三角函数最值问题(典型题型)

三角函数最值问题

求解三角函数最值问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形，还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识．这类问题往往概念性较强，具有一定的综合性和灵活性，下面结合例子给出几种求最值的方法，供大家学习时参考。

1、利用三角函数的单调性求最值

x0,442的最值 例1：求函数f(x)cosx2sinxcosxsinx

2222f(x)(cosxsinx)(cosxsinx)sin2xcos2xsin2x 解:

2cos(2x4

)0x2,42x454,由余弦函数的单调性及图像知：

当

2x44， 即x0时 ，

cos(2x24取最大值2；

)当

2x4，即

x3cos(2x)8时，4取最小值-1；

故f(x)max1,f(x)min2

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方法评析：本题虽然含有的三角函数的项的次数不尽相同，但最终能通过变形变为形

22asinbcosabsin()化为标准形式结合asinbcos如的形式，再用辅助角公式

三角函数的单调性加以解决，这是一种最常见的求最值的方法。

2、利用三角函数的有界性或数形结合求最值

sinx2cosx1的最小值

例2：求

y解：(方法一)由

ysinx22cosx1得：sinxycosx2y，1ysin(x)2y

sin(x)2y1y，故

212y1y21即，解之得

y34，

3故y的最小值为4

方法评析：通过变形，借助三角函数的有界性求函数最值是一种很常见的方法，一般在分式型且对自变量无特殊限制条件下使用。

sinx2cosx1表示单位圆上的动点P与平面内定点M连

(方法二)设P(cosx,sinx),M(1,2),则

y线的斜率，当斜率存在时，设过P、M两点的直线方程为y2k(x1)，由距离公式得

k21k21，解之得

k

334，结合图形可知函数的最小值为4。

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baaydasinxbccosxy,(ac0)c的形式，ccosxd方法评析：形如的函数求最值，均可变形为

sinxdb(,)再转化为单位圆上的动点与定点ca连线的斜率问题来解决，但要注意，若自变量给出特

别的限制条件，图形不一定是整个圆。

3、转化为二次函数求最值

2ysinx3cosx2的最大值 例3：求

2ysinx3cosx2=cos2x3cosx3,解：

2yt3t3， t1,1cosxt,设则，

2yt3t3在t1,1递减，故当t1时y的最大值为5。 显然

方法评析：本题各项所含的三角函数的次数不相同，也无法通过变形变为相同，则可通过换元，将原函数化为某区间上的二次函数，求出函数的最大值和最小值。

变式：求 ysinxcosxsin2x (x0)的最值

22sin2x(sinxcosx)1t1 sinxcosxt, 解：令则

15yt2t1(t)2tsinxcosx2sin(x)24，又4，x0, 则

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32x,1sin(x)2t144442故

5显然，y的最小值为4，y的最大值为1.

方法评析：在三角函数求值中，若式子中同时含有sinx+cosx(或sinx-cosx)与sinxcosx,则可利用换元法将三角函数问题转化为一般函数问题解决。

4、与向量结合联想构造求最值

sinx54cosx，0x2，求f(x)的最值

例4：已知

f(x)f(x)解：由题知，

12sinx2(2cosx1)2(2sinx)2

设m(2cosx1,2sinx),n(0,1)，m与n的夹角为，

f(x)则

1mn1cos22mn，设m、n的起点均为原点，

22(x1)y4上运动，结合图形可知，0，m则的终点在圆因余弦函数在此区间

单调递减,故

f(x)max1111cos0f(x)mincos22 ,22.

方法评析：这是2008年重庆市的一道高考试题，若按一般方法求解，计算量很大，

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此题通过构造向量的夹角公式，很简单将问题加以解决，耐人寻味。

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