静力平衡

如图所示，自重不计的横梁的一端用绞链固定在墙壁洼的A点，另一端B用绳悬挂在墙壁上的C点，当重为G的物体由融在梁上的B点处逐渐移至A点的过程中，横梁始终保持静止。问此过程中，A点处绞链对横梁作用力F的大小和CB绳对横梁的拉力T的大小是如何变化的?

如图，小圆环A吊着一个重为G1的砝码套在另一个竖直放置的大圆环上，有一细线其一端拴在小圆环A上，另一端跨过固定在大圆环最高点B的一个小滑轮后吊着一个重为G2的砝码。如果小环、滑轮、绳子的大小和质量以及摩擦都可以忽略不计，绳子又不可以伸长，求平衡时弦AB所对的圆心角。、

有一半径为R的均匀圆柱，今在其内平行于轴凿一个半径为

R的孔，孔的中心O1与圆柱的2中心。相距为

R，然后将此圆柱放在一小块木板上，慢慢抬高板的一端，要使圆柱在板上2还能保持平衡状态，求板的最大倾角0是多少?已知圆柱与板间的静摩擦因数足够大，能保证圆柱在木板上的平衡不至由于发生滑动而被破坏。

在一倾角为的粗糙斜面上，装有两个固定在斜面上的光滑滑轮，一轻绳绕过此两滑轮，绳两端分别系有一个物块A和一个物块B，置于斜面上，如图所示。设两物块与斜面间的静摩擦因数均为tan，绳子不与斜面接触，且不可伸长，求此系统能在斜面上稳定的条件。已知A的质量为M，B的质量为m。

有一水平放置的半径为R的圆柱形光滑槽面，其上放有两个半径均为r的光滑圆柱体A和B，图为其截面图。图中O为圆柱面的圆心，A、B分别为两圆柱体的圆心，OQ为竖直线。已知A、B两圆柱分别重G1和G2，且R3r。求此系统平衡时，OA线与OQ线之间的夹角?

6．如图所示，一锁链由2n个相同的链环组成，各链环间光滑连接，链环两端挂在水平铁丝上，链环与铁丝间的静摩擦因数为。试求链环处于临界平衡状态时，末端链环与竖直方向间的夹角?

7．在钉入墙内的钉子上系一根绕在线团上的细线，线团靠墙悬挂如图所示。线团轴的

5 cm，线团侧板的半径为R10 cm，线团侧板与墙面之间的静摩擦因数为半径为r0．0.1。求线团处于临界平衡时，悬线与墙面间的夹角?

8．如果转动锥子，就容易刺穿孔眼，这是什么原因?为什么从墙里拔出钉子时，若将钉子转动，则能比较容易地拔出?

9．重为G、半径为R的实心球，放在竖直墙和板AB之间，板AB可绕A端自由转动，其B端用水平绳BC拉住，如图所示。若已知AB板长为l，板与墙面间夹角为，且板的重量可以忽略不计。求

(1)绳的拉力为多大?

(2) 角为何值时，绳的拉力最小?

10·有一轻木板，其自重可忽略不计，A端用绞链固定在竖直墙面上，另一端用水平绳拉住，板上依次放着三个圆柱体，其半径均为r，重力均为G，如图所示。木板与墙面的夹角为，一切摩擦均忽略不计，求水平绳对板的拉力为多大?

v

11·有两个质量分别为m1和m2的光滑小环，套在竖直放置且固定的光滑大环上，两环以细线相连，如图所示。已知细线所对的圆心角为，求系统平衡时细线与竖直方向间所夹的角为多少?

12．底边长a、高度为b的长方体均匀物块置于斜面上。斜面和物块之间的静摩擦因数为，斜面的倾角为。当足够小时，物块静止在斜面上，如图所示。如果将倾角逐渐增大，当日取某个临界值0时，物块或将开始滑动，或将翻倒。试分别求出发生滑动和翻倒时的0，并说明在什么条件下出现的是滑动，在什么条件下出现的是翻倒。

13．半径为R的均匀半球体，其重为G，重心与球心相距为

3R。半球放在水平面上，8G，与半球平面间的静8球面与水平面相接触，今在半球的平面上放一小物体，小物体重为摩擦因数为0.2。求小物体静止在半球平面上时与球心的距离。

14．A、B为两个很长的圆柱形滚筒，半径均为r10 cm，两筒的轴在同一水平面上且

／s．转动(如图所示)。两互相平行，它们各自绕自己的轴沿图示方向以角速度30 rad筒的中心轴间相距为d25 cm，两筒上搁着一个较短的圆柱体C，C的半径为R15 cm，

质量为m9 kg。今用一个与A、B轴平行的力F拉着C以速度v04 m／s匀速运动。若c与A、B之间的滑动摩擦因数都是 (1)F?

(2)若v0增大，则F的大小如何变化?

1。求 3

15．有一长为l、重为W0的均匀杆AB，A端顶在竖直的粗糙墙上，杆端与墙面之间的静摩擦因数为；B端用一强度足够而不可伸长的绳悬挂，绳的另一端固定在墙壁上的C点。杆呈水平状态，绳与杆的夹角为。如图所示。 (1)求杆能保持平衡时与应满足的条件；

(2)杆保持平衡时，杆上有一点P存在，若在A点与P点间任一点悬挂一重物，则当重物重量W足够大时总可以使平衡破坏；而在P点与B点之间的任一点悬挂任意重量的重物，都不能使平衡破坏。求这一P点与A点的距离。

16。两个质量为M、半径为R的相同圆球A和B，用两根长为ll2R的绳悬挂于O点，在两球上另有一个质量为m(mnM)、半径为r(r1R)的圆球C，如图所示。已知2三球的表面光滑，试讨论此系统处于平衡时，绳与竖直线的夹角与n的关系。

17．如图所示，一架均匀梯子AB，质量为M，长AB10m，靠在光滑墙壁上，A、B两端到墙角O的距离分别为AO8 m、BO6 m，已知梯子与水平地面间的静摩擦因数

5。试回答下列问题： 为0． (1)地面对梯子的作用力为多大?

(2)一个质量为5M的人沿此梯子向上爬，他能沿梯子上升多远而不致使梯子倾倒?

18．内壁为半径r的光滑半球形碗，放在水平桌面上，一均匀棒斜靠在碗口边缘，一端置于碗内，一端伸出碗外，已知其在碗内部分的长度为a，求： (1)棒的全长为多少?

(2)对于一定的r来说，a为何值时本题才有解?

19．求均匀半圆弧的重心位置，已知半圆弧的半径为R。

20．求均匀半球壳的重心位置。

21．一薄壁圆柱形烧杯，半径为r，质量为m，重心位于中心线上，离杯底的距离为H。今将水慢慢注入杯中，问烧杯连同杯内的水的共同重心最低时水面离杯底的距离等于多少?为什么?已知水的密度为

22．有一个半径为a、高为4a、重为W的两端开口的薄壁圆筒，现将筒竖放在光滑的水平面上，之后将半径为r、重为G的两个完全相同的光滑圆球放入筒内而呈叠放状态，如图所示。当a2r2a时，试求使圆筒不翻倒的条件。

23．用三根均匀、长为2a、重为G的刚性杆做成一个三角架，上端光滑地绞接，下端

支在粗糙的水平地面上形成一个等边三角形，杆与水平地面间的静摩擦因数为。在此三角架上固定一架重为W的照相机，欲使此三角架能保持平衡，试确定在水平地面上所形成的等边三角形的边长的最大值。

24．一个半径为r的均匀球靠在竖直墙边，球与墙面之间和球与水平地面之间的静摩擦因数都是，球重为G。如图所示，若在球上加一个竖直向下的力F。问力F的作用线离球心O的水平距离s为多大时．才能使球作逆时针方向的转动？

25．图中，AOB是一把等臂夹子，轴O处的摩擦可忽略不计，若想在A、B处用力去夹住一个圆形物体C，则能否夹住与哪些因素有关?如果这一装置能夹住C，这些因素应满足什么条件(不考虑圆柱形物体所受的重力)?

如图所示，有一固定的、半径为a、内壁光滑的半球形碗(碗口处于水平位置)，O为球心。碗内搁置一质量为m、边长为a的等边三角形均匀薄板ABC。板的顶点A位于碗内最低点，碗的最低点处对A有某种约束使顶点A不能滑动(板只能绕A点转动)。

(1)当三角形薄板达到平衡时，求碗对顶点A、B、c的作用力的大小各为多少。

(2)当板处于上述平衡状态时，若解除对A点的约束，让它能在碗的内表面上从静止开始自由滑动，求此后三角形薄板可能具有的最大动能。

例1一半径为R的刚性球固定在水平桌面上，有一个质量为M的圆环状均匀弹性绳圈，原长2a，aR，绳圈的弹性系数为k (绳圈伸长s时，绳中弹性张力为ks)。将绳圈从球2的正上方轻放到球上，并用手扶着绳圈使之保持水平并最后停留在某个静力平衡位置，设此时绳圈的长度为2b，b2a，考虑重力，忽略摩擦，求绳圈的弹性系数k?(用M、R、

g表示，g为重力加速度)

如图，三根长度均为l的轻杆用绞链连接并固定在水平天花板上的A、B两点，AB两点相距为2l。今在绞链C上悬挂一个质量为m的重物，要使CD杆保持水平，则在D点上应施的最小力为多大?

例3 如图所示，在一个置于水平面上的表面光滑的半径为R的半圆柱面上，置有一条长为R的均匀链条，链条的质量为m，其两端刚好分别与两侧的水平面相接触，求此链中张力的最大值为多少?

例4如图所示，屋架由同一竖直面内的多根无重杆绞接而成，各绞接点依次为l、2…9，其中绞接点8、2、5、7、9位于同一水平直线上，且9可以无摩擦地水平滑动。各绞接点间沿水平方向上的间距和沿竖直方向上的间距如图所示，绞接点3承受有竖直向下的压力点1承受有竖直向下的压力P，求绞接点3和4间杆的内力。

P，2

例5如图所示，一人对一均匀细杆的一端施力，力的方向总与杆垂直，要将杆从地板上无

滑动地慢慢抬到竖直位置，试求杆与地板之间的静摩擦因数至少应为多大?

例6 图表示一根细棒，上端A处用绞链与天花板相连，下端用绞链与另一细棒相连，两棒长度相等。两棒限制在图示平面内运动，且不计绞链处的摩擦。当在其C端加一个适当的外力(在纸面中表示为棒所在的竖直平面内)时，可使两棒平衡在图示位置处，即两棒间夹角为90且c端处在A的正下方。试说明，不管两棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向范围内?

o

例7如图，一个均匀长方体，厚度为危，静止地放在半圆柱的顶面上，长方体底面恰呈水平状态。若半圆柱的半径为R，且长除体与半圆柱间的静摩擦因数足够大，试讨论长方体的平衡属何种性质的平衡?

由于热胀冷缩，盖在房顶上的均匀铅板有缓慢下滑的现象。设铅板长l01 m，房顶的坡度

7，铅板的线膨胀系数为3105K1。忽略=30o，铅板与屋架间的动摩擦因数0．屋架自身的热胀冷缩，请估算在昼夜温差出一10℃的情况下，一个月内铅板下滑了多少?

例9图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A、B、C、D处，桌腿竖立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生弹性微小形变。现于桌面中心O至角A的连线0A上某点P施加一竖直向下的力F，令

OPc，求桌面对桌腿1OA的压力F1。

例10有一木板可绕其下端的水平轴转动，转轴位于一竖直墙面上，如图所示。开始时，木板与墙面间夹角为15，在此夹角中有一正圆柱形木棍，截面半径为r，在木板外侧加一外力F使其保持平衡，木棍的端面上画有一条竖直向上的箭头，已知木棍与墙面之间和木棍与板之间的静摩擦因数分别为

o11.00和

210.577，若极缓慢地减小所加的力F，使夹角慢慢张开，木棍下落。3o问当夹角张到60时，木棍端面上的箭头指向什么方向?附三角函数表如下

例11 如图所示，半径分别为r1和r2的两个均匀圆柱体置于同一水平面上，在大圆柱上绕有一根细绳，通过细绳对大圆柱施以水平拉力P。设所有接触处的静摩擦因数均为。为使在力P的作用下，大圆柱能翻过小圆柱，问应满足何条件?

例12四个半径均为R的光滑球，静止于一个水平放置的半球形碗内，该四球球心恰在同一水平面上。现将一个相同的第五个球放在前述四球之上，而此系统仍能维持平衡，求碗的半径为多少?

例13如图，质量为m的n(n>3)个均匀圆柱体，依次搁置在倾角为30的斜面上，并以铅垂设置的挡板挡住，挡板长l，其下端以绞链固定，挡板可绕其下端自由转动。圆柱体半径均为R，各圆柱体与斜面间和圆柱体与挡板间的静摩擦因数均为

o1

，而各圆柱体之问的摩3

擦则可忽略不计。今以水平力P作用于挡板的上端而维持此系统的平衡，试求P的最大值为多少?

例14重为G的圆柱位于可动的水平平板与固定的倾角为的斜面之间，如图所示，圆柱体与水平板间的动摩擦因数和静摩擦因数均为1，圆柱体与斜面间的动摩擦因数和静摩擦因数均为2。为使水平板能向左匀速运动，至少要对它施以多大的力?不考虑圆柱以外的物体施于水平板的阻力。