函数单调性概念的引入及再认识

发表时间：2010-12-22T13:37:48.667Z 来源：《现代教育科研论坛》2010第11期供稿 作者： 刘秀丽1 姚春兰2[导读] 提高数学理解水平是数学教师专业化发展的基础和关键。刘秀丽1 姚春兰2

（讷河市拉哈一中 黑龙江 讷河 161300讷河市教师进修学校 黑龙江 讷河 161300）

提高数学理解水平是数学教师专业化发展的基础和关键。理解数学的核心是对数学基本概念及其所反应的数学思想方法的理解。围绕数学核心概念、思想方法进行教学是提高课堂教学质量的关键，也是改进教学方式的切入点。

抓基础的含义是：①引导学生不断回到概念去，使他们养成从基本概念出发思考问题、解决问题的意识和习惯；②加强概念的联系性，培养学生从概念的联系中寻找解决问题的思路和方法的能力。 1.函数单调性概念的引入

在函数单调性的教学中教师通过创设情境，展示气温图象，一次函数、二次函数、反比例函数的图象，使学生很容易从图形直观上升到自然语言叙述，x增大（减小），y增大（减小）。困难在于如何由自然语言抽象到符号语言，这是本节的教学难点。我在教学中是从“任意性“入手引入的。

1.1问题；如何用准确的数学符号语言来刻画函数y＝f （x）= x2 在区间（０，＋∞）上，y随x增大而增大？

1.3师生共同总结出单调增函数的定义；这样设计的目的是:让学生对定义中的“任意”“都有”先有个感性的认识，从而便于理解、构建新概念。接下来教师进一步提问怎么样才能让自变量取变整个区间呢？难到真要一个个列举出来吗？学生马上就会反应出来，既不必要也不可能。教师再点拨一下，那么怎么办呢？学生就会想到用字母代替具体数字，从而实现无限向有限的转化，概念的形成也就水到渠成了。 2.对函数单调性概念的再认识

为了进一步帮助学生体会概念的内涵我设计了以下几个问题。 2.1 在证明函数单调性时,所取的两个变量x , x 应具备什么特征?

提示：x1，x2有三个特征；①同属于一个单调区间；②任意性；③有大小，通常规定x 〈x ，三者缺一不可。 2.2 在增减函数定义中,能否把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”？提示：不能，如图所示。

虽然 f（-1）〈 f （2）但 f（x）在〔-1，2〕上并不是增函数。

为了使学生更准确的理解以上两个问题加深对函数单调性概念的再认识，可以配备下面几个例子。

①对于函数y＝f （x）在给定区间内有两个值x1和x2 且x1 〈x2 使f （x1）〈 （x2）成立，则y＝f （x）是( )。 A. 一定是增函数。 B.一定是减函数。 C.可能是常数函数。 D. 单调性不能确定。

分析：x1 和x2 不是任意两个自变量的值和当１〈２时，已知 f（1）〈 f（2）就判断y＝ f（x）是增函数错误的原因是一样的。 ②设函数y＝f （x）定义域为R，对于定义域内任意x都有 f（x）〈 f（x+1）,那么y＝ f（x）为增函数，对吗？

分析：定义中的x1和x2没有任何限制条件，而x+1是受x的限制，不具有任意性，具体的说已知 f（x）〈 f（x+1）并不能判断 f（x）

〈 f（x+ ）， 所以不正确。

③已知函数y＝f （x）在R上是减函数，则有( )。 A. f（3）〈f （5）。 B. f（3）≤ f （5）。 C. f （3）＞ f（5）。 D. f（3）≥ f（5）。

分析：因为函数y＝f （x）在R上是减函数，当3〈5时由单调递减函数的定义得 f（3）＞f （5）。 ④函数y＝ f（x）在R上为减函数，且 f（m2 -3）＞ f（2m），求实数m的取值范围。

因为y＝ f（x）在R上为减函数，所以m2-3〈2m 解得-1〈m〈3。 2.3能否将两个间断开的增区间(减区间)合并在一起？

提示：不能，合并在一起，就不符合增函数(减函数)的定义。如函数y＝

在(-∞，0)，(0，+∞)都是减函数，若说成y＝

的减区间为(-∞，0)∪(0，+∞)就是错误的。

函数单调性的教学重点就是帮助学生突破两点：为什么要形式化，形式化的结果为什么会是这样的。在教学实际中，我们不能指望学生完全独立地建构出这种高度形式化的定义，而是要使学生在教师的引导、点拨，问题组的引领下，深刻领悟上述两点，进而从本质上理解单调性的概念，形成正确的数学概念，不断提高抽象概括等理性思维能力。参考文献

[1] 张格波 如何帮助学生实现从直观到抽象的跨越？中学数学教学参考(上半月)，2008，8.

[2] 章建越 聚焦中学数学核心概念、思想方法、思维方法的课堂教学设计，中学数学教学参考(上半月)，2008，11. [3] 伏化方案.现代教育出版社，主编 张学宪.