1981年(高考数学试题文理科)

一．（本题满分6分）

设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A∪B, 2.A∩B. 解：1.A∪B={实数},2.A∩B=Φ。 二．（本题满分6分）

在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果。 解：1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果：

AB、AC、AD、BC、BD、CD、 BA、CA、DA、CB、DB、DC。

2.选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果： ABC、ABD、ACD、BCD。 三．（本题满分8分）

下表所列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是。 A是B的什么条 A B 件 四边形ABCD为四边形ABCD为1 必要条件 平行四边形 矩形 2 a=3 |a|=3 充分条件 3 θ=1500 sinθ= 12充分条件 点（a,b)在圆2224 a+b=R 充要条件 x2+y2=R2上 解：见上表。 四．（本题满分8分）

写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明。

证二：解析法：以A为原点，射线AB为x轴正向，建立直角坐标系，则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).

1

由两点距离公式得：

a2=|BC|2=(c-bcosA)2+(-bsinA)2 =b2+c2-2bccosA. 五．（本题满分10分） 解不等式（x为未知数）：

xaaabxbbcc0. xc Y C b a A O c B X

解：右式=x2(x-a-b-c)>0

原不等式解是x≠0,x>a+b+c。 六．（本题满分10分） 用数学归纳法证明等式

cosxxxxcos2cos3cosn2222sinxx2sinn2n对一切自然数n都成立。

证：略。 七．（本题满分15分）

设1980年底我国人口以10亿计算。

（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？

（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？ 下列对数值可供选用： lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417 lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720 lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060 解：1.所求人口数x（亿）是等比数列 10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即

x=10×（1.02）20,

两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,

∴x=14.859（亿)

2

2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得

10×（1+y%)20≤12， （1+y%)20≤1.2.

根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得

20lg(1+y%)≤lg1.2. 即 lg(1+y%)≤0.00396. ∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092. 答：略。 八．（本题满分17分）

在1200的二面角P-a-Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B。已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4，且线段AB=10， 1．求直线AB和棱a所成的角;

2．求直线AB和平面Q所成的角。 解：1.在平面P内作直线AD⊥a于点 P 1200

Q

D;在平面Q内，作直线BE⊥a于点E， E B 从点D作a的垂线与从点B作a的平 A

行线相交于点C。 F D C ∴∠ABC等于AB和a所成的角。 ∠ADC为两面角P-a-Q的平面角，

∴∠ADC=1200。又AD=2，BCDE为矩形，∴CD=BE=4。 连接AC，由余弦定理得AC27.

又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面。再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面，∴BC⊥AC。 在直角△ABC中，sinABCABCarcsin7 5AC7, AB52．在△ACD所在的平面内，作AF⊥CD交CD的延长线于点F。

因为△ACD所在的平面⊥平面Q，∴AF⊥平面Q。 在△ADF中，∠ADF=600，AD=2，∴AF=2sin603

连结BF，于是∠ABF是AB和平面Q所成的角，而△ABF为直角三角形，所以sinABFAF33.ABFarcsin. AB10103

九．（本题满分17分）

y2给定双曲线x1.

221．过点A（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程。

2．过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m 如果存在，求出它的方程;如果不存在，说明理由。 解：设直线L的方程为

y=k(x-2)+1, (1) 将（1）式代入双曲线方程，得：

(2k2)x2(4k22k)x4k24k30 (2)

又设P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则x1,x2必须是（2）的两个实根，所以有

4k22k2x1x22(k20).

k212k2k. 按题意，x(x1x2),x22k2因为(x,y)在直线（1）上，所以

2k2k2(2k1)yk(x2)1k(22)12.

k2k2再由x,y的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程为

14(y)228(x1)21,这就是所求的轨迹方程。 772．设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程，整理得 (2k2)x2(2k22k)xk22k30 (3)

设Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),则x1,x2必须是（3）的两个实根，即

2k22kx1x22如果B是Q1Q2的中点，就有x1x21，即x1x22，

k2.2k22k2.综合起来，k应满足 所以有2k24

(2k22k)24(2k2)(k22k3)0,(I)2k22k

2.k22由第二式解出k=2，但k=2不满足第一式，所以（I)无解。

故满足题设中条件的直线不存在。 十．（附加题，本题满分20分，计入总分）

已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF，其边长为1（如图）设AC=a，BC=b，作数列u1=a-b，u2=a2-ab+b2, u3=a3-a2b+ab2-b3,…………，uk=ak-ak-1b+ak-2b2-……+(-1)kbk; 求证：un=un-1+un-2(n≥3) 证：通项公式可写成

ak1(1)k1bk1uk=a-ab+ab-……+(-1)b=

abk

k-1

k-2

2

k

k

因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1, ab=AC·BC=CD2=1。

an1(1)n1bn1故得un2aban1(1)n1bn1 ababanb(1)n1abn ,aban(1)nbnan(1)nbnun1(ab)ababan1anb(1)nabn(1)n1bn1 aban1(1)n1bn1于是有un1un2un.ab E D

A B F O C

一九八一年（文科）

一．（本题满分6分）

设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A∪B, 2.A∩B. 解：1.A∪B={实数},2.A∩B=Φ。

5

二．（本题满分8分） 化简：[a7b223(ab)a28解：原式=(ba)b2。

3][2a2b2a2(ba)3][]

2b4三．（本题满分6分）

在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果。 解：1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果：

AB、AC、AD、BC、BD、CD、 BA、CA、DA、CB、DB、DC。

2.选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果： ABC、ABD、ACD、BCD。 四．（本题满分10分）

求函数f(x)=sinx+cosx在区间（-π，π）上的最大值。 解：

f(x)2sin(x),所以f(x)以2为振幅,以2为周期,区间(,)恰好 4是f(x)的一个周期的定义区间,故f(x)在这个区间上取得最大值2.五．（本题满分10分）

写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明。 答：

sinAsinBsinC. abc证：引AD垂直BC于D;引BE垂直CA的延长线于E。 设△ABC的面积为S，则

11SACBEbcsin(180A)22

1bcsinA;211又SBCADacsinB

2211SBCADabsinC 22

B a D c E A C b 6

S111bcsinAacsinBabsinC 2221sinAsinBsinC. 将上式除以abc,得：

2abc六．（本题满10分）

已知正方形ABCD的相对顶点A（0，-1）和C（2，5），求顶点B和D的坐标。

解：设AC中点为M（x,y）,则有

x02151,y2.M(x,y)M(1,2) 221k13又设AC斜率为k，则k=3。因此得BD的斜率为。

(1) 故有直线BD的方程：y2(x1) 13又以M点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为

(x1)2(y2)210 (2)

解方程（1）、（2）得B、D的坐标为（4，1）及（-2，3）。 （注：用复数法解亦可。） 七．（本题满分17分）

设1980年底我国人口以10亿计算。

（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？

（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？ 下列对数值可供选用： lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417 lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720 lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060 解：1.所求人口数x（亿）是等比数列 10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即

x=10×（1.02）20,

两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,

∴x=14.859（亿)

2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得

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10×（1+y%)20≤12， （1+y%)20≤1.2.

根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得

20lg(1+y%)≤lg1.2. 即 lg(1+y%)≤0.00396. ∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092. 答：略。 八．（本题满分15分）

ABCD-A1B1C1D1为一正四棱柱，过A、C、B1三点作一截面，求证： 截面ACB1⊥对角面DBB1D1。 证：设AC、BD交于O点。

作截面ACB1、对角面BB1D1D以及它们的交线OB1的图形。由于AC1是正四棱柱，所以ABCD是正方形， D1 C1

故AC⊥BD;又BB1⊥底面ABCD，故A1 B1

D C BB1⊥AC。∴AC⊥对角面BB1D1D。

O

已知AC在截面ACB1内，故有 A B 截面ACB1⊥对角面BB1D1D。 九．（本题满分18分）

1．设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为35，求k的值。 2．以本题（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形。当这三角形的面积为9时，求P的坐标。 解：设直线与抛物线的交点为 P1（x1,y1),P2(x2,y2).解方程组： Y y=2x+k

y24x得(2xk)24x y2xk P2 y2=4x O X P1

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即4x24(k1)xk20k2故有x1x21k,x1x2.4(x1x2)2(x1x2)24x1x2k2(1k)412k.4又因P1,P2在直线y2xk上,故2(y1y2)24(x1x2)24(12k).根据题设条件(x1x2)2(y1y2)235,即(12k)4(12k)45,解得:k4.2．设x轴上一点P的坐标为（a,0）又点P到直线P1P2的距离为h，则有h|2a4|。 5依题意得△PP1P2的面积关系：

1|2a4| 935,即6|2a4|,25 a5,a1.

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