双曲线的渐近线和离心率问题

第30练 双曲线的渐近线和离心率问题

[题型分析·高考展望] 双曲线作为圆锥曲线三大题型之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本.

常考题型精析

题型一 双曲线的渐近线问题

x2y2例1 (1)(2015·重庆)设双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左，右顶点分别是A1，

abA2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为

________.

x22

(2)(2014·江西)如图，已知双曲线C：2－y＝1(a>0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条

a渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点).

①求双曲线C的方程；

②过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：x0x3

与直线x＝相2－y0y＝1与直线AF相交于点M，

a2

交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值.

MFNFbxyx2y2

点评 (1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由y＝±x⇔±＝0⇔2－2＝0，

aababx2y2

所以可以把标准方程2－2＝1(a>0，b>0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程.

abbx2y2

(2)已知双曲线渐近线方程：y＝x，可设双曲线方程为2－2＝λ (λ≠0)，求出λ即得双曲

aab线方程.

.....

.

x2y2x2

变式训练1 (2014·山东改编)已知a>b>0，椭圆C1的方程为2＋2＝1，双曲线C2的方程为2

abay23

－2＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为______________________. b2

题型二 双曲线的离心率问题

例2 (1)(2015·湖北改编)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则下列命题正确的是________. ①对任意的a，b，e1>e2；

②当a>b时，e1>e2；当a④当a>b时，e1e2.

x2y2

(2)已知O为坐标原点，双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以OF为直径作圆交双曲

ab→→→

线的渐近线于异于原点的两点A、B，若(AO＋AF)·OF＝0，则双曲线的离心率e为________. 点评 在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a、

cab、c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e>1.同时注意双曲

线方程中x，y的范围问题.

x2y2

变式训练2 (2014·湖南)如图，O为坐标原点，椭圆C1：2＋2＝abx2

1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e1；双曲线C2：2

ay23－2＝1的左、右焦点分别为F3、F4，离心率为e2.已知e1e2＝，b2

且F2F4＝3－1. (1)求C1，C2的方程；

(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值.

题型三 双曲线的渐近线与离心率的综合问题

.....

.

x2y2

例3 (2014·福建)已知双曲线E：2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别

ab为l1：y＝2x，l2：y＝－2x. (1)求双曲线E的离心率；

(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，请说明理由.

点评 解决此类问题：一是利用离心率公式，渐近线方程，斜率关系等列方程组.二是数形结合，由图形中的位置关系，确定相关参数的范围.

x2y2

变式训练3 (2014·浙江)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐

ab近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足PA＝PB，则该双曲线的离心率是________.

高考题型精练

1.(2015·课标全国Ⅰ改编)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y＝1上的一点，F1，F2是C的两

2→→

个焦点，若MF1·MF2<0，则y0的取值范围是__________.

x2

2

xyyxπ2.(2015·镇江模拟)已知0<θ<，则双曲线C1：2－2＝1与C2：2－22＝1

4cosθsinθsinθsinθtanθ

的________相等.(填序号)

①实轴长；②虚轴长；③离心率；④焦距.

2222

x2y222

3.已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x＋y－6x＋5＝0相切，且双曲

ab线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为______________.

4.以椭圆＋＝1的右焦点为圆心，且与双曲线－＝1的渐近线相切的圆的方程是

169144916________________.

x2y2x2y2

x2y2y2x2

5.已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)以及双曲线2－2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双

ababx2y2

曲线2－2＝1的离心率为________.

abx2y2

6.(2015·镇江模拟)已知双曲线C：2－2＝1 (a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2

ab.....

.

作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为________.

x2y2

7.已知抛物线y＝8x的准线过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率

ab2

为2，则该双曲线的方程为________________.

8.已知双曲线C的中心在原点，且左，右焦点分别为F1，F2，以F1F2为底边作正三角形，若双曲线C与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点，则双曲线C的离心率为________.

x2y2

9.已知F1，F2分别是双曲线2－2＝1 (a>0，b>0)的左，右焦点，过点F2与双曲线的一条渐

ab近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是____________.

x2y21222

10.过双曲线2－2＝1 (a>0，b>0)的左焦点F作圆x＋y＝a的切线，切点为E，直线EFab4

→1→→

交双曲线右支于点P，若OE＝(OF＋OP)，则双曲线的离心率是______.

2

y2x2

11.已知双曲线2－2＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距

ab25离为. 5

(1)求此双曲线的方程；

→

(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP→

＝PB，求△AOB的面积.

x2y2

12.(2015·盐城模拟)已知双曲线2－2＝1 (a>0，b>0)的右焦点为F(c,0).

ab(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；

(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率.

.....

.

答案精析

第30练 双曲线的渐近线和离心率问题

常考题型典例剖析 例1 (1)±1

x2y2

解析 双曲线2－2＝1的右焦点F(c,0)，左，右顶点分别为A1(－a，0)，A2(a,0)，易求

ab2

2

Bc，ba，Cbc，－a，则 b2

b2kAa2C＝

，kAaa－c1B＝

a＋c，又A1B与A2C垂直，

b2

b2则有kA1B·kAaa2C＝－1，即a＋c·a－c＝－1，

b4∴

a222

c2

－a2

＝1，∴a＝b，即a＝b，

∴渐近线斜率k＝±ba＝±1.

(2)解 ①设F(c,0)，因为b＝1，所以c＝a2

＋1， 直线OB的方程为y＝－1

ax，

直线BF的方程为y＝1

a(x－c)，

解得B(cc2，－2a)．

又直线OA的方程为y＝1

ax，

cc则A(c，ca－－a)，k2a3AB＝＝. c－

ca2

又因为AB⊥OB，所以3a·(－1

a)＝－1，

解得a2

＝3，

故双曲线C的方程为x2

－2

3y＝1.

②由①知a＝3，则直线l的方程为

.....

.

x0x3

－y0y＝1(y0≠0)，即y＝

x0x－3

. 3y0

因为直线AF的方程为x＝2，

2x0－3

所以直线l与AF的交点为M(2，)；

3y03

x0－3

332

直线l与直线x＝的交点为N(，)．

223y02x0－322

3y0MF22x0－3

则2＝＝2 NF39y0922

x0－3＋x0－2

4412

＋243y042x0－3

＝·22. 33y0＋3x0－2

因为P(x0，y0)是C上一点，则－y0＝1，

3

2

MF242x0－3

代入上式得2＝·2 NF3x0－3＋3x0－22

2

2

x20

2

42x0－34

＝·2＝， 34x0－12x0＋93即所求定值为＝

2

MFNF2

23＝. 33

变式训练1 x±2y＝0

解析 由题意知e1＝，e2＝， ∴e1·e2＝·＝2

2

2

c1

ac2ac1c2c1c23

. 2＝aaa2

2

2

2

又∵a＝b＋c1，c2＝a＋b， ∴c1＝a－b，

2

c2a4－b4b41c2

∴4＝4＝1－()， aaa2

2

2

b43即1－()＝，

a4

解得＝±ba2b2，∴＝. 2a2

x2y2

令2－2＝0，解得bx±ay＝0， ab∴x±2y＝0. 例2 (1)④ (2)2

.....

.

解析 (1)由题意e1＝

a2＋b2＝ a2

1＋；双曲线C2的实半轴长为a＋m，虚半轴长为

b2a

b＋m，

离心率e2＝ 因为

a＋m＋b＋m

＝ 2

a＋m

221＋

b＋m2.

a＋m

b＋mbma－b

－＝，且a>0，b>0，m>0，a≠b， a＋maaa＋m

ma－bb＋mb>0，即>. aa＋ma＋ma所以当a>b时，又

b＋mb>0，>0， a＋ma2

b＋m2>b2,1＋b＋m2>1＋b所以由不等式的性质依次可得a＋maa＋ma

1＋

，所以

b＋m2>

a＋m

1＋，即e2>e1；同理，当ab2a

ma－b

<0，可推得e2aa＋m

综上，当a>b时，e1e2.

→→→

(2)如图，设OF的中点为T，由(AO＋AF)·OF＝0可知AT⊥OF，

又A在以OF为直径的圆上，∴A，，

22

又A在直线y＝x上， ∴a＝b，∴e＝2.

3a－ba＋b334442

变式训练2 解 (1)因为e1e2＝，所以 ·＝，即a－b＝a，因此a2aa24＝2b，从而F2(b,0)，F4(3b,0)，于是3b－b＝F2F4＝3－1，所以b＝1，a＝2. 故C1，C2的方程分别为＋y＝1，－y＝1.

22(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(－1,0)， 故可设直线AB的方程为x＝my－1.

2

2

2222ccbax2

2

x2

2

x＝my－1，2由x2

＋y＝12

得(m＋2)y－2my－1＝0.

22

易知此方程的判别式大于0.

.....

.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1，y2是上述方程的两个实根， 所以y1＋y2＝2m－1

，y1y2＝2. m＋2m＋2

2

因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝于是AB的中点为M(－4

， m2＋2

－2m，2)， 2

m＋2m＋2

故直线PQ的斜率为－，PQ的方程为y＝－x.

22

mmmy＝－x，2由x2－y＝1

2

22

22得(2－m)x＝4，

22

4m2所以2－m>0，且x＝2，y＝2，

2－m2－m从而PQ＝2x＋y＝222

m2＋4

2. 2－m设点A到直线PQ的距离为d， 则点B到直线PQ的距离也为d， |mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|

所以2d＝.

m2＋4因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧， 所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0， 于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2| ＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|， m＋2|y1－y2|

从而2d＝. m2＋4又因为|y1－y2|＝y1＋y2－4y1y2 22·1＋m＝，

m2＋222·1＋m所以2d＝. 2

m＋4

122·1＋m故四边形APBQ的面积S＝·PQ·2d＝＝22·222－m而0<2－m≤2，故当m＝0时，S取得最小值2.

2

22

22

2

3

－1＋2. 2－m.....

.

综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.

例3 解 (1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，

y＝－2x，所以ba＝2，

所以c2－a2

a＝2，故c＝5a，

从而双曲线E的离心率e＝ca＝5.

由(1)知，双曲线E的方程为x2y2

(2)方法一a2－4a2＝1.

设直线l与x轴相交于点C.

当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则OC＝a，AB＝4a. 又因为△OAB的面积为8， 所以12

·OC·AB＝8，

因此12a·4a＝8，解得a＝2，

此时双曲线E的方程为x2y2

4－16＝1.

若存在满足条件的双曲线E， 则E的方程只能为x2y2

4－16

＝1.

以下证明：当直线l不与x轴垂直时， 双曲线E：x2－y2

416＝1也满足条件．

设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意， 得k>2或k<－2，则C(－mk，0)． 记A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由

y＝kx＋m，

y＝2x，

得y2m1＝

2－k，同理，得y2m2＝2＋k. 由S＝1

△OAB2|OC|·|y1－y2|，得

12|－mk|·|2m2m2－k－2＋k|＝8， 即m2

＝4|4－k2

|＝4(k2

－4)．

.....

.

y＝kx＋m，22由xy－＝1，416

2

2

得(4－k)x－2kmx－m－16＝0. 因为4－k<0，

所以Δ＝4km＋4(4－k)(m＋16) ＝－16(4k－m－16)． 又因为m＝4(k－4)，

所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．

因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.

416

2

2

2

222

2

2

2

2

x2y2

x2y2

方法二 由(1)知，双曲线E的方程为2－2＝1.

a4a设直线l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 11

依题意得－22

x＝my＋t，由

y＝2x，

2t得y1＝，

1－2m－2t同理，得y2＝.

1＋2m设直线l与x轴相交于点C，则C(t,0)． 1

由S△OAB＝·OC·|y1－y2|＝8，得

212t＋2t＝8. |t|·1－2m1＋2m2所以t＝4|1－4m|＝4(1－4m)．

2

2

2

x＝my＋t，2由xy2

2－2＝1，a4a2

2

2

得(4m－1)y＋8mty＋4(t－a)＝0.

因为4m－1<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64mt－16(4m－1)(t－a)＝0，

即4ma＋t－a＝0， 即4ma＋4(1－4m)－a＝0，

22

2

22

2

2

2

2

22

2

2

22

.....

.

即(1－4m)(a－4)＝0， 所以a＝4，

因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E， 且E的方程为－＝1.

416变式训练3

5 2

2

22

x2y2

x2y2b解析 双曲线2－2＝1的渐近线方程为y＝±x.

ababy＝x，

由ax－3y＋m＝0

by＝－x，

a由x－3y＋m＝0

得A(

ambm，)， 3b－a3b－a得B(

－ambm，)， a＋3ba＋3b2

a2m3bm所以AB的中点C的坐标为(22，22)．

9b－a9b－a设直线l：x－3y＋m＝0(m≠0)， 因为PA＝PB，所以PC⊥l， 所以kPC＝－3，化简得a＝4b. 在双曲线中，c＝a＋b＝5b， 所以e＝＝2

2

2

2

2

2

ca5. 2

常考题型精练 1.－

33， 33

解析 由题意知a＝2，b＝1，c＝3， ∴F1(－3，0)，F2(3，0)，

→→

∴MF1＝(－3－x0，－y0)，MF2＝(3－x0，－y0)． →→∵MF1·MF2<0，∴(－3－x0)(3－x0)＋y20<0， 即x0－3＋y0<0.

∵点M(x0，y0)在双曲线上， ∴－y0＝1，即x0＝2＋2y0， 2

2

2

x20

222

.....

.

∴2＋2y0－3＋y0<0，∴－2．③

22

33sinθ＋cosθ1sinθ＋sinθtanθ22

解析 双曲线C1：e＝＝＝1＋tanθ22，双曲线C2：e2＝2

cosθcosθsinθ

2

1

22222

＝

1

2， cosθ

∴C1，C2的离心率相等． 3.－＝1 54

x2y2

x2y2b解析 ∵双曲线2－2＝1的渐近线方程为y＝±x，

aba圆C的标准方程为(x－3)＋y＝4， ∴圆心为C(3,0)． 又渐近线方程与圆C相切， 即直线bx－ay＝0与圆C相切， ∴

3b22

2

a＋bx2y222

又∵2－2＝1的右焦点F2(a＋b，0)为圆心C(3,0)，

ab∴a＋b＝9.② 由①②得a＝5，b＝4.

∴双曲线的标准方程为－＝1.

544．x＋y－10x＋9＝0

20

解析 由于右焦点(5,0)到渐近线4x－3y＝0的距离d＝＝4，

5

所以所求的圆是圆心坐标为(5,0)，半径为4的圆．即圆的方程为x＋y－10x＋9＝0. 235.或2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2＝2，∴5b＝4a.①

22

x2y2

x2y2b3

解析 由题意，可知双曲线2－2＝1的渐近线的倾斜角为30°或60°，则＝或3.

aba3c则e＝＝a＝ 6.2

解析 取双曲线的渐近线y＝x，则过F2与渐近线垂直的直线方程为y＝－(x－c)，可解

.....

c2

＝ a2a2＋b2

a2b2231＋＝或2.

a3

baab.

aaba＋c，ab，代入双曲线方程x－y＝1

得点H的坐标为，，则F2H的中点M的坐标为2ca2b2cc2ca＋cabc22可得2. 22－22＝1，整理得c＝2a，即可得e＝＝4ac4cba7．x－＝1 3

解析 由y＝8x,2p＝8，p＝4，∴其准线方程为x＝－2， 即双曲线的左焦点为(－2,0)，c＝2， 又e＝2，∴a＝1，b＝c－a＝3， 故双曲线的方程为x－＝1.

38.3＋1

解析 设以F1F2为底边的正三角形与双曲线C的右支交于点M，则在Rt△MF1F2中，可得F1F2＝2c，MF1＝3c，MF2＝c，由双曲线的定义有MF1－MF2＝2a，即3c－c＝2a，所以双曲线C的离心率e＝＝9．(2，＋∞)

22

2

2

2

2

2

22

22

22222

y2

y2

ca23－1

＝3＋1.

x2y2bb解析 双曲线2－2＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，设直线方程为y＝(x－c)，

abaabcb32bc2→→c与y＝－x联立求得M，－，因为M在圆外，所以满足MF1·MF2>0，可得－c＋>0，

2aa422a

解得e＝>2. 10.

10

2

ca解析 设双曲线的右焦点为F1，连结PF1. →1→→

由OE＝(OF＋OP)知，E是FP的中点．

2又O是FF1的中点，

1222

∴OE∥PF1，且OE＝PF1，易知OE⊥FP，∴PF1⊥FP，∴PF＋PF1＝FF1，PF1＝a，PF＝2a＋PF1

2＝3a，

∴9a＋a＝(2c)，∴＝2

2

2

ca10. 2

ab＝2，

11．解 (1)依题意得|2×0＋a|25

5＝5，

a＝2，

解得

b＝1，

.....

.

故双曲线的方程为－x＝1.

4

→

(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设A(m,2m)，B(－n,2n)，其中m>0，n>0，由AP→m－n，m＋n. ＝PB得点P的坐标为

2将点P的坐标代入－x＝1，整理得mn＝1. 4π

设∠AOB＝2θ，∵tan2－θ＝2，

y2

2

y2

2



14

则tan θ＝，从而sin 2θ＝. 25又OA＝5m，OB＝5n， 1

∴S△AOB＝·OA·OB·sin 2θ＝2mn＝2.

2

12．解 (1)∵双曲线的渐近线为y＝±x，∴a＝b， ∴c＝a＋b＝2a＝4，∴a＝b＝2， ∴双曲线方程为－＝1.

22(2)设点A的坐标为(x0，y0)，

∴直线AO的斜率满足·(－3)＝－1，∴x0＝3y0.① 依题意，圆的方程为x＋y＝c， 将①代入圆的方程得3y0＋y0＝c， 13

即y0＝c，∴x0＝c，

22∴点A的坐标为32

c4

12c4

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

bax2y2

y0x0

3c

c，，代入双曲线方程得

22

a2

－32212222

＝1，即bc－ac＝ab.② b44

2

2

2

2

2

又∵a＋b＝c，∴将b＝c－a代入②式，整理得 34ccc－2a2c2＋a4＝0，∴34－82＋4＝0， 4aa∴(3e－2)(e－2)＝0.∵e>1，∴e＝2， ∴双曲线的离心率为2.

2

2

.....