二次函数专题培优(含答案)

二次函数专题复习

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，的函数，叫做二次函数。 这b，c是常数，a0）里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数yax2bxc的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵ a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：yax2的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a0 0，0 0，0 y轴 x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值0． x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值0． a0 向下 y轴

2. yax2c的性质： 上加下减。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a0 0，c 0，c y轴 x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值c． x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值c． a0 向下 y轴

3. yaxh的性质：

左加右减。 a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a0 h，0 h，0 X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0． xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0． a0

向下 X=h

4. yaxhk的性质：

a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a0 h，k h，k X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k． xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k． a0 向下 X=h

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

k； 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k处，具体平移方法如下： ⑵ 保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位2y=ax2y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k 2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：

⑴yaxbxc沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，yaxbxc变成

22

yax2bxcm（或yax2bxcm）

⑵yaxbxc沿轴平移：向左（右）平移m个单位，yaxbxc变成

22ya(xm)2b(xm)c（或ya(xm)2b(xm)c）

四、二次函数yaxhk与yax2bxc的比较

从解析式上看，yaxhk与yax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前b4acb2b4acb2者，即yax，其中h，． k2a4a2a4a222

五、二次函数yax2bxc图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x1，0，x2，0（若与x轴的交点0，没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

六、二次函数yax2bxc的性质

b4acb2b 1. 当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为，．

2a4a2a当xbbb时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当x时，y有最小2a2a2a4acb2值．

4ab4acb2bb 2. 当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为，．当时，y随x2a4a2a2a4acb2bbx的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小；当x时，y有最大值．

4a2a2a

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）； 2. 顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；

3. 两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只

有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．

⑴ 当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ⑵ 当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a0的前提下，

当b0时，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2a

b0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2a⑵ 在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b0时，当b0时，当b0时，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab0，即抛物线对称轴在y轴的左侧． 2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．

ab的符号的判定：对称轴xb在y轴左边则ab0，在y轴的右侧则ab0，概括的说就是2a“左同右异” 总结：

3. 常数项c

⑴ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置． 总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称

yax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

22 2. 关于y轴对称

yax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

22 3. 关于原点对称

yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc； yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk；

22

4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

b2 yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxc；

2a22yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk．

22n对称 5. 关于点m，yaxhk关于点m，n对称后，得到的解析式是yaxh2m2nk

22 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原

抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：

0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次① 当b24ac0时，图象与x轴交于两点Ax1，b24ac方程axbxc0a0的两根．这两点间的距离ABx2x1.

a2② 当0时，图象与x轴只有一个交点； ③ 当0时，图象与x轴没有交点.

1' 当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0； 2' 当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0． 2. 抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

0 抛物线与x轴有两个交点 抛物线与x轴只有一个交点 抛物线与x轴无交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 0 0

二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.

二次函数考查重点与常见题型

1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：

已知以x为自变量的二次函数y(m2)xmm2的图像经过原点， 则m的值是 2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查

两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数ykxb的图像在第一、二、三象限内，那么函数ykxbx1的图像大致是（ ）

y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选

拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x

4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 3

已知抛物线yax2bxc（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－ 2（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】

由抛物线的位置确定系数的符号

例1 （1）二次函数yax2bxc的图像如图1，则点M(b,)在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，•则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ）

2225，求这条抛物线的解析式。 3ca

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

(1) (2)

【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．

例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1点在点(O，2)的下方．下列结论：①aO；③4a+cO，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D．4个

会用待定系数法求二次函数解析式

例3.已知：关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线

2

2

x=2，则抛物线的顶点坐标为( )

A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2)

例4、如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2． （1）写出y与x的关系式；

（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴. 例5、已知抛物线y=

125x+x-． 22（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．

【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．

例6、 “已知函数y12xbxc的图象经过点A（c，－2）， 2求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。

（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。

[解答] （1）根据y12，图象的对称轴是x=3，xbxc的图象经过点A（c，－2）

2122cbcc2,得 b13,22b3,解得

c2.所以所求二次函数解析式为y（2）在解析式中令y=0，得

12x3x2.图象如图所示。 212x3x20，解得x135,x235. 2所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+5,0)”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是

(35,0).

令x=3代入解析式，得y所以抛物线y5, 2125x3x2的顶点坐标为(3,), 225所以也可以填抛物线的顶点坐标为(3,)等等。

2函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。

用二次函数解决最值问题

例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．

例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）•与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：

x（元） 15 20 30 … y（件） 25 20 10 … 若日销售量y是销售价x的一次函数． （1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？ 【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则15kb25, 解得k=-1，b=40，•即一次函数表达

2kb20式为y=-x+40．

（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225．

产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，•“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）•问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

二次函数对应练习试题

一、选择题

1. 二次函数yx4x7的顶点坐标是( )

2

22A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3） 2. 把抛物线y2x向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）

A. y2(x1) B. y2(x1) C. y2x1 D. y2x1 3.函数ykxk和y2222k(k0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) x

4.已知二次函数yaxbxc(a0)的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当x1和x3时,函数值相等;③4ab0④当y2时, x的值只能取0.其中正确的个数是( )

A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个

5.已知二次函数yaxbxc(a0)的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),

2由图象可知关于x的一元二次方程axbxc0的两个根分别是x11.3和x222（ ）

Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数yaxbxc的图象如图所示，则点(ac,bc)在（ ）

2

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7.方程2xx22的正根的个数为（ ） xA.0个 B.1个 C.2个. 3 个

8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为

2A. yxx2 B. yxx2

22C. yxx2或yxx2 D. yxx2或yxx2

222

二、填空题

9．二次函数yxbx3的对称轴是x2，则b_______。

10．已知抛物线y=-2（x+3）²+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_______.

11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。

12．抛物线y2(x2)6的顶点为C，已知直线ykx3过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。

213. 二次函数y2x4x1的图象是由y2xbxc的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位

222得到的,则b= ,c= 。

14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是 (π取3.14).

三、解答题：

15.已知二次函数图象的对称轴是x30,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0,(1)求这个二次函数的解析式;

(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0?

(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大?

第15题图

5). 2

16.某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式hv0t2

12，其中重gt （02力加速度g以10米/秒计算．这种爆竹点燃后以v0=20米/秒的初速度上升，

（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？

（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.

17.如图，抛物线yxbxc经过直线yx3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D. （1）求此抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上的一个动点，求使SAPC：SACD5 ：4的点P的坐标。

18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．

（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量； （2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？

（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．

2

练习试题答案

一，选择题、

1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C

二、填空题、

9．b4 10．x＜-3 11．如y2x4,y2x4等（答案不唯一）

212．1 13．-8 7 14．15

三、解答题

15．(1)设抛物线的解析式为yax2bxc,由题意可得

b2a3abc65c2

解得a,b3,c125125 所以yx3x 222

(2)x1或-5 (2)x3

16．（1）由已知得，1520t110t2，解得t13,t21当t3时不合题意，舍去。所以当爆竹点燃222后1秒离地15米．（2）由题意得，h5t20t＝5(t2)20，可知顶点的横坐标t2，又抛物

线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内，爆竹在上升．

17．（1）直线yx3与坐标轴的交点A（3，0），B（0，－3）．则2b293bc0解得

c3c3所以此抛物线解析式为yx2x3．（2）抛物线的顶点D（1，－4），与x轴的另一个交点C（－

221，0）.设P(a,a2a3)，则(4a2a3):(44)5:4.化简得a2a35

21212当a2a3＞0时，a2a35得a4,a2 ∴P（4，5）或P（－2，5）

当a2a3＜0时，a2a35即a2a20，此方程无解．综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（－2，5）．

22222

18．（1）45260240260x．（2）y(x100)(457.5=60（吨）7.5)，化简得：

1010333（3）yx2315x24000(x210)29075． yx2315x24000．

444红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．

（4）我认为，小静说的不对． 理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，而对于月销售额

Wx(45260x7.5)3(x160)219200来说， 104 当x为160元时，月销售额W最大．∴当x为210元时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对． 方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元； 而当x为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜18000， ∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对．