有以下命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．
其中真命题是( )
A．①②
C．④
B．②③ D．①②③
[解析] ①原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②原命题的否
命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原 命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题， 故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．
[答案] D [解题技法]
1．由原命题写出其他三种命题的方法
由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得 逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命 题．
2．判断命题真假的2种方法
直接 判断 间接 判断
判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题， 只需举出一个反例即可
根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当 一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否命题的真假
[提醒] (1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．
[题组训练]
1．(2019·长春质监)命题“若x2<1，则－1 B．若－1 解析：选D 命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若綈 q，则綈p”的形式，所以“若x2<1，则－1 A． 0 C． 2 解析：选C 因为P＝Error!＝Error!，Q＝Error!， 所以P Q，所以原命题“x∈P，则x∈Q”为真命题， B．1 D．4 则原命题的逆否命题为真命题． 原命题的逆命题“x∈Q，则x∈P”为假命题， 则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2. 考点二 充分、必要条件的判断 判断充分、必要条件的三种常用方法为定义法、集合法、等价转化法. [典例] (1)(2019·湖北八校联考)若a，b，c，d∈R，则“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依 次成等差数列”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(2018·天津高考)设x∈R，则“ | 1 x－2| 1 ＜”是“x3＜1” 的( ) A．充分而不必要条件 C．充要条件 2 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 (3)已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 [解析] (1)定义法 当a＝－1，b＝0，c＝3，d＝4时，a＋d＝b＋c，但此时a，b，c，d不成等差数列； 而当a，b，c，d依次成等差数列时，由等差数列的性质知a＋d＝b＋c.所以“a＋d＝b＋c”是 “a，b，c，d依次成等差数列”的必要不充分条件，故选B. (2)集合法 由 x－12| | 1 ＜ ，得0＜x＜1，则0＜ x3＜1，即“ 2 1”； 2 | 1x－2| 1 ＜”⇒“x＜ 3 由x3＜1，得x＜1， 当x≤0时， x－12 1 ≥， 2 即“x3＜1” “ | | || 1x－2 2 | 1＜”． 1 2 ＜”是“x3＜1”的 1 所以“ x－2 充分而不必要条件． | (3)等价转化法 因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1， 所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1， 因为綈q⇒綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不 必要条件． [答案] (1)B (2)A (3)A [解题技法] 判断充分、必要条件的3种方法 利用定义判断 直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、 结论是什么 利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范 围，即可解决充分必要性的问题 从集合的角度判断 利用等价转化法条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假 [提醒] 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A是B的充分不必要 条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别，要正确理解“p的一个充分不必要条件是q”的含义． [题组训练] 1. [集合法] 已知x∈R，则“x<1”是“x2<1”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B 若x2<1，则－1 2. [定义法] (2018·南昌调研)已知m，n为两个非零向量，则“m·n<0”是“m与n的夹角为 钝角”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 π 解析：选B 设m，n的夹角为θ，若m，n的夹角为钝角，则<θ<π，则cos θ<0， 2 则m·n<0成立；当θ＝π时，m·n＝－|m|·|n|<0成立，但m，n的夹角不为钝角．故 “m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件． 3. [等价转化法] “xy≠1”是“x≠1或y≠1”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A 设p：xy≠1，q：x≠1或y≠1， 则綈p：xy＝1，綈q：x＝1且y＝1. 可知綈q⇒綈p，綈p綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件． 故p是q的充分不必要条件， 即“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的充分不必要条件． 考点三 根据充分、必要条件求参数的范围 [典例] 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S 的必要条件，则m的取值范围是________． [解析] 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， 所以P＝{x|－2≤x≤10}， 由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P. 则Error!所以0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]． [答案] [0,3] [变透练清] 1. [变结论] 若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件． 解：若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S， 所以Error!解得Error! 即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件． 2. (变条件) 若本例将条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“若綈P是綈S的必要不充分 条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}， ∵綈P是綈S的必要不充分条件， ∴S是P的必要不充分条件，∴P⇒S且SP. ∴[－2,10] [1－m,1＋m]． ∴Error!或Error! ∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)． [解题技法] 根据充分、必要条件求参数范围的方法 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然 后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解． (2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间 的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出 现漏解或增解的现象． [课时跟踪检测] 1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于 0”，则q是p的( ) A．逆命题 C．逆否命题 B．否命题 D．否定 解析：选B 命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于 0”，从而q是p的否命题． 2．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( ) A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题 B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题 C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题 D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题 解析：选C 根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4 或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题． 3．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题 真假性的判断依次如下，正确的是( ) A．真，假，真 C．真，真，假 B．假，假，真 D．假，假，假 解析：选B 当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a－bi，则|z1|＝ |z2|＝ a2＋b2 ，所以原命题为真，故其逆否命题为真．取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但 是z1，z2不互为共轭复数，所以其逆命题为假，故其否命题也为假． 4．(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列” 的( ) A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B a，b，c，d是非零实数，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a， b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数 列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不 充分条件． 5．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果 x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是( ) ①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题； ②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题； ③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题． A．①③ C．②③ B．② D．①②③ 解析：选A 本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命 题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后 互换所得，故①正确，②错误，③正确． 6．(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C 由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2， 即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b. 因为a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1， 所以a·b＝0，能推出a⊥b. 由a⊥b得|a－3b|＝ 10 ，|3a＋b|＝ 10 ， 能推出|a－3b|＝|3a＋b|， 所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件． 7．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C 设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x， y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然CD，所以B A.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件． 8．(2019·湘东五校联考)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是 ( ) A．m >1 B．0 D．m>1 解析：选C 若不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>， 因此当不等式x2－x＋m>0在R上恒成立时，必有m>0，但当m>0时，不一定推出不等式 在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m>0. 9．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件． 解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z.∵0＜A ＜π，0 10．在命题“若m＞－n，则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是 1 4 ________． 解析：若m＝2，n＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为 假命题，若m＝－3，n＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命 题也是假命题．故假命题的个数为3. 答案：3 11．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围 为________． 解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3. 又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8. 故实数m的取值范围为[3,8)． 答案：[3,8) 12．(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法： π①“若x＋y＝ ，则 sin x＝cos y”的逆命题是假命题；2 ②“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”是真命题； ③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件； ④命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”． 以上说法正确的是________(填序号)． π解析：对于①，“若x＋y＝ ，则 sin x＝cos y”的逆命题是“若sin x＝cos y，则x＋y＝2 3π”，当x＝0，y＝ 3π 2 时，有sin x＝cos y成立，但x＋y＝，故逆命题为假命题，①正确；2 对于②，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，②正确；对于③，“a＝±1” 是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题 的定义知④正确． 答案：①②④ 13．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则 a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． 解：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解 π 2 集，为真命题． (2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b， 为真命题． (3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解 集，为真命题． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容