阿波罗尼斯圆

一、适用题型

1、已知两个线段长度之比为定值；

2、过某动点向两定圆作切线，若切线张角相等； 3、向量的定比分点公式结合角平分线； 4、线段的倍数转化；

二、基本理论

（一）阿波罗尼斯定理（又称中线长公式）

设三角形的三边长分别为a,b,c，中线长分别为ma,mb,mc,则：

b2c2122a2ma212a2c2b22mb

212a2b2c22mc2（二）阿波罗尼斯圆

一般地，平面内到两个定点距离之比为常数(1)的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”

不妨设Aa,0,Ba,0,APBPa0,0,1，若设Px,y,则

xa2y2xa2y2

2122xaya 化简得：221122212a，0，半径为a的圆 轨迹为圆心2211（三）阿波罗尼斯圆的性质

1、满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比内分AB和外分AB所得的两个分点；

2、直线CM平分ACB，直线CN平分ACB的外角；

AMAN BMBN3、

4、CMCN

01,点A在圆O内； 5、1时，点B在圆O内；6、若AC,AD是切线，则CD与AO的交点即为B； 7、若点B做圆O的不与CD重合的弦EF，则AB平分

EAF；

三、补充说明

1、关于性质1的证明

定理：A,B为两已知点，P,Q分别为线段AB的定比为1的内、外分点，则以PQ为直径的圆O上任意点到A,B两点的距离之比等于常数。 证明：不妨设1

设ABa,过点B作圆O的与直径PQ垂直的弦CD，则 aaaaAP,BP,AQ,BQ1111由相交弦定理及勾股定理得：

a2BCBPBQ212a2a22ACABBCa22

11aaAC于是BC,AC,则22BC112222从而P,Q,C同时在到A,B两点距离之比等于的曲线（即圆）上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此圆O上任意点到A,B两点距离之比等于常数。 2、关于性质6的补充

若已知圆O及圆O外一点A，则可作出与点A对应的点B，只要过点A作圆O两条切线，切点分别为C,D，连结CD与AQ即交于点B。反之，可作出与点B对应的点A

四、典型例题

例1 （教材例题）已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为求此曲线的方程，并画出曲线。

x2y2(x3)2y21，整理即得到该曲线的方程为：21的点的轨迹，2解：设点M(x,y)是曲线上任意一点，则(x1)2y24。

例2 （2003北京春季文）设A(c,0),B(c,0)(c0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a0)，求P点的轨迹. 解：设动点P的坐标为（x，y）

22由|PA|a(a0)，得(xc)ya.

22|PB|(xc)y化简得(1a2)x22c(1a2)xc2(1a2)(1a2)y20.

2c(1a2)1a222ac2222当a1时,得x，整理得xcy0(xc)y(). 2221aa1a12当a=1时，化简得x=0.

a212acc,0)为圆心，|2所以当a1时，P点的轨迹是以(2|为半径的圆； a1a1当a=1时，P点的轨迹为y轴.

例3 （2005江苏高考数学）如图，圆O1与圆O2的半径都是1，

O1O24，过动点P分别作圆O1.圆O2的切线PM、PN（分别为切点），

使得PM

PMO1O2N2PN试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程 解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则O1（-2，0），O2（2，0），

MyPNO1oO2x由已知PM2PN，得PM2PN 22因为两圆的半径均为1，所以

PO112(PO21) 22设P(x,y)，则(x2)y12[(x2)y1]， 即(x6)y33，

所以所求轨迹方程为(x6)y33（或xy12x30）

2222222222例4 （2006四川高考理）已知两定点A(2,0)、B(1,0)，如果动点P满足PA的轨迹所包围的图形的面积等于（ ） （A）解：B

（B）4 （C）8 （D）9

2PB，则点P例5 （2008江苏高考）ABC中，AB2,AC2BC，则SABC的最大值为________.

答案：

4 3变形：ABC中，AB4,CA:CB5:3，则SABC的最大值为________.

答案：

15 2例6 设点A,B,C,D依次在同一直线上，AB6,BC3,CD2，已知点P在直线AD外，满足

APBBPCCPD，试确定点P的几何位置。

解：先作线段AC关于2:1的阿氏圆1，再作线段BD关于3:2的阿氏圆2，两圆交点即为点P，同时该点关于直线AD的对称点也为所求。

例7 （2011年南通一模）已知等腰三角形一腰上的中线则该三角形面积的最大值为__________.

长为3，

例8 （2013江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l:y2x4．设圆C的半径为1，圆心在l上．

（1）若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； （2）若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

yx1解：（1）联立：，得圆心为：C(3，2)．

y2x4设切线为：ykx3，

y A O

l

d＝

|3k32|1k23r1，得：k0ork．

4x

故所求切线为：y0or3yx3．

4（2）设点M(x，y)，由MA2MO，知：x2(y3)22x2y2，

化简得：x2(y1)24，

即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D． 又因为点M在圆C上，故圆C圆D的关系为相交或相切． 故：1≤|CD|≤3，其中CDa2(2a3)2．

12 ． 5

解之得：0≤a≤

例9 圆O1,圆O2不等且外离，现有一点P，它对于圆O1所张的视角与对于圆O2所张的视角相等，试确定点P的几何位置

答案：做圆O1,圆O2的内、外公切线，分别交连心线O1O2于点A,B，以线段AB为直径的圆

，就是线段O1O2关于r1:r2的阿氏圆，该圆上任意一点都符合要求。

例10 在x轴正半轴上是否存在两个定点A、B，使得圆x2y24上任意一点到A、B两点的距离之比为常数

1如果存在，求出点A、B坐标；如果不存在，请说明理由。 2解：假设在x轴正半轴上是否存在两个定点A、B，使得圆x2y24上任意一点到A、B两点的距离之比为常数

1，设P(x,y)、A(x1,0)、B(x2,0)，其中x2x10。 2即(xx1)2y2(xx2)2y21对满足x2y24的任何实数对(x,y)恒成立， 224x123(x2y2)，将x2y24代入得： 整理得：2x(4x1x2)x222x(4x1x2)x24x1212，这个式子对任意x[2,2]恒成立，所以一定有：

4x1x20，因为x2x10，所以解得：x11、x24。 22x24x112所以，在x轴正半轴上是否存在两个定点A(1,0)、B(4,0)，使得圆x2y24上任意一点到

1A、B两点的距离之比为常数。

2

例11 铁路线上线段AB100km，工厂C到铁路的距离CA20km。现要在A、B之间某一点D处，向C修一条公路。已知每吨货物运输1km的铁路费用与公路费用之比为3:5，为了使原料从供应站B运到工厂C的费用最少，点D应选在何处 解：建立如图所示直角坐标系，

3先求到定点A、C的距离之比为的动

5yC点P(x,y)的轨迹方程， 即：

D1DABXE1E3，整理即得动点P(x,y)的轨迹方程：

x2(y20)254x24y290y9000，

x2y2令y0，得x15（舍去正值）即得点D(15,0)DA15,DC25。 下面证明此点D即为所求点：

自点B作CD延长线的垂线，垂足为E，在线段BA上任取点D1，连接CD1，再作D1E1BE于E1。

设每吨货物运输1km的铁路费用为3k(k0)， 则每吨货物运输1km的公路费用为5k，

如果选址在D1处，那么总运输费用为y3kBD15kD1C(3BD15D1C)k， 而BE1D1∽BED∽CAD

BD1CD255 E1D1AD153∴

∴3BD15E1D1

那么总费用y(3BD15D1C)k(E1D1D1C)5k(CDDE)5k5kCE， 当且仅当点C、D1、E1共线时取等号 总上所述，点D即为所求点

例12 已知点P3,4，点A,B分别为圆x4y44及直线3xy100上一点，

22则AB2AP的最小值为_________. 答案：7

例13 ABC中，BC3,AD为A的角平分线，且满足AD2AB1AC，则SABC的最大

33值为____________. 答案：3