高中数学必修1函数单调性,最值,以及奇偶性

1.概念

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②增（减）函数是相对于相应区间而言的，不能离开相应的区间讨论增减性。

二、判断函数单调性的常用方法

1、（图像法）根据函数图象说明函数的单调性．（直观） 例1、 如图是定义在区间[－5，5]上的函数 y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以 及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

2．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： ① 任取x1，x2∈D，且x1③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． 例、证明函数yx

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1在（0,1）上为减函数． x例、判断函数yxp单调性.(p>0) x

【归纳小结】

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 3、直接法

对基本初等函数，如一次函数、二次函数、反比例函数可以直接写出它们的单调区间. （1） 一次函数y=kx+b,当k>0时，增区间是（-∞，+∞）；当k<0时,减区间是（-∞，+∞） （2）

〖针对性练习〗

11.函数y的单调区间是（ ）

xA．（-，+） B.（-，0）和（1，，） C.（-，1）和（1，） D. （-，1）（1，） 2. 若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+），求a的值。

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3．函数yx22x3的增区间是（ ）。

1(,3) D．(1,) 3 A．[-3，-1] B．[-1,1] C．1a4、已知函数f(x)x

1判断f(x)在区间〔0，1〕和（1，+）上的单调性。x，

5、已知函数y=f(x)是定义在[-1,2]上的增函数，且满足：f(a-1)>f(1-3a)，求实数a的取值范围。

6、已知f（x）=x2-2(1-a)x+2在（-∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围.

☆☆☆复合函数的单调性☆☆☆ 1、定义：

设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为

y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数)

2、复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律

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如下：

函数 ug(x) yf(u) 单调性 增 增 增 增 减 减

减 增 减 减 减 增 yfg(x)

例、已知yf(u)u1,ug(x)3x2，求yfg(x)的单调性。

例、已知yf(u)u21,ug(x)x1，求函数yfg(x)的单调性。

〖针对性训练〗

1、已知yf(u)u21,ug(x)x1，求函数yfg(x)的单调性。

2、已知f(x)82xx2，如果g(x)f(2x2)，那么g(x)（ ） A. 在区间（-1，0）上是减函数 B. 在区间（0，1）上是减函数 C. 在区间（-2，0）上是增函数 D. 在区间（0，2）上是增函数

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3、已知函数f(x)=8+2x-x2,g(x)=f(2-x2),试求g(x)的单调区间.

三、函数的最大（小）值

1．函数最大（小）值定义

1）最大值：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的xI，都有f(x)M； （2）存在x0I，使得f(x0)M． 那么，称M是函数yf(x)的最大值．

2）最小值：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的xI，都有f(x)M； （2）存在x0I，使得f(x0)M． 那么，称M是函数yf(x)的最小值． 注意：

①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0)M；

②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，f(x)M(f(x)m．

) 例、求函数yx22x3当自变量x在下列范围内取值时的最值．

①1x0 ② 0x3 ③x(,)

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都有

例、求函数y

例、设函数f(x)＝(x＋a)2对于任意实数t∈R都有f(1－t)＝f(1＋t)．

(1)求a的值；

(2)如果x∈[0，5]，那么x为何值时函数y＝f(x)有最小值和最大值?并求出最小值与最大值．

【针对性练习】 一、选择题

1．函数y＝4x－x2，x∈[0，3]的最大值、最小值分别为( )

(A)4，0 2．函数y(A)

121xx22在区间[2，6] 上的最大值和最小值． x1(B)2，0 的最小值为( )

(B)1

(C)3，0 (D)4，3

(C)2

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(D)4

二、填空题

1．函数y＝2x2－4x－1 x∈(－2，3)的值域为______． 2．函数y2xx2的值域为______．

3、函数yx24x5(x0,3的值域是 。 三、解答题

2x,x01．求函数f(x)的值域．

x,x0

2． 已知函数f(x)在R上是减函数，对于任意的x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),f(1)=-2/3,求f(x)在[-3,3]上的最值。

3、求函数y=

的值域.

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四、奇偶性 1.概念

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数；如果都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

从图像的角度，图像关于y轴对称的函数是偶函数，关于原点对称的函数是奇函数。

例.下面三个结论：①偶函数的图像一定与y轴相交；②奇函数的图像一定通过原点；③偶函数的图像关于y轴对称.其中正确的个数有几个？

2.判断函数奇偶性的一般步骤：

①求定义域，判断其定义域是否关于原点对称（不对称→非奇非偶） ②化简函数f(x)的解析式，并求f(-x)

③根据f(-x)与非f（x）的关系，判断函数f(x)的奇偶性 例、判断下列函数的奇偶性： （1）f(x)=（2）f(x)=

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3.奇（偶）函数的性质

①f(x)是偶函数，则f(-x)=f(x)=f(|x|) ②若奇函数在原点处有定义，则f(0)=0

③偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇数个奇函数的积、商为奇函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。

④若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a,b]和[-b,-a]具有相同的单调性；反之，偶函数具有相反的单调性。

例、设f(x)是奇函数，在（0，+∞）上是减函数，试证明f(x)在（-∞，0）上是减函数.

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例、判断下列函数的奇偶性： （1）y=ax+b/x,(a,b≠0) （2）y=ax/(x2+1),a≠0

【针对性练习】

1. 已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,求f(2).

2、设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）

A、f(x)+|g(x)|是偶函数 B、f(x)-|g(x)|是奇函数 C、|f(x)|+g(x)是偶函数 D、|f(x)|-g(x)是奇函数

3、判断函数f(x)=|x+a|-|x-a|,a∈R的奇偶性.

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4.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时，f(x)=x+1,求f(3/2).

5.函数f(x)=1/x-x的图像关于（ ）

A、y轴对称 B、直线y=-x对称 C、坐标原点对称 D、直线y=x对称

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