4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质（第二课时）
（一）教学具准备
直尺，投影仪.
（二）教学目标
1.掌握 ， 的定义域、值域、最值、单调区间.
2.会求含有 、 的三角式的定义域.
（三）教学过程
1.设置情境
研究函数就是要讨论一些性质， ， 是函数，我们当然也要探讨它的一些属性.本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数的最基本的两条性质.
2.探索研究
师：同学们回想一下，研究一个函数常要研究它的哪些性质？
生：定义域、值域，单调性、奇偶性、等等.
师：很好，今天我们就来探索 ， 两条最基本的性质——定义域、值域.（板书课题正、余弦函数的定义域、值域.）
师：请同学看投影，大家仔细观察一下正弦、余弦曲线的图像.
师：请同学思考以下几个问题：
（1）正弦、余弦函数的定义域是什么？
（2）正弦、余弦函数的值域是什么？
（3）他们最值情况如何？
（4）他们的正负值区间如何分？
（5） 的解集如何？
师生一起归纳得出：
（1）正弦函数、余弦函数的定义域都是 .
（2）正弦函数、余弦函数的值域都是 即 ， ，称为正弦函数、余弦函数的有界性.
（3）取最大值、最小值情况：
正弦函数 ，当 时，（ ）函数值 取最大值1，当 时，（ ）函数值 取最小值－1.
余弦函数 ，当 ，（ ）时，函数值 取最大值1，当 ，（ ）时，函数值 取最小值－1.
（4）正负值区间：
（ ）
（5）零点： （ ）
（ ）
3.例题分析
【例1】求下列函数的定义域、值域：
（1） ； （2） ； （3） .
解：（1） ，
（2）由 （ ）
又∵ ，∴
∴定义域为 （ ），值域为 .
（3）由 （ ），又由
∴
∴定义域为 （ ），值域为 .
指出：求值域应注意用到 或 有界性的条件.
【例2】求下列函数的最大值，并求出最大值时 的集合：
（1） ， ； （2） ， ；
（3） （4） .
解：（1）当 ，即 （ ）时， 取得最大值
∴函数的最大值为2，取最大值时 的集合为 .
（2）当 时，即 （ ）时， 取得最大值 .
∴函数的最大值为1，取最大值时 的集合为 .
（3）若 ， ，此时函数为常数函数.
若 时， ∴ 时，即 （ ）时，函数取最大值 ，
∴ 时函数的最大值为 ，取最大值时 的集合为 .
（4）若 ，则当 时，函数取得最大值 .
若 ，则 ，此时函数为常数函数.
若 ，当 时，函数取得最大值 .
∴当 时，函数取得最大值 ，取得最大值时 的集合为 ；当 时，函数取得最大值 ，取得最大值时 的集合为 ，当 时，函数无最大值.
指出：对于含参数的最大值或最小值问题，要对 或 的系数进行讨论.
思考：此例若改为求最小值，结果如何？
【例3】要使下列各式有意义应满足什么条件？
（1） ； （2） .
解：（1）由 ，
∴当 时，式子有意义.
（2）由 ，即
∴当 时，式子有意义.
4.演练反馈（投影）
（1）函数 ， 的简图是（ ）
（2）函数 的最大值和最小值分别为（ ）
A.2，－2 B.4，0 C.2，0 D.4，－4
（3）函数 的最小值是（ ）
A. B.－2 C. D.
（4）如果 与 同时有意义，则 的取值范围应为（ ）
A. B. C. D. 或
（5） 与 都是增函数的区间是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
（6）函数 的定义域________，值域________， 时 的集合为_________.
参考答案：1.B 2.B 3.A 4.C 5.D
6. ； ；
5.总结提炼
（1） ， 的定义域均为 .
（2） 、 的值域都是
（3）有界性：
（4）最大值或最小值都存在，且取得极值的 集合为无限集.
（5）正负敬意及零点，从图上一目了然.
（6）单调区间也可以从图上看出.
（五）板书设计
1.定义域
2.值域
3.最值
4.正负区间
5.零点
例1
例2
例3
课堂练习
课后思考题：求函数 的最大值和最小值及取最值时的 集合
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