贵州铜仁第一中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题 理

数学（理科）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22题。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．已知函数f(x)2sinx，则f0（ ） A． 0

B． 1 C．2 D．

2．在下列命题中，不是公理的是（ ）

A. 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 B. 平行于同一个平面的两个平面相互平行

C. 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线 3．

10(ex2x)dx等于（ ）

A. 1 B. e C. e1 D. e1 4.下列说法中，正确的个数为（ ）

①圆柱的侧面展开图是一个矩形； ②圆锥的侧面展开图是一个扇形； ③圆台的侧面展开图是一个梯形； ④棱锥的侧面为三角形． A．1 B．2 C．3 D．4

5．.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为 ( )

A.2

B.

14 5 C.14 3 D.2

6．已知底面边长为1，侧棱长为为（ ）. A.

2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积

4π32π B. 4π C. 2π D.

337. 若函数yfx在区间x1,x2内是单调递减函数，则函数yfx在区间x1,x2内的

图象 可以是（ ）

8．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且( )

A.

,N为B1B的中点,则||等于

21a 6 B.

615a C.a 66 D.

15a 39．若函数yf(x)的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称

yf(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是（ ）.

A. ylnx B. ysinx C.ye D.yx

10．若点P是曲线yxlnx上任意一点，则点P到直线yx2的最小值为（ ）

A．1 B．2 C．2x32 D．3 211．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的棱长均为2，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值是（ ） A．

3 2 B．

1 2C．

1 4 D．0

12．已知f(x)是奇函数f(x)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是（ ）

A (1,0)(1,) B．(,1)(0,1)

C．(1,0)(0,1) D．(,1)(1,)

第Ⅱ卷（选择题，共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知函数f(x)x3,则 的值为 . 14. 直线y4x与曲线yx在第一象限内围成的封闭图形的面积为 . 15．如图，棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱AA1的中点， 过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________.

''16．设yf(x)是yf(x)的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数

'32f(x)ax3bx2cxd（a0）都有对称中心(x0,f(x0))，其中x0满足f''(x0)0．已

知

13127，xx3x321212320f()f()f()f()_________． 220202101091f(x)则

911989三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分10分) 已知函数

f(x)ax3bx23x在x2处取得极值．

（1）求实数a,b的值；

（2）过点A(0,32)作曲线yf(x)的切线,求此切线方程．

18. (本小题满分12分)

如图，底面 是边长为1的正方形， ， ，

（1）求证： ； （2）求二面角 的余弦值.

19．(本小题满分12分)

.已知函数f(x)x33ax1,a0.

（1）求f(x)的单调区间;

（2）若f(x)在x1处取得极值,直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.

20.(本小题满分12分)

现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO11的4倍．

（1）若 ，则仓库的容积是多少；

（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？

21． (本小题满分12分)

如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD//BC，AB=ADAC3,

PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点．

（1）证明MN//平面PAB；

（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．

22．(本小题满分12分)

已知函数f(x)x2axlnx,aR.

（1）若函数f(x)在(1,f(1))处的切线垂直于y轴，求实数a的值； （2）在（1）的条件下，求函数f(x)的单调区间； （3）若x1时,f(x)0恒成立，求实数a的取值范围．

铜仁一中2018-2019学年度第二学期期中考试

高二数学（理科）参考答案

一、选择题 1 C

二、填空题

13. 2 14. 4 15.

2 B 3 B 4 C 5 D 6 D 7 B 8 A 9 B 10 B 11 C 12 A 9 16. 4036 217.解：（1）f(x)3ax2bx3,2,2是方程3ax22bx30的两个根，

'22b01a3a由韦达定理：，解得：4.

14b0a(2)由上可知：f(x)133x3x,f'(x)x23, 441332x03x0),斜率kx03, 44即

：

易知A点不在函数f(x)图象上，设切点为(x0,则

切

线

方

程

为

：

y1332x03x0x03xx0,44y133233x03x0x0xx03x3x0, 44432133y(x03)xx0过点(0,32),则：x064,x04,切线方程为：

429xy320.

18.解：（1）证明：DE平面ABCD，AC平面ABCD，

所以DEAC,

又底面ABCD是正方形， ACBD.

BDDE=D, AC平面BDE.

（2）解：DA,DC,DE两两垂直，

以D为原点，DA方向为X轴，DC方向为Y轴，DE 方向为Z轴建立空间直角坐标系，

由已知可得DBE=60°，

EDDB3, 由AD=1，可知BD=2,DE=6，AF=

63. 则A(1,0,0), F(1,0,

63), E(0,0,6), B(1,1,0), C(0,1,0), BF(0,1,6263), EF(1,0,3).设平面BDE的一个法向量为n(x,y,z),

6则nBF0yz0,,即3

nEF0x263z0,令z=6,则n(4,2,6).

AC平面BDE，

CA为平面BDE的一个法向量， CA(1,1,0),

cosn,CA1313， 二面角 为锐角，

13二面角 的余弦值为 ..

13．解:(1)f'(x)=3x2

-3a=3(x2

-a),

当a<0时,对x∈R,有f'(x)>0,

∴当a<0时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞).

19

当a>0时,由f'(x)>0,解得x<-由f'(x)<0,解得-或x>,

.

0时,f(x)的单调增区间为(-∞,-(-).

(2)∵f(x)在x=-1处取得极值,

),( ,+∞),单调减区间为

∴f'(-1)=3×(-1)2-3a=0, ∴a=1.

∴f(x)=x3-3x-1, f'(x)=3x2-3.

由f'(x)=0,解得x1=-1,x2=1. 由(1)中f(x)的单调性可知,

f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,

在x=1处取得极小值f(1)=-3.

∵直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,

结合如图所示f(x)的图象可知: 实数m的取值范围是(-3,1). 20.（1）

PO12m，则

OO18m

11VPA1B1C1D1SABCDPO162224m3，

33VABCDA1B1C1D1SABCDOO1628288m3，

V=VPA1B1C1D1VABCDA1B1C1D1312m3，故仓库的容积为312m3．

（2）设PO1则OO1x(m)，仓库的容积为Vx，

224x(m)，AO36xAB236x(m)，(m)， 1111VxVPA1B1C1D1VABCDA1B1C1D11SABCDPO1SABCDOO113x236x2

330x6，V'x26x2120x6，

当x0,23时，V'x0，Vx单调递增；当x23,6时，V'x0，

Vx单调递减．

故当x

21.解（Ⅰ）由已知得AM23时，Vx取到最大值，即PO123(m)时，仓库的容积最大．

2AD2， 3取BP的中点T，连接AT,TN．

由N为PC中点知TN//BC，TN1BC2． 2又AD//BC，故TN平行且等于AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN//AT． 因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN//平面PAB．

（Ⅱ）取BC的中点E，连结AE，由ABAC得AEBC，从而AEAD， 且AEAB2BE2AB2(BC2)5． 2以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，由题意知，

P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(5,2,0)，N(PM(0,2,4)，PN(5,1,2)， 25,1,2)， 2AN(5,1,2)． 22x4z0nPM0设n(x,y,z)为平面PMN的法向量，则，即5，

xy2z0nPN02可取n(0,2,1)， 于是|cosn,AN||nAN|85． |n||AN|2522. 解：（1）f(x)xaxlnx,aR.定义域为（0，+）. f(x)2xa21,aR. x 依题意，f(1)3a0,解得a3.

（2）a3时，f(x)lnxx3x,定义域为（0，+），

211x23xf(x)2x3，

xx当0x当

1或x1时，f(x)0, 21x1时，f(x)0， 211故f(x)的单调递增区间为(0,)，（1，+），单调递减区间为（,1）.

22lnxx2(3) 由f(x)0，得a在x1时恒成立，

xlnxx21x2lnx,则g(x) 令g(x)， xx212x210 令h(x)1xlnx,则h(x)2xxx2 所以h(x)在（1，+）为增函数，h(x)h(1)20. 故g(x)0，故g(x)在(1,)为增函数. g(x)g(1)1,

所以a1，即实数a的取值范围为(,1.