1引言..................................................................................................................... 2
1.1选题背景.................................................................................................. 2 1.2研究的目的和意义.................................................................................. 3 1.3术语界定.................................................................................................. 3
1.3.1数学概念....................................................................................... 3 1.3.2数学概念的特点........................................................................... 3
2数学概念学习的研究现状................................................................................. 6
2.1国内研究现状.......................................................................................... 6 2.2国外研究现状.......................................................................................... 7 3概念的分类......................................................................................................... 8
3.1描述性概念.............................................................................................. 8 3.2建构性概念.............................................................................................. 9 4影响数学概念的几点因素................................................................................. 9
4.1教材编排对数学概念学习的影响.......................................................... 9 4.2先行组织者对数学概念学习的影响.................................................... 17 4.3问题引入法对数学概念学习的影响.................................................... 17 4.4发展性评价对数学概念学习的影响.................................................... 18 4.5活动经验对数学概念学习的影响........................................................ 22 5 椭圆概念课的案例对比.................................................................................. 25
5.1 自学法................................................................................................... 26 5.2 对比教学法........................................................................................... 29 5.3 欣赏教学法........................................................................................... 32 5.4 预习教学法........................................................................................... 33 5.5 椭圆一课不同版本的分析比较........................................................... 38 6教学的一点建议............................................................................................... 43
6.1用人文眼光重新审视概念课教学........................................................ 43 6.2把握课堂组织形式的多元变化............................................................ 43
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1引言
1.1选题背景
有很多学生在小学、初中阶段学习一直名列前茅，学习中很多概念都可以在生活中轻易地找到原型，数学学习起来也是胸有成竹、如鱼得水，但是到了高中阶段就会茫然不知所措，有同学问我“老师，这里学习的‘椭圆’和以前说的‘扁圆’一样吗？”“抛物线我们初中也学过啊，挺好理解的！怎么现在概念一学，反而觉得这么陌生呢？原来学的还叫抛物线吗？”“„„”足以见得，自然科学的发展规律是在从直观到客观、从感性到理性、从重形象到重逻辑等规律在不断往复前进，我们学习知识的规律也自然逃脱不了，小学、初中阶段所学东西很多都可以在生活中找到原型，是比较直观感性的，学生很容易通过类比加以递推、应用，而高中阶段，有些概念是数学家经过几代人的努力，不断斟酌改进，才浓缩提炼出来的精华，包含着严谨的逻辑和科学的推导，因而读起来难免拗口、抽象。在学习的进程中，我们开始接触到的是一些例子直接得到的，模糊甚至不准确的概念描述形式，在以后的学习过程中，在原有概念的基础上，再不断地加以修改、完善，也正因为前后学习同一概念的描述形式不同，也直接造成了学生的学习障碍，无法很快地调整学习策略，适应新的学习模式，从而陷入恐慌，不知所措。
鉴于此种现象，本文作者将从概念分类的角度，挖出这些通过人为逻辑推导出来的数学概念，通过教材编排、表征形式、先行组织者、问题引入方式、发展性评价、活动经验以及小学、初中、高中、大学各学段知识的衔接角度来分析此类概念的教法，指出学生更应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程来加深到概念的理解运用，并且对典型的《椭圆的标准方程》一课给出案例对比分析，希望能为此类概念找到最好的讲解方式作出自己的一点贡献。
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1.2研究的目的和意义 1.3术语界定 1.3.1数学概念
课程标准（实验稿）中对数学的概念描述是：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、行程方法和理论，并进行广泛应用的过程。修正稿则指出：数学是研究数量关系和空间形式的科学。
数学是由抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，也正因它的抽象和严谨的逻辑性，在培养人的理性思维和创新能力方面更是起到不可替代的作用，它作为人类文化的重要组成部分，被广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。正因为它的基础性、普及性和发展性，使得在生产、生活、科学、技术等方面到处都能看到它的影子，它是一切科学和技术的基础，是我们思考和解决问题的重要工具。
数学概念是通过数学语言和符号以揭示事物共同属性的一种形式，是从空间形式、数量关系方面来反映事物的本质属性和内在联系的。数学概念是建立数学公式、定理、法则的基础，也是推理、判断、运算和证明的前提，是数学思维、交流的源泉，更是数学与生活完美桥梁的基石。
数学概念的来源，可以是从客观世界的某个方面直接抽象得出，也可以在已有的数学理论的基础上通过逻辑建构得到。数学概念反映的可以是“过程”和“对象”两个方面：“过程”即可操作的法则、定理、公式、原理等；“对象”则为数学中定义的结构、关系等。我们学习和模仿的也多是过程阶段，因为此时概念的外在表现只是一系列固定的操作步骤，相对直观。而要想整体把握概念，还是要进入对象状态，来研究其呈现的静态结构关系。
1.3.2数学概念的特点
数学概念的特点：1.表述抽象；2.表征多元；4.多维联系；5.理解分层等，数学的大网就是由各个概念组成一个多维交叉的网络组成的，每一个概念都有部分来自于其他概念的相互关系或出自系统的整体特征，数学概念的重要特征就是被镶嵌到组织良好的概念体系中。
课程标准指出：“通过义务教育阶段的数学学习，使学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”。
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在概念学习中认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流都不失为一种有效的学习方法，数学的学习应该是一个生动活泼、主动和富有个性的过程，通过学生的观察、实验、猜测、计算、推理、验证等过程，培养学生的动手意识、团队精神、抽象思维、推理能力、探索精神和创新意识。
从新课程标准的提出，学界就展开了对数学“基本思想”和“基本思想方法”的讨论，大家一致认为“思想方法”一词，更容易让人联想到解决问题的一般方法，也就是解决具体问题时所采用的方式、方法、途径或手段，换种说法就是解决数学问题的策略，比如配方法、换元法、十字交叉法等，都是一些比较细微的、直接的、具体的。而“基本思想”却是宏观的概念，有一种普遍的指导意义，指人们对数学理论和内容的本质认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼出来的一些观点。更多地提示了数学发展中的普遍规律，是对数学规律的理性认识，直接支配着数学的实践活动。
鉴于此，我们就看一下课程标准指出的“抽象”、“推理”、“模型”、“审美”四种基本思想，说起“抽象”，大家第一时间就会想到符号化思想、无限化有限思想、对应思想等思想方法，那总的来说就是要把日常生活和生产实践中，与数学有关的东西提取出来，作为数学的研究对象。三角函数中，我们学习了司空见惯的角，但是只有赋予它新的定义——即由x轴正轴出发，逆时针旋转作为正方向而得到的角，才可以与我们熟悉的实数建立一一对应。这些抽象的思维，只是方便我们去记录、描述和分析，显然是非常有意义的。
而“推理”，大家自然也不会忘了归纳、类比、数形结合等方法，因为我们知道数学的发展是非常自然的，而教科书作为数学和生活的一种媒界，呈现的数学内容就更是在人类长期实践中，经过千锤百炼而得到的数学的精华和基础，它的数学概念、数学方法和数学思想都有着自然的起源和发展。数学自身的发展就是依靠推理，那我们在学习生活中就需要通过一定的逻辑规律进行推导，以得到某些定理、命题或推论。
“模型”作为沟通数学学科与外部世界的桥梁，起着非常重要的作用。它是学生创新思维和应用能力的直接体现，通过模型化思想，把看到的生活现象抽象成数学问题，并按照一定的简化、量化、统计、方程、优化等流程，并最终将数学模型再应用到客观世界中去。不得不说，很多伟大的发现都是在这样的思想下创造出来的，是学生能力培养的重要方面。
“审美”并不是数学特有的学科特点，其实在生活、生产的任何方面，我们都在潜移默化地应用着它，你希望你见到的东西简洁、统一、对称、和谐„„这无时无刻不是在体现着一种“美”的领悟，数学也是这样，只要你用心地去发现，就会被数学所散发的深深魅力所打动。
学生后续学习能否对数学概念所反映的对象进行数学表达和数学思考，影响
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到学生的数学化水平和学习水平。只有抓住数学概念的特点，开展不同的教学策略，精心设计不同的课堂教学环节，才能展开丰富的教学活动，提高概念教学质量，为学生进一步运用数学概念符号进行表达和思考、掌握数学思想方法，打下坚实的基础。
1.3.3数学概念的学习理论
（1）皮亚杰的认知发展理论
数学概念学习最典型的研究理论就是皮亚杰的认知发展理论，曾被公认为是20世纪发展心理学上最权威的研究理论。当时最流行的研究方法是通过对相同数量的实验人员或者多人资料统计等的方法，而皮亚杰则是通过对包括自己女儿在内的个别儿童，在完全自然的状态下通过连续、仔细观察，记录他们对事物处理的智能反应。他指出所谓认知发展，就是个体自出生以后，在适应环境的活动中，面对问题情境或对事情的处理上思维方式和能力表现的不同，而这种适应在个体成长期间是一直连续变化的。
皮亚杰认为：智力的本质即是一种最高形式的适应，用四个概念概括就是——图式、同化、顺应和平衡。
为使主体有效地适应环境，我们就会通过图式对客体信息进行整理、创造，并由同化或顺应两种方式来构建动态的心理认知结构。主体会把环境中的信息纳入并整合到自己已有的认知结构中去，这就是同化，通过主体适应、改造、过滤外界刺激，来使图式达到量的变化，并以此丰富原有的认知结构。而当主体的图式不能适应外部要求时，人们还会通过顺应，来改变原有的力式，甚至有时候还要创造新的图式来适应环境需要。人类就是通过不断地对环境进行主动探索，利用同化和顺应间的相互渗透和影响来构建新的知识，并达到和环境的动态平衡。
（2）布鲁纳的认知结构理念
布鲁纳的认知结构理论是皮亚杰、乔姆斯等著名的结构主义的核心，它反应了美国心理学由行为主义向认知观改变的时代大背景，他强调学习的过程，而非结果。学生不应该是消极被动地接受知识，而应该成为积极主动的知识探索者，学习的目的不是掌握老师或者教材上现成的知识，而是通过教师创设的足以启发学生独立思考的问题情境，使学生主动参与到该学科的知识体系建立和完善的过程。
“不愤不启，不悱不发”，教学强调的是学生内在动机的满足。而好奇心正是内部动机的原型，通过激发学生的好奇和未知欲，以增强他们学习和发现的信心和动力。教师作为学习的组织者、引导者和合作者，不能一味地通过语言提醒，以图学生更快、更好理解，而应该鼓励学生的探究活动，让学生自己试着做，边想边做，边做边想，以形成丰富的想象和鲜活的经验基础。
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（3）APOS理论
APOS理论是由美国的杜宾斯基等人创立的，他认为数学概念的学习是通过学生进行心理建构而实现的，具体经过四个阶段：操作或活动（Action）——过程（Process）——对象（Object）——概型（Scheme）。
杜宾斯基APOS理论认为，学生不能直接学到数学概念，而是通过心智结构使得所学的概念有意义。而教师教学的目的就是帮助学生建立适当的心智结构，因为很多数学概念都非常抽象，利用皮亚杰及其相关理念很难在抽象数学概念的学习中作出扩展，他就指出这些内隐的数学概念的本质，学生可以通过一系列外显的探究活动来获得，如猜想、回忆、对比、计算、推理、特殊化等。
这四个阶段并不是一定在每一堂课中都有体现，它只是适应于数学概念在学生头脑中建立的那段时间，学生通过亲身体验参与活动，感受概念形成的直观背景，为理解概念做好必要的准备。之后学生要对活动做进一步的思考、想象、内化和概括，通过在脑海中对活动的描述和反思，从而抽象出概念的全部特征。
2数学概念学习的研究现状
2.1国内研究现状
数学概念历来被看作数学教学的逻辑起点，是学生认知体系的地基，是学生培养数学思维的核心，在数学教学和发展中都有着非常重要的地位。学习数学概念中所渗透的数学原理，也正是数学课程发展和数学教学的理论基础。但是不得不说，以前的教育太重视学生解决问题的能力，更倾向于关注学生基础知识和基本技能的掌握，在机械性记忆结论、大量的反复练习等模式下，很难真正实现培养学生素质的目标。
由此，中国的数学教育也在一直作出改革，而且对数学概念教学也都十分重视，但是由于没有系统的数学概念学习理论，或者是受到其它浅显或偏激的理论引导，而使大家觉得数学概念只是逻辑基础，只是为了得到形式化、符号化的结论，从而很少去关注和把握数学概念学习的原理和方法。
其中最典型的就是“新数运动”，即“回到基础”，力图以结构化、形式化、公理化的方式来引入数学。但是究其原因，把数学概念仅仅作为孤立的对象，而不去理会概念产生的过程和与其它概念之间的联系，学生只是通过机械、刻板地去记忆结论和符号，没有亲身参与和经历概念产生的过程，也就无法灵活实现概念的运用，更加不会建立起真正的概念网络。而这样就不能算作是学会了数学概念，同时，对数学学科也就难以理解、掌握，从而形成一个不好的循环。
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这些改革历来都是在基础性目标和发展性目标之中在做出平衡，
到20世纪80年代以来，数学教学所依据的心理学原理仍然是“刺激——反应”的行为主义理论以及皮亚杰与奥苏贝尔的同化理论。
2.2国外研究现状
古希腊哲学家亚里士多德和柏拉图、苏格拉底（柏拉图的老师）一起被誉为西方哲学的奠基者，他曾得用哲学观点把概念分为关系的、实质的、定性的和定量的概念四类。
教育心理学方面，根据概念的掌握途径的不同，也即概念的来源，苏联心理学家维果斯基(Lev Vygotsky)将概念分为日常概念和科学概念两类；美国的赫尔斯(Hulse)则根据概念或定义得出的难易程序，将概念分为易下定义概念和难下定义概念；而奥苏伯尔(D. P. Ausubel)则将概念分为初级概念和二级概念；甚至还有学者从逻辑学角度，把概念分为单独的与普遍的、集合的与非集合的、实体的与非实体的、正的与负的概念等，这些对概念的分类都各有特点，但是要想对宏大的数学概念家族做出精确地刻画和分类，还是不够全面准确。
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布鲁纳最早提出概念假设——检验理论，他认为概念是思维过程的核心，学校教育的基本目的之一就是要有效地帮助学生习得概念，他根据概念属性的呈现，将概念的分为：合取概念、析取概念和关系概念三种类型，其中将同时呈现两个或两个以上属性的概念称为合取概念。
3概念的分类
章建跃老师1指出在课程改革的驱动下，现在的数学概念教学太过强调情境化、生活化，从而存在忽视数学概念的抽象逻辑建构特征的情况。数学概念的学习是数学学科的基石，它的多元和多维特征正体现着数学知识之间、数学与其他学科之间以及数学与生活之间的广泛联系性，只有学好概念，体现其中渗透的数学思想和情感价值，才能发挥数学教学的奠基性作用和对学生逻辑思维、抽象能力、创造思维培养的持续性影响，是数学教学的重要任务。
3.1描述性概念
描述性概念2顾名思义，就是指用生动、直接、具体的形式来描述概念，它是通过对客观世界中的空间形式或者数量关系而直接抽象得到的，与现实对象就会非常贴近，也很容易找到现实原型，有时候甚至人们自己也常常将概念本身和现实原型混为一谈、融为一体。如一提到三角形，我们自然就好像有一个三角形已经出现在眼前。
我们所知道的描述性概念大多在义务教育阶段就已接触，它们都是通过直接观察获得的，其呈现形式也多由例子引入，具有一定的模糊性和不科学性。
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邵光化,章建跃.数学概念的分类、特征及其教学探讨[J].课程教材教法,2009.29(7):47-51 陈新福.描述性概念教学的几点思考[J].教学与管理.2013.1(15):37-39
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3.2建构性概念
建构性概念是数学家在已知的数学理论基础上，通过逻辑建构出来的概念。它是抽象逻辑思维的产物，在现实生活中是没有客观原型的，如方程、函数等，它是建构数学理论的重要组成部分，是数学发展的逻辑源泉。
概念形成和概念同化是心理学上学习概念的两种基本方式，在数学学习中，有些概念是源于长期的生产实践，人们通过观察、对比已经有所发现，而经过科学家、数学家的抽象比较，进而寻找规律，形成数学概念。
4影响数学概念的几点因素
4.1教材编排对数学概念学习的影响
数学从来都不是独立存在的，数学知识的学习也是希望能为学生未来生活、工作和学习奠定基础，课程标准指出，“数学课程的学习可以使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创意意识和实践能力；促进学生在情感、态度和价值观方面的发展”。
而教材作为课程内容传达的最佳媒介，直接关系到教师教和学生学的质量，
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是教学活动实施的主要依托，足以见得其重要性。随着社会发展的需要，教育的形式和内容也在不断地发生着日新月异的变化，无数的教育工作者投身到教育改革的浪潮中，不论是教学内容的变化、呈现方式的不同、编排顺序的改变、例题创设的变迁还是探索欣赏的增加等等改变，都是为了在合理利用教材的情况下，以激发学生学习数学的好奇心，增加对新知识的追求欲望，以培养其创新意识和实践能力。近几年随着“一纲多本”政策的实施，全国各地出现了各种版本教材百花齐放的奇异景观，每个教材都在自身地域特征和教学条件允许范围内，最大程度地做出创新，以期培养出更加全面的创新性人才。
虽然要达到培养新世纪人才所必备的数学素养这一宏伟目标，并不是只靠一本教材就能完成的，但是到底哪种教材更合适？教师们便要苦心研究其各自编写的意图、编写理念、编写顺序等，从数学概念的学习角度，概念的引入方式、呈现形式、例题选择等都会直接导致学生理解概念的准确程度。而通过比较可以发现不同版本的教材在内容的选择上面也是十分地独到，下面，本文作者将以《数列》一课为例，从章节分布、概念引入、例题选择三个方面来比较研究。
选择数列一课，因为它非常有代表性，如果学生没有完全理解概念，在考试大潮的席卷下，很可能会陷入只会做题的误区。而通过对高三年级学生的问卷分析，也发现绝大部分学生认为数列一章是一个独立的模块，本章的学习结束之后会存在这样一种极端的弊病，认为数列就是等差和等比数列，学习数列只是为了做题求等差和等比混合之后新数列的通项公式和前n项和。
出现这种现象的原因，是教师没有好好把握教材，因为教材呈现的数学概念和性质都是人类长期实践中经过不断地修正拓展、千锤百炼得到的数学的精华和基础，而要在极小的篇幅内给大家以呈现，同时还要保证基础教育的普及、基本思想方法的传播、基本数学素养的渲染是非常不易的。教师在讲授的同时，要注意体会它的背景、形成过程、应用以及它与其他概念的联系，只要这样，学生才会觉得这一切是合情合理、浑然天成的。
（1）数列目录比较
目录 2.1 数列的概念与简单表示法 人教A版 （必修5第二章） 阅读与思考 斐波那契数列 信息技术应用 估计2的值 2.2 等差数列 2.3 等差数列的前n项和
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分析 数列的研究源于现实生活的需要，人教A版教材在按部就班介绍了数列的概念及相关知识之后，还是选择从特殊入手以研究数学对象的性质，再逐步扩展到一般，所以教材用了很大篇幅详细介绍
2.4 等比数列 2.5 等比数列的前n项和 阅读与思考 九连环 探究与发现 购房中的数学 2.1 数列 2.1.1 数列 2.1.2 数列的递推公式（选学） 2.2 等差数列 2.2.1 等差数列 人教B版 （必修5第二章） 2.3.1 等比数列 2.3.2 等比数列的前n项和 阅读与欣赏 级数趣题 无穷与悖论 1 数列 1.1 数列的概念 1.2 数列的函数特性 2 等差数列 北师大版 2.1 等差数列 （必修5第一章） 2.2 等差数列的前n项和 3 等比数列 3.1 等比数列 3.2 等比数列的前n项和 4 数列在日常经济生活中的应
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了数列通项公式和求和公式。 人教B版虽然只安排了简单的三块，但第一节简单介绍了数列概念之后，仍然加上了数列递推公式的选学内容，还配有“探索与研究”环节，章节后面还有阅读与欣赏环节通过“级数趣题”“无穷与悖论”让学生可以在了解其中的数学文化的同时，增加对民族的自豪感。 2.2.2 等差数列的前n项和 2.3 等比数列 北师大版教材在数列概念引入之后也直接加入了“数列的函数特性”一节，并且十分注意数列在日常生活中的应用，章节后面还配了“课题学习”环节，通过教育储蓄问题让学生明白数学是真正应用于生活的。
用 课题学习 教育储蓄 苏教版教材以鲜亮的色彩一直给人耳目一新的感觉，在教材的安排上虽然没有刻苏教版（必修512.1 数列的概念和简单表示 12.2 等差数列 意增加篇幅，但是不论是在探究环节还是在题目的安排环节上，都配了很多生活的问题和图片，并且重点介绍了斐波那契数列与生活的联系，为学生打开了新的视角。 问题探索 从兔子问题引出的斐 湘教版教材的安排非常波拉契数列 人性化，在章前语部分一首小9.1 数列的概念 9.2 等差数列 湘教版（必修4第二章） 数学实验 乐音的频率比 阅读与思考 初识混沌 9.4 分期付款中的有关计算 9.3 等比数列 诗就将本章知识总结无遗，并且奠定情感基调，学习等差等比数列并不是本章的全部，其中渗透了太多的数学文化部分，在例子的选择上也都是生活中很常见的场景，在章节末还专门有生活中分期付款问题的单独介绍，完美诠释了数第二章） 12.3 等比数列 实习作业 教育储蓄的收益与比学是来源于生活且应用于生活的。 较 从教材的目录上可以看出，虽然各个教材内容的安排上都稍有不同，但各个知识模块的顺序还是基本不变的，学生在系统地学习了函数知识之后，引入其后续概念——数列，作为定义域为正整数集的离散函数而存在。北师大版教材专门安排了一节《数列的函数特性》。
数列这一块知识几乎可以看作是函数这个华丽宫殿的隐密后花园，如果单独把数列作为一个完全独立的章节，学生很容易迷失学习本章的生活意义，通过我们的问卷和个人访谈里都有这样的问题。调查发现大部分使用人教A版教材的学生，更容易迷失，会觉得学习等差、等比数列的通项和求和公式早已成为本章的重心，而这是与我们的教育愿意不符的，数学是来源于生活而应用于生活的，如果一味地陷于解决纸上的题目，就必定是与素质教育的目的背道而驰的。
湘教材按惯例有章前小诗一首——“玉兔子孙世代传，棋盘麦塔上摩天。坛
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坛罐罐求堆垛，步步为营算连环。数列寻根属函数，自成一格意盎然。等差等比初学步，登堂入室看来年。”由这一首诗已经把本章的知识总结无踪了，兔子繁殖问题所渗透的斐波那切数列、古代皇帝奖励棋盘发明者麦粒的典故、求生活中物体的堆垛总和、九连环的解法等等，其中也点明了数列的根基是函数，归根到底是要用函数的性质预测未来的走向，数列是函数的一部分，却也自成一格，等差、等比数列只是作为数列中两类最简单的部分，通过他们的性质探究，用于解决实际生活问题。
（2）数列概念引入比较
数列概念的引入 图像 引入 分析 通过特定的三 由古希腊数学家在沙滩上研究数学的三角形角形数和正方形数的例子直接给出数列的概念，学生理解起来有障碍，会具有某种规律的一列数才能称为数列。 人教A版 数为例，直接指按照一定顺序排出：数列就是这样认为只有特殊的、 列的一列数。 章节开始用有趣的图片介绍了一个经典的关于兔子繁殖的故 斐波那切数列是数学中一颗璀璨的明珠，它的介绍是为了让学生了解事，再指出这就是数学文化，但教材著名的斐波那切很注意从生活现象人教B版 数列，并且紧接着入手，通过学生操在前言部分通过作实践，一张纸对几个简单的活动：折一次得2层，再折纸、平面画线分对折4层，„„把割、计算器操作等 得到的层数列出实验重点指出，这来，如此得到数列样一些有规律或的概念章法自然，毫无章法的数字
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学生也印象深刻。
其渗透的一些数学现象——数列。 提丢斯由一列数联想到太阳到行星距离的规律，进而探明了一 该教材的引入别出心裁，站在跨学科的角度，通过天文学家的例子，北师大版 让学生体会数字的些新行星，由这个 妙用，其中渗透着天文史上发现新模型思想。并结合行星的历史事实六个生活中数字的引出数字的重大例子引入数列，引含义，进而给出钢发学生兴趣，只有管堆、GDP值、通过学习他们，才人口数量„„等能方便以后探索更丰富的生活例子多数字之间的数量 引出数列的概念。 关系。 苏教版通过介绍细胞分裂、葵花种子、鹦鹉螺壳花纹排列等优美的自 由花瓣、螺壳然现象揭示其都有等大家司空见惯各自消长的方式和的自然现象却也特点，引出学生兴反映数字的特殊趣之后， 再以生活规律，引出研究需中数字的例子引入苏教版 要。近而通过剧场概念。 座位、彗星出现年 同时，章节后份等生活问题引面配有的斐波那切入数列概念。 数列的介绍里也详细介绍了树木生长模式等自然现象， 与引入前后呼应，培养学生数学美的意识。 14
教材已经利用一节“问题探索”介绍了生活中的斐波那契数列，湘教版 所以数列的概念新课上选择了兔子繁殖、罐头堆层和生产总值三个例子以引出概念。
通过教材的比较，我们发现各种设计可谓各有用心，在给我们启发的同时，也可以提取有用的为我们所用。通过比较发现，有以下几点可以给我们提示，以便在以后的教学中可以做得更好。
（1）文化渗透，定好探究基调。
学习数学知识的同时，我们一定不能忘了文化的渗透，只有这样才能发现数学与生活的紧密联系，体会数学的美，当然说到数列就一定离不了斐波那契数列，如何自然巧妙、不留痕迹地引入，而又让学生体会其博大精深的奇妙魅力，也着实让不少老师为难。因为考虑到教学任务的巨大压力，很多教师就会选择直接跳过，不为学生展示介绍。
但是正是这个数列与自然界中树木分杈、花瓣数量、树叶形状、种子排列有着让人叹为观止的联系，甚至连天文中太阳和行星的距离都和数列有着脱不开的关系。而从理论上说，正是斐波那契数列让我们有了递推的严格认证，为以后汉诺塔、九连环等更复杂的生活问题的解决提供了一个很好的途径，是探究学习的基础。如果有条件的学校，可以通过多媒体呈现，以数学欣赏课的形式介绍给同学们，以培养他们有一双发现生活的眼睛。
（2）用好图片，奠定学习基础。
数列作为新的章节首先要面对的核心概念，它的授课是非常关键的，直接影响到本章后面课程的学习，那么，要想学好它首先要注意的就是：章前语的应用。在不同版本的教材里，我们都会注意到一个现象，一入眼就会呈现出一幅足以代表本章所学内容的漂亮的图片，在学生预习新课的时候，也足以起到妙趣横生、引人入胜的作用。
比如花瓣个数、数枝数量、兔子繁殖、物品堆砌、棋盘样式等图片，都可以
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教材始终贯彻来源于生活又应用于生活的宗旨，并且在第4节专门介绍了生活中常见的分期付款的问题。
让学生眼前一亮，起到辅助教学的作用。
（3）例子选择要贴近学生生活。
在引例的选择上，如果太深奥，不仅不利于学生预习，在教师上新课的时候，也需要花大量时间在讲述例题背景上面，造成学生思维的偏移，课堂也会背离计划的学习意图。
而有其它学科或复杂生活背景的例题，在引入环节是不宜过多涉及的，如放射性物质的衰变、贷款利息的计算、人口增长情况等等，都可以作为本章知识学习结束之后应该考虑解决的问题，学生在了解了一定的学科背景之后，通过与本章知识的对比联系，建立符合要求的数学模型，并顺利地回归到数学知识的解决上来。
（4）温故知新，做好横向延展。
教师的课前语言描述是打开本章学习之门的前奏，是最为核心和至关重要的，在符合学生认知规律的基础上，都要采取从学生熟悉的事物或现象出发，通过观察、分析，发现通用的数学概念或得出某些结论，并用其解释更多的现象。
不论是学生预习还是教师在授课的时候都会不断地涉及这三个问题：“你以前有接触过这类现象吗？——这一章我们重点学习什么？——学习这些有什么用？”。总的来说，就是要学生在一章之初就明白本章意图解决哪类问题，而在学习结束之后更是深信：数学所学的东西不是凭空想象的，更不是没有用的，它来源于生活，还要应用于生活的。
（5）说理教学，尊重学生主体。
数学不是一味的理论推理，更不是枯燥的纸上解题，在没有深入学习更多的数学结论和解题技巧之前，学生更应该在核心概念课上看到奠定本章基础的学习思维习惯。很多教师都有感触，学生在数列一章学习完全之后，往往会陷入等差、等比数列的解题里面，从而淡忘“数列”的相关知识。这就是学生失去自我，没有在大局上有个学习的方向，而是陷入了解题教学里面，这是应试教育模式下的通病。还好，现在一线教师都已有所察觉，不论是在例题的选择上，还是结论的发现上，都会更多地把发现的主动权交给学生。
就拿通项公式来说，学生首先应该发现的是项与项的关系，那就要尊重他们的心声，而且越早发现递推关系，就不会在以后的学习中觉得突兀和难以理解了，教师不能一味地把学生拉回自己计划的轨道上来。其中也不乏对数列各项的正负、大小关系的猜测，通项及和的极限的感悟等。教师在不打断学生好奇心的同时，也把很多不同的视角和奇妙的结论与大家分享，为以后的继续学习打下了很好的感情基础。
（6）例子设制新颖自然，引发学生兴趣。
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创新情境是需要的，但是不能太牵强，要为教学目标而创新，问题指向性必须明确。因为数列是函数的一部分，又极易与其它知识产生融合，是个非常灵活又极考察学生思维能力的章节，以至于有的教师在上新课的时候便迫不及待地进行“高考训练”，而笔者通过对本章节学生学习结束之后的心理感悟调查，发现绝大部分学生还是把重心放在等差和等比数列的通项和求和公式的记忆上，觉得题目灵活解法巧妙，极易出错。但说到“数列”却普遍反应为“太简单了”，只是“找规律”而已。
教师时刻注意“为设计教学而创新”，而不是“为了创新去设计教学”，引例的重要性就愈发显得珍贵，只有通过抛出新颖巧妙的生活问题，才能引发学生的学习兴趣，为本节课的学习奠定情感基础。
4.2先行组织者对数学概念学习的影响
数学和其它学科一样，都是凝聚着无数先辈的心血和汗水，把众多科学的发现融汇成册，它源于生活，也必将为生活所用，但是从数学教育的视角来看，数学学习的过程更是再现人类认知的过程，只有将知识发生、发展、成型、应用等过程与学生自身的认知自然融合，才不矢为成功的数学教育。它不是不断地重复“是什么”、“什么是”的过程，更是“为什么”、“怎么会”、“还会吗”等富有个人气息的“过程性”问题一一诱导下的系统呈现。
4.3问题引入法对数学概念学习的影响
数学课堂是教师和学生共同参与的舞台，一个优秀的教师是要做到“授人以渔”的，数学是考查思维的科学，数学课堂教学更多地是要教会学生去思考，一节好的课其核心价值在于能否激发和引导学生进行高水平的思维训练。课前树立好一个只有“跳一跳才能摘得到”的教学目标，促进学生更为积极地思考，这固然是非常重要的。但，学生的兴趣、意志、好奇心、情感体验等非智力因素却更加不能忽视，数学学科本来就是拥有着严谨的逻辑推理、抽象的数学符号、庞大的题目库存的特殊学科，不像其他学科可以更多地引起情感共鸣，从而也最枯燥、难学。
而如果学生缺乏学习的兴趣和动力，也就会失去学生的主动性，从而错及数学概念学习的先机，在这种情况下，如何让学生很快地进入学习的精神状态，并愿意积极主动地思考互动，就成了一节课取胜的关键。教师做为课堂实施的主要参与者，就要在课堂伊始，通过问题的引入紧紧抓住学生的心，让学生明白数学学习不是纸上谈兵，而是大有作为的。
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以前的数学课堂问题的导入主要有以下几种形式：1.利用身边的事例，诱发学生学习兴趣，进而引入新课章节；2.联系生活实际，多学科角度引入新课概念；3.通过数学实例的引入，由具体到一般，从而归纳推导得出概念；4.提出新命题作为思考方向，制造悬念，诱发欲望，进而引入新课。这些引入新课的方式已经为我们所熟知，甚至几百年来也来一直进行着创新改革，应用于课堂。
但是，教师作为课堂活动的引导者，必须要思考一个问题：课堂不应该由教师一人说了算，突兀地引入问题情景，学生也会莫名其妙，为什么今天要研究这个，明天又要学习那个，甚至一些问题非常容易引起学生思维的偏离，（有些老师很爱跨学科引入，但是特定的情境有可能是学生学习的盲点和误区，对于一部分学生理解其深意还是会事倍功半，从而造成不必要的注意力分散），那么数学教学中问题的引入如果能注意其逻辑的自然性和连贯性，就能收到事半功倍的效果，实现“良好的开端是成功的一半”。
4.4发展性评价对数学概念学习的影响
课程标准的主要理念是以人为本，并且把提高学生的数学素养作为基本目标，同时在课程实施上倡导学生自主合作、探究的学习方式，还十分注重评价方式的运用，提出发展性评价的理念与方法，注重信息技术的运用，和教学大纲相比可谓是十足的进步和质的飞跃。
基本理念 课程目标 课程内容
苏东坡先生有诗云：“不识庐山真面目，只缘身在此山中”。而我们要做的就是：深入“此山中”，一探究竟，跳出“此山外”，一览天下。初等数学主要研究具体、静态和有限问题，高等数学主要研究抽象、动态和无限问题，看似高等数学要深奥、艰涩许多，可是任何事务的学习都在遵循这样的规律，当你站得高了，视角才能开阔，看得也才能远。从具体——抽象、静态——动态、有限——无限、一元——多元，只是原有规律适用范围的调整和扩大，知识的体系本身是连续和
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教学大纲 知识为本 双基+三大能力 关心教的内容和达到目标 课程标准 能力为主 三维目标 关心学、教、考、编的内容与程度
完整的。
以“数”为例，因为发展的需要，概念也在不断拓展，原古人群居而生，要靠猎杀野生动物为生，甚至没有数量的概念，只有当食物有了充裕，有了记事和分配生活用品等方面的需要，才产生了“数”的意识，从而通过结绳或者刻线来记数，也只能记录简单的“正整数”，但是真正的“正整数”的概念的诞生，却要晚上千年。数的发展从开始的正整数，再到发现了“0”和负数，才把数的范围拓展到整数域，当时的人们觉得这就是所有的数字了，但是直到小数的出现，公元前2100多年，古代巴比伦人（现处伊拉克一带）已经开始使用分母是60的分数，公元前1200多年，我国元代数字家朱世杰也提出了小数的名称，人类也渐渐有了数轴的概念，发现每一个数都可以在数轴上找得到，以为已经找到了完美的结论。当时最有代表性的就是古希腊大数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前885年——公元前400年间），他曾提出“万物皆数”的观点，曾风靡一时。
公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯（Hippasus）提出了一个与毕达哥拉斯学派“万物皆数”观点大相径庭的发现：即一个正方形的对角线和其一边的长度是不可公度的。 一时引起轩然大波，造成学术界的大惶恐，而希伯索斯也为了真理献出了自己年轻的生命，但是他的死也带来了真理的苏醒，由此引发的数学危机甚至一度延续到19世纪下半叶，人们才渐渐认识到有理数并没有布满整个数轴，数轴上存在着很多不能用有理数表示的“孔隙”，而这种“孔隙”甚至被后人证明多得“不可胜数”远超于已经发现的“数”（毕达哥拉斯当时提出的“万物皆数”中的“数”），毕氏党派抹杀真理，希死希伯索斯的作法被视为“无理”，为纪念这位为真理而献身的可敬学者，学界才一致同意把这类不可通约的量取名为“无理数”，以前的“数”自然只能叫做“有理数”了，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了持续2000多年的数学史上第一次大危机。
数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行，比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到“复数”范围。但是它的出现到得到大家的普遍认可也经历了漫长的18个世纪，经过卡当、达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，才使虚数成为了数系大家庭中一员，从而将实数集扩充到了复数集，数的概念也从一维的数轴扩充到了二维的平面。
从此，数经过“具象——抽象——序列”的不断发展，才使得概念在不断完善，回头看我们的教学过程，也是满足着学生的心理发展特点，沿着人类发现的轨迹在不断地学习，就像“复数”，教师不可能在介绍有理数的时候，就一骨脑抛给学生，那样只会造成学生更大的学习障碍。
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下面对小学——初中——高中数学教材中“数的认识”作一简单的纵、横向比较：
学段 数的概念学习纵向目录比较 3. 1~5的认识和加减法 一年级 上册 5. 6~10的认识和加减法 6. 11~20各数的认识 一年级 下册 4. 100以内的加法和减法（一） 二年级 上册 二年级 下册 三年级 上册 小学 三年级 下册 四年级 上册 7. 小数的初步认识 1. 大数的认识 4. 小数的意义和性质 6. 小数的加法和减法 4. 分数的意义和性质 5. 加法和减法 六年级 下册 1. 负数 第一章 有理数 1.1 正数和负数 初中 七年级 上册 1.2 有理数 1.3 有理数的加减法 1.4 有理数的乘除法 1.5 有理数的乘方 2. 100以内的加法（二） 7. 万以内数的认识 7. 分数的初步认识 四年级 下册 五年级 下册 20
第十三章 实数 八年级 上册 13.1 平方根 13.2 立方根 13.3 实数 第三章 数系的扩充与复数的引入 高中 选修1-2 3.1 数系的扩充和复数和概念 3.2 复数代数形式的四则运算 表1 纵向比较
表2 横向比较
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4.5活动经验对数学概念学习的影响
新课标指出要“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”，我们把数学教学看作是一种活动，只有把学生吸引到教学活动中来，真正地参与了课堂进行，才能从中积累活动经验，增强感性认识。
学习最重要的就是体会过程的快乐，有着“雅典第一诗人”美誉的梭伦曾说过“活到老，学到老”，生活中有很多不断学习新事物的智者都可以作为我们的榜样，我自不必多说，可是就数学学科而言，我们教育工作者不难发现当下的学生学习积极性并不高，对于数学知识的应用很多时候“知其然而不知其所以然”，这种现象的频繁发生 ，使得我们不能简单地把所有责任都推到应试教育的身上，教师却有着不可推卸的责任。
在备课之前，作为教师首先应该知道“为什么要教这节课？”，其次才是思考“这节课该怎么教”的问题，以空间立体几何为例，如果教师都把教材定位为解决三视图反映的表面积、体积问题，那他就不会带领学生认真分析教材，吃透培养目标，也就必然会本末倒置、因小失大的。
以教材目录为例，教师只需用短短几句话就可以让学生明白各章节学习的目的和节奏，以此定位自己学习的注意力和侧重点，对于必修二的学习，很自然地把第一章和第二章放在一个体系，第三、第四章则会放在一起学习，学习的顺序也和我们认识事物的顺序非常一致，很多教师都是在必修模块学习的时候，都会有意识地将必修二放在靠后的位置，先有第三章平面知识的学习，再来认识立体几何。
因为平面的是我们最熟悉的，在学习了向量的基础上，再来认识点和直线，就会有一种全新的视角，学生可以更自然地体会“点到成线”的道理，只所以用方程来描述直线，是因为直线上的点都满足着同样的规律，是这个规律把直线上的点集完美代替了，只有具备这样的思路，才是学习解析几何的基本功。 当然平面上的东西也不是那么容易就可以衡量的，纸上随意画一条直线，它并不代表着数学上的“直线”，当我们了解了数学只是生活的简化和理想化的缩影，你就会明白数学揭示的只是生活的其中一小部分的一个简单侧面。甚至有些曲线我们都是无从下手，（当然以后有了计算机的帮助，这些问题早已不再），可是现在要学习的只是认识事物的统一的一种方法，把繁琐化简单，从一般到特殊，通过认识几种有代表性的特例，揭示同类事物学习的方式方法。这两章则是侧重如何用代数的眼光来研究几何，主要只研究了最基本的直线和几乎完美的圆，学生要将几何意义时刻谨记于心，才是学习解析几何的关键，而不能只表面地留于结果，被直线（曲线）方程模糊了双眼。
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学生的视角一直都应该是先作为一个局外人，去挑剔地分析它，再作为其身体的一部分从里面一步步剖析它，就像先认识了直线，再来看它与其他的点、直线或圆有什么关系一样。立体几何学习的时候同样也是如此，我们首先是要站在空间中去发现身边的一个个的实物个体，而要如何更好地认识它们、如何准确地描述其物理结构（不论是用于测量、包装，还是出于设计、改造），都是摆在我们面前的实在实在的问题，它是平面图形还是立体图形、是空心还是实心、各个面是平面还是曲线等等都是我们要考虑的问题。
比如作为厂商要考虑同一种产品要如何包装才能在容量一定的情况下保证所用材料最省，在考虑美观的同时，其表面积、体积的计算也是必不可少的，我们司空见惯的各种物体，也许它们形状的敲定都渗透着设计师们的无数心血与汗水。
下图是课本习题1.1B组的第2题，目的是为了研究下列物体所表示的几何体的几何结构特征。
本章的认知定位是：生活中出现的实物，大到房屋，小到杯子，油漆外表或是度量容量，都要方便快捷地衡量。但有不是每一种几何体我们都熟悉它的结构，有些看似复杂的几何体通过简化、分解，也可以变为几种结构相对较简单的、我们非常熟悉的模型的拼接，通过计算简单图形的表面积和体积以达到完美反映实物的目的。
既然如此，一些常见的几何体就必须一一辩识。要知道我们熟悉的样子并不一定就是标准的数学图形呀，就像我们小学的时候就最早认识的“圆”，生活中圆的图形太多了，数不胜数。但是只有学了数学以后，才知道看起来如此漂亮的圆竟不是完美的“圆”，就让我们对学术的认识敲响了警钟，要时刻以一种寻找真理的眼光来看待问题，只有学习的时候我们认真了，之后拿着标杆一样的准绳去衡量别人，自然也就有了几分科学性。这就是我们为什么还需要一一去解读这些司空见惯的基本图形，还要尝试用严谨的数学语言来陈述其概念，用统一的名称去称呼其各部分构件，教师要鼓励学生用自己的方式给出你看到的图形所满足的描述性的概念，但要让同学们一起分析符合这样语言描述的图形是否一定是我们想得到的简单几何体。
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就以棱柱为例：教材描述为“一般地，有两个面互相平等，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱”，在书本旁边配有图1-1的情况下，学生很容易验证这种描述方式是毫无漏洞的，但有学生就大胆地说出了自己的想法，觉得“这种描述太书面化的，不好理解”，可以定义为：“平面上一个多边形，过每一个顶点作垂直于平面的高，在其上同一高度处截断，把高上的顶点依次相连所得到的多面体就是棱柱”。很多学生也开始随声附和，似乎这样既直观又好理解的描述才是最合适的概念表述。
但是很快就有学生发现了问题，不是所有的棱柱都必须要侧棱垂直于底面的，如图1-2也是满足棱柱定义的，这样就给教师以提示，在上课过程中要尽量呈现更多的满足定义的图像，如果整节课上学生见到的都是垂直于底面的棱柱，他自然也会形成思维定势，这种理解的错误是非常隐蔽的，教师也很难及时地发现学生理解的差异，但在可以预见在日后的运用变形中一定会造成无形的理解障碍。而如果教师可以在上节之初就积极地呈现不同样子的图形，垂直的、倾斜的、竖着的、横着的、高的、矮的、胖的、瘦的„„这样也是思维上由二维到三维的自然过度，我们总在说“点动成线，线动成面”，当我们熟悉了平面上的基本图形，只需要稍加变形就成了要学习的立体图形，在新课讲授的时候，能时刻注意与平面图形的结合，感受旋转和平移的魅力，只有这样才能为日后求立体图形的表面积和体积提供思路，是化繁为简的必要途径。
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教师带领学生经历了从特殊到一般，又从一般到特殊的不断验证，方能得出符合简单几何体的概念描述，这些语言可能并不是书本上的原话，甚至有些描述十分口语化、直观化，但是不得不说，只有经历了这样的辨析的过程，学生才能有一个严谨的学习的态度，同时还能体会到学习和发现的规律，因为他们本来就是一致的，从来不矛盾。
总结上面，就会有同学提出，只要是上下面相互平行，是垂直的还是斜的都没关系，如果其余各面还保持是平行四边形，这个几何体就是棱柱。当然图1-5是可以很快否定这种说法的，但是要给学生足够的时间去发现问题所在。 就像有人去相亲，天南海北不需要马上就见面，可以先寄张照片就行。生活中大量的空间实物模型，也急需从各个方向画在或照在纸上。如果没有生活中反复地从空间实物简化到直观图形，并从平面简图想象、还原到实际形状的循环过程，就没有这样的活动经验的积累。对于直接呈现在面前的东西，学生也就不会
有强烈感想，甚至对于屡见不鲜的几何体直观图，他们也很难直接由空间实物自由地画出来。笔者曾见到这样一个学生，因为教材更多强调的三棱锥和四棱锥，他便很难自己画出图1-6五棱锥的直观图和三视图。
5 椭圆概念课的案例对比
新课标指出：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间
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观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。”而通过对几位一线高中数学教师的个别访谈并且结合导师的意见，本文作者选出大家一致认为十分有难度的《椭圆的标准方程》一课，椭圆作为解析几何中圆锥曲线的一节，其不仅包含了数形结合的思想，在概念的得出过程，也渗透了推理能力、模型思想和运算能力等的考察，是很有代表性的一节课。
教材对椭圆定义的表述，全面地运用了数学的三种语言——图形语言、文字语言和符号语言，也正因如此其概念教学中涵盖了巨大的信息量、严密的逻辑推理及庞大的运算量，本文对椭圆概念的教学作一细致剖析，主要通过几种不同教学方式的课堂实录对比，让读者体会不同设计方法的优劣。
5.1 自学法
自学法是基于学生在课下已经很好地完成了预习任务的基础上，对本节课要讲的东西已经十分明确，甚至还会提出一些“标新立异”、超出课堂预期的问题。那教师要做到始终抓住学生的注意力，不让学生对教师设置的“悬念”不屑一顾，就需要在把握课堂节奏和设制不同问题上下功夫。教师要设制既不同于教材而又不脱离教材的问题，让学生必须经过独立思考才能回答。或者对于本身就是教材原有的步骤，让其说出步骤原由，甚至由其再现过程等不失是很好的自学法通用的教学方式。
课堂案例 1
师：这一节课，我们该学习什么了呀？ 生：椭圆。我们都已经预习过了。
师：（马上给予肯定和表扬）那谁能告诉我，为什么要研究椭圆呢？ 生：因为我们现在研究的都是简单的东西。直线和圆已经学过了，比他们稍微复杂一点的，就是椭圆了。
生：是的，以前学习的规律也是这样的，学了三角形再学四边形，再到多边形。
生：而且这些生活中都非常多原型。
师：看来大家已经掌握了预习的精髓，说得都非常有道理，要继续这样努力噢，很有小科学家的派头呢。数学也是很有用的嘛，学习它是因为生活中总要用，目的还是要解决生活问题的。那它在这一章里又是什么地位呢？
生：„„
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（对于这个问题，大家显然是没有准备好，一时哑口无言，说明自学固然十分需要，但是难免会有很多的盲点和误区存在，自我评估也会有失偏颇、不够准确，听老师的引导和总结却是十分必须的，用一根主线把每个明确的问题串起来，甚至在横向学习方面也可以和以前及以后学习的东西组成一张知识网。）
师：这一章叫《圆锥曲线》，为什么叫这个名字呢？顾名思义，就是要用平面来截圆锥得到的截口曲线，生活中哪些是圆锥的例子？
生：陀螺、沙漏„„
师：对，非常棒，那你能想到如果用一把刀去切开这些圆锥后，总共有几种曲线形式吗？它们分别是用平面怎么截取，得到的呢？这里有六个模型，大家分为六组，操作试试看。
学生分组合作，通过展示结果，教师呈现在黑板上，师生讨论，并通过图片的演示，发现可以有圆、椭圆、抛物线、双曲线四种情况。
师：那生活中你什么时候会看到椭圆呢？
生：不用专门画椭圆的，本子上好好的一个圆只要不是在它正上方看，就是一个椭圆呀。不信你看。（说着就画了起来）
其它同学也有附和，纷纷说出，杯子、瓶子等上面圆形的截面，直观看上去就是一个“扁圆”。
生：看我杯子里斜的水面，也是一个椭圆呢。
由生活中的杯子的例子，大家都得到启发，纷纷说出很多生活的例子，如切菜的时候萝卜的斜切面就是椭圆，还有对天文非常感兴趣的同学甚至提出行星绕
太阳运行的轨道也是一个椭圆，同学们的视野被不断地打开，更是体会到数学与生活的紧密联系，也就更有兴趣去学习后面的新知识。
师：那它的数学性概念是什么呢？
生活化现象对于培养学生的好奇心十分重要，而由数学性概念出发，可以增强学生利用理性思维解决问题的能力。
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……师生一起寻找合适的坐标系，建立方程。
x2y2师：(有同学已经能背出椭圆的标准方程221,但是其推导过程还是颇
ab有学问，一定要和学生一起认真演示其化简过程）刚才我们建立了坐标系，得到了椭圆上任一点M(x,y)与焦点F1(c,0)和F2(c,0)应该满足
(xc)2y2(xc)2y22a，针对这个式子，我们该怎么办？
生：老师，两边平方就可以了
生：不能直接平方的，这样达不到去掉根号的目的，要把其中一个带根号的式子移项到右边，然后再两边平方才可以 。
x2y2师生共同最终得到2221，此该要引导学生明白，为什么要变形成
aacx2y2为我们熟悉的221格式。在此过程中，培养学生建立数学的审美观，体会
ab数学中蕴含的对称、严谨、简洁、规范之美。
x2y2师：我们得到的这个式子2221，就是需要的代表椭圆的方程。但
aac是这个式子不漂亮，怎么把它变得好写好记呢?你能从你画的椭圆中找到代表
a、c、a2c2的线段吗？
同学们不难找到代表a和c的线段，在简单运用勾股定理以后，也能顺利找到代表a2c2的线段，正好是原点到椭圆与y轴交点的线段。
生：a正好是椭圆的“长半径”，a2c2正好是椭圆的“短半径”。 师：既然这么巧，那我们不妨把这个式子化得对称一点，把这个“短半径”用另一个字母代表，怎么样？（同时给出短半轴长、长半轴长的概念。）
师：这个新字母b有限制吗？
生：因为短半轴要比长半轴短，所以ba。
x2y2得到椭圆方程221以后，就要对学生前面提出的建立另外方向的坐标
ab
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系的做法，给予说明。并且加强对称教育，让学生体会横向“扁圆”和竖向“扁圆”的本质区别，知道字母只是个名字而已，长半轴和短半轴的位置才是决定椭圆性质的关键。
5.2 对比教学法
创设问题情境，是数学老师非常喜欢的教学方式，不仅可以很好地复习前知，而且便于老师把握课堂，将教学节奏紧紧掌握在自己手中。当然，这并不是一味地让学生处于被老师“牵着鼻子走”的被动局面，而是将在老师的引导下，让学生在问题的承载下，积极地进行思维活动，从而处于一种“不愤不启、不悱不发”的精神境界。只有如此，学生才会印象深刻、醍醐灌顶。
必修2中我们已经学过为了研究平面内基本几何图形的性质所常用的一般方法，就是通过建立平面直角坐标系寻找可以代表该图形的关于x,y的方程，通过研究方程，进而得出几何图形的某些性质。
课堂案例3
师：在学习了前一节课《曲线与方程》以后，我们已经可以在曲线和方程之间建立起完美的桥梁，即——（1）曲线上点的坐标都是方程的解；（2）以方程的解为坐标的点都在曲线上，也就是能用方程来代表曲线，进而研究它的性质，对吧？嗯，那这节课，我们就来认识一下另外一种基本的曲线类型——椭圆。大家一起说一下椭圆的概念是什么？
生：平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。 师：很好！看来大家都预习了。那这个常数是不是可以为任意数啊？ 生：不是的。（不约而同，看了看课本）有限制的，要F1F2才行。 在学生有可能已经阅读过教材的情况下，老师要有意识地对某些可能关注不够的细节加以呈现，进而启发学生寻找根源。
生：老师我发现了，书上面配有图像，如果这个定长小于F1F2，是组不成几何图形的，而如果长度等于F1F2时，图像只是线段F1F2，也是构不成三角形的。
师：这个同学说得非常好！观察得也很仔细！那结合书上的探究过程，大家同桌合作，一起来画出一个椭圆。
经历动手操作的过程，学生对椭圆上点都满足的几何关系做到心中有数，为
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接下来寻找合适的坐标系建立曲线方程奠定基础。
（老师巡视后，发现有同学在用皮筋在画椭圆，暂时不动声色，一会集中将出现的问题一一呈现）
师：（呈现学生作品）我发现有同学在用皮筋来画椭圆，大家看有道理吗？ 生：不行的，这样就不满足椭圆的概念了，因为它们的距离之和随着皮筋弹力的不同在不断变化。
（老师予以肯定之后，迅速抛出大家熟悉的圆的话题）
师：大家在操作的时候有没有发现，用这一根绳子还能不能作出其它我们熟悉的几何图形啊？
学生马上就能联想到圆，并能马上用道具画出图像。
（老师也积极地引导学生，椭圆上的点是到两个定点的距离和相等，而圆圈上的点只要到一个特定点距离相同就可以了，绳子是可以不用对折的。）
师：大家能不能找出圆和椭圆的相同点和不同点呢？
（开放性较强的问题，能够让学生仔细发现其图像规律、概念差异、方程特点等不同方面，是学生创新思维培养的重要部分）
生：圆和椭圆的图像都非常规律，既是轴对称图形也是中心对称图形。 生：圆很完美，椭圆可以看成被压扁的圆。
生：刚才实验的时候，我们画椭圆是绳子的两部分之和等于绳长，是一个固定值。那圆也可以看着就是椭圆，只是两个定点是相同的，到两个定点的距离之和就是半径的两倍。这样，圆就是特殊的椭圆。
学生的天性使然，老师能做到鼓励他们说出他们看到的，十分难得。有些显而易见的结论都会成为我们思考问题的重要环节。不得不说，学生们对图像的观察非常全面，而且很有深意。
师：既然圆和椭圆有这样“血浓于水”的关系，那能不能用研究圆的方法来研究椭圆呢？谁能帮老师回忆一下，圆是怎么求的？
生：（学生齐声回答）建立坐标系，利用POr，求得圆方程。
师：嗯，不错。看来大家都掌握得非常好。我们一起把它的过程再现到黑板上。（老师写的同时，进行提问）椭圆的坐标系建立方法会和圆的一样吗？
有学生已经在回答“一样”了，但有异样的声音出现，所以课堂有点小躁动。 生：利用圆的对称性建立坐标系是没有限制的，但是椭圆就不同，只有两个
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方向也就是沿着F1F2方向和垂直于F1F2方向两种。
通过老师的引导，师生一起经历建立平面直角坐标系的过程，并利用
MF1MF22a，列出方程，并由进一步化简，一点点得出椭圆的标准方程。课堂进行完，黑板上就呈现出了完整的圆与椭圆比较的各个知识点。学生通过圆的学习方法的迁移，进而达到对椭圆得出过程的深入理解。
圆 平面内，到一定点的概念 距离等于定长的点的集合 椭圆 平面内，与两个定点的和等于常数（大于两点距）的点的轨迹 操作 元素 思想方法 等量关系 平面直角坐标系原点 方程化简方法 圆心、半径 数形结合 椭圆的焦点、定长2a 数形结合 MF1MF22a POr 圆心 平方去绝对值 两焦点的中点 两次平方 x2y21 a2a2c2方程 (xa)2(yb)2r2 当椭圆方程满足关系 圆横向不变，纵向压扁，就是椭圆 a2a2c2即a2b2时，就是一个圆
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5.3 欣赏教学法
教学很多时候需要创设情境，让学生身临其境，感受其产生、发展的过程。但是很多数学概念，虽然是来源于生活，但是却是经过个别数学家用理性思维抽象概括得到的。有些甚至一直是在怀疑中推进，经过了数百年才最终成型，那么要想再现其发展过程就相当有难度。
椭圆就是一个典型的例子。虽然是生活中的例子很多，但是很少能直接从“扁圆”的直观影像得到“到两个定点的距离之和为定长”的抽象数学概念。既然如此，无论老师怎么再现情境，学生都会觉得有些牵强。
就像大家欣赏诗仙李白的大作，老师也决不可以将李白作诗当天的情境再现，进而让学生体会该诗的诞生。老师只会通过欣赏的角度，带领学生慢慢体会诗作中的豪迈与抱负。同样的，我们学习数学也可以借鉴这样的道理，老师不可能提出“怎么从鸭蛋中抽象出椭圆的概念呢？”、“你是怎么想到椭圆就是通过笔尖在固定的绳子上移动得到的？”„„等等问题，我们只能通过欣赏的角度，去感受先人的智慧成果。
课堂案例 4
师：同学们，以前我们已经学习了直线和圆，都是通过寻找代表它们的方程进而来研究这些图像性质的，这就是解析几何。那今天呢，我们还要继续研究，但是并不是研究平面里你画出的任意曲线 ，而是认识一类非常常见也十分漂亮的图形——椭圆。
老师通过播放视频，让学生了解到行星围绕太阳运行的轨道就是我们要研究的图形，从中渗透物理教学。
师：生活中，你们有发现这样的例子吗？
通过提出生活化问题，让学生积极性得以调动，甚至配以简单的实验操作，让学生体会其人文培养。学生能够轻松找出生活的杯子、水桶、碗、电扇等圆形画出来的直观图都是椭圆，黄瓜的斜切面、倾斜的半杯水水面等也是椭圆。
师：我们一起来做几个简单的小实验，（拿出准备好的圆柱和圆锥实物）看看对这个模型做一切面，会呈现怎样的曲线？
切割圆柱时，学生很容易发现：当截面和上底面平行时，截面曲线是圆；当截面垂直于上底面时，截面曲线是矩形；当截面与上底面成一定夹角时，截面曲线是椭圆。同样地，从不同角度切割圆锥得到曲线也是不同的，由学生操作，老师分类呈现，并最终作出总结，也即把一个不平行于圆锥下底面的平面来截圆锥，当截面与圆锥底面夹角不同时，所得到的不同截口曲线——椭圆、双曲线、抛物线，统一叫做圆锥曲线。
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师：我们认识到的椭圆是一个直观的“扁圆”，那它的数学概念又是怎样的？我们的数学家已经研究出来了，那我们就一起欣赏一下。
大家一起读出椭圆的数学概念。
师：我们以前学习圆的时候，可以拿一条绳子，固定其中一个端点，另一个端点移动所形成的轨迹。那椭圆呢，能不能找到适合它的定义的操作模型？
生：那和圆的应该差不多的，也是一条绳子，把绳子的两端拉开一段距离，移动笔尖的过程中，因为绳子的长度是不变的，那就说明笔尖到两个定点的距离之和是一定数，是符合椭圆概念的。
师：非常好，通过这样的操作过程，我们已经完全理解了它的几何意义，那怎样来找到代表椭圆的方程呢？
生：像求圆的方程一样，要建立坐标系，列方程的。 师生一起演示，推导椭圆的标准方程。
5.4 预习教学法
椭圆的标准方程，老师课下先提出以下预习提纲，发给学生:
1、准确解释下列集合所表示的含义：（1）{(x,y)|x2y21}；（2）
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{(x,y)|x2y21}；
2、说说你对曲线和方程的理解，是不是可以把方程与曲线等价起来？ 3、用自己的话说说什么叫圆锥曲线？为什么要研究圆锥曲线？
4、掌握椭圆的定义，体会根据形状的需要建立合适的坐标系，能自己推导椭圆的方程。自己总结出求曲线方程的步骤，并与上节课做一比较。
5、你建立的坐标系和书上相同吗？如果不一样，那得出的方程也不一样，试着用两种坐标系建立方法再次推导得出椭圆的方程，并比较其异同点，试着总结规律。
6、你推导出的方程是椭圆的标准方程吗？书上所做改变有道理吗？意义在哪里？
7、书本中的例题你能做出来吗？还有没有其它的方法呢？
8、尝试自己做出变式，适当改变题目所给条件，看能得到什么结论？ 3
方均斌,杨安.预习观下的数学教学设计、实施及思考[J].数学通报52（7）:12-14.
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“凡事预则立，不预则废”这句中国的老话强调的是不管做什么事，要事先有充分的准备，在学习中当然更要如此。这种准备就表现为“预习”，它是听好课、掌握好课堂内容的先决条件，是数学学习中必不可少的环节，也是培养学生自主学习能力的一个重要途径。那么，怎样充分挖掘预习的巨大潜能，就需要教育工作者在预习观下科学地安排课堂教学设计流程，而不是仅仅停留在简单地下达预习任务的层面，它只是冰山一角，而后期的检测、定位、突破、提升、复习、新课等才是完整教学设计的“重头戏”。
那当老师预习任务已下达的情况下，在新课的课堂上该如何处理即如何做好对学生预习水平的定位这涉及到课堂节奏的整体走向，对教学重难点的把握方面也有个指标作用，我们要承认不论老师任务安排得多么具体，学生对教材内容的领会和理解程度各有不同势必直接导致落实到每个同学身上的效果也差异显著。如果老师不加区分，直接按自己预想的教学方案进行，必然会造成两种极端——有些同学没有提高而另一部分同学却难以消化的局面。
这个尤为重要的检测环节不仅仅是要检查学生预习目标是否实现，更是考查学生掌握和运用知识的能力，以便由此确定教学的重难点，安排哪些知识应详讲、哪些要略讲、哪些又可以不讲；而对学生的整体认识也使教师准确把握不同层次学生的疑惑点，在课堂教学环节也会有意识地将不同教学模块重心放在不同的学生群体上面，这样既避免了教学时间上的浪费，又提高了教学效率4。
检测的重要性却也受到具体课堂要求的制约，由于课堂时间的宝贵，我们不可能占用太多的精力去抽查学生的预习笔记，或者通过大面积提问、小组汇报的方式检验学生预习的效果。在此笔者建议，老师可以在课前2分钟分别抽三个不同层次的学生回答几个简单的问题：“你认为这节课主要讲了什么？”、“为什么要学习这节课？有什么用处？”、“在预习中你的最大障碍是什么？不懂的地方在哪儿？”„„
而对这三个学生的抽取，前提就建立在老师对班上同学学习情况的准确把握上，它们的回答可以涵盖班级大多数同学的普遍水平，对于课堂起点的定位也更准确。
老师如果对班上学生不加分析，直接省去某些由浅入深的引入环节，则势必会给某些学生以门槛过高的感觉，从而心生畏惧。而反之，则无法突出其“新”，失去了其该有的吸引力，无法调动学生的激情。
要想达到课堂教学的赋予情趣，让学生真正做到享受课堂的乐趣，就不单要只满足于老师对班级学生的整体把握，更要建立在老师的充分备课，做好不同备案的前提下，这样就不会出现老师苦思冥想创设问题情境，却仍有部分学生无动
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陈静丽.重视数学预习 提高教学效率[J].学法指导,173-174
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于衷的情况了。
老师上课的主线应该贯穿于学生疑难问题的突破上面。只有这样，才能抓住学生的积极性和兴趣点，不会让学习困难的学生跟不上，也不会让学有余力的同学吃不饱。沿着解决问题的主线，既紧紧抓住学生的注意力，也可以在突破学生知识与能力目标、过程与方法目标的同时，实现其情感态度与价值观目标的培养，贯穿始终的是学生心理上的主动性和解决问题的科学的学习态度。
在《椭圆的标准方程》一课中，老师要解决学生可能存在的疑惑点，需要围绕的主线为：1、建立曲线与方程之间的统一，通过复习提问以前学过的圆的方程，认识到方程是研究曲线的一个跳板，只有用数字说话，才能得到更多让人信服的结论。体会“曲线是点的集合”的集合意识。2、具体到圆锥曲线，要让学生产生一种进一步了解它的欲望，不仅仅身边有很多例子，天文上也用处很多，由需求引出概念。同时配合学生积极地操作验证，即做图、推导过程，而这也是学生类比圆的图形做的知识间的一种迁移。3、得到标准方程的定义以后，还要在应用上有所突破，使学生已经掌握的知识有用武之地，并将求曲线方程的一般步骤做出自己的理解归纳。
教师没有提前安排其课堂的节奏，单凭学生的情绪决定进程，就很容易让一部分学生思想不集中，而这样模糊地听取教学片断，就无法体会老师展现的整节课所包含的数学思想方法，对于科目间和知识内的联系，以及老师所问问题的意图都将错失整体的一种把握和感知，对于具体操作细节的疏漏就更是在所难免了。
笔者不愿看到学生对知识的认识只停留在对教材的简单形式化记忆上面，那么怎样在保证课堂脉络的清晰基础上，针对不同学生的需求，一一攻占其难点，就需要老师对教材和学生的准确定位上面。在本课中，表现在：不同学生对课堂需求的定位不同，对于对本课的目的认识不到位的学生，很可能是没有建立一种集合意识，对于曲线与方程的统一尚存有疑问，对细节方面的要求和理解也就不排除是建立在模仿和简单记忆的层面上。当老师攻破这一思想障碍后，对于教材细节方面所渗透的数学思想再进行积极引导（为什么要这样做，不这样行吗?„„等一系列思考），才会更有效果。
本课在椭圆方程的求解过程中，要达到“求椭圆上点的集合”的目的，就需贯彻求曲线方程的一般思路，它不能简单地停留在记忆的层面，需要结合具体问题熟练应用。其中就涉及到：
1.学生的集合意识，即如何建立坐标系才能使目标集合更好表示。要支持学生的另类想法并通过进一步演示，让学生发现其缺陷，以便产生深刻的印象。（对于焦点在x轴、y轴两种坐标方程的建立都要予以肯定，但另一种过程的呈现要
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交由学生完成，通过对比为接下来椭圆各元素的认识奠定基础。）
2.由概念揭示的几何等量关系，它是目标集合的限制条件所在，是下一步计算推导其方程的基础。
3.过程中的移项、平方等也是生活经验的技巧性积累，教师在展现其过程时，对细节的认真把握才可能保证思想的完整。
4.方程得出后，还需要做些调整以得到标准方程，意义是在哪里，又是怎样发现图中线段关系的。在逐一解决问题的同时，也保证了学生的共同进步。
部分老师由于对教学目标的认识不足，盲目地提高起点，压缩新课进入环节，把重点放在做更多的题目上面，错误地以为只有题目的解决才是最好地检验学生学习目标达成程度的标尺，使得课堂容量很大，落入题海战术的怪圈。学生的精神高度紧张，把赋有趣味的知识传承变成了简单的单向灌输，学生甚至没有时间去想在这一课上为什么会这样安排例题、用以前的知识是不是一定不能解决、例题之间的联系又是什么等问题。
首先，要把握教材例题安排的主线，知道每一个例题的目的和作用。本节第一个例题很显然是已知焦点和过椭圆上一点后，求出椭圆方程，它是对本节课椭圆定义学习的直接应用；第二、三个则是借助别的条件求出点的轨迹，从问题本身来看，它们的结论都是椭圆，而且所用方法也很一致，即利用坐标法，首先设出所求点的坐标，而题目条件的不同，则反映在点集所满足的等价条件上面，对于圆的中点问题还涉及到利用未知关系的消元处理，从策略上是对上一节求曲线方程的贯彻和回顾，通过教师的引导，学生解决起来难度并不大。
但是要想做到举一反三，实现例题的最大教学功效，在做到掌握基本方法、理解数学思维、巩固解题策略的同时，还要实现其创造性和启发性。在本课中，老师要积极引导学生发现不同的解题策略，尝试用不同方法解决所提问题，并且适当做出变式、调整，在例1中结合教材的学习过程，试提出是不是只有给出三个条件才能求出椭圆方程？书本中给出两种情况即知道焦点和到两焦点的长度或者焦点和曲线上任一点，那如果知道曲线上两个点行吗？知道长轴长和曲线上一点呢？对于例2和例3，要体会其中渗透的椭圆与圆的相关性质的比较和把握，在学生改变条件的变式练习中，还可以得到不同的曲线，为圆锥曲线的后续学习做好了铺垫。
而有些教师强行要求学生掌握课本例题结论的做法，无疑是扼杀了学生思维的广阔度，要知道只有从思想上掌握了教材内容的安排意图，做到恰当变式才足以达到意想不到的教学效果。
至此很多教师都以为本节课的教学目标已经达成，却忽略了最后也是很重要的一个环节即——总结反思，教师可以通过形象化的口诀、表格、自己的通俗语
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言来实现本节课的系统化过程，在学生重新审视走过的路时，能够把零散的知识有条理地汇聚起来，不仅可以加深理解，提高记忆，也为日后的灵活调用提供了可能性。
这个时候对新课的学习也就正式落下帷幕，但是对于整个数学学习的体系来说，才只是这个环环相扣的链子中的其中一环，要想保证链子的持久耐用，就要对下一环就是对下一节课的预习任务有所安排了，也只有如此才是完整的教学流程。
预习并不是简单地要求学生读好教材就行了，因为在学生自学能力尚未完全掌握的情况下，难免会落入本文前面提到的预习怪圈里，造成事倍功半的后果。这里就需要有老师给出的预习提纲，用几个足以贯穿整节的提示性问题使学生在整体上对课本有个系统地把握，即使在小的细节上还存在认知上的冲突，也可以在课堂中予以解决。
老师给出提纲要满足以下几个原则：1，要保证“双基”目标的实现,对教材中有涉及的数学概念、性质、公式、定理、法则等都要有所涵盖；2，要体现内容中包含的数学思想方法，在问题给出时，有意识地指向更高的层面，试图教会学生如何去思考教材所容纳的更多的智力价值，以拓展学生的思维能力，引导其学会类比、分析、综合、抽象、概括等数学能力；3，还要有一定的拔高度，以生活化的问题启发学生调用各科知识去发现并解决问题，在符合灵活性和趣味性的同时，对学生综合能力和创新思维也是很大的提高5；4，题目不能过多，要便于老师做课前调查，更关注主观认识方面的问题，不仅避免了他们死记硬背，还有助于发现不同学生的弱点，在课堂教学中既保证了整体能力的提升也做到了因材施教，真正实现“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”。
“预习——引入——练习——提炼”这几个环节其实是循环往复，螺旋式前进的，有些环节也会因为具体的课堂需要而有所增删，但是这种组织教学的流程却是不容忽视的，通过让学生尝试自己解读教材，逐步学会用“挑剔”的眼光寻找疑惑点，对于定理证明和例题描述环节，也就会注意弄清每一步的由来、每个解题步骤格式的规范，甚至会逐步做到通过比较本节课所列举的例题特点，体会题目层层递进的设计意图，真正实现了“授人以渔”。对于学生自学能力的培养也提供了很好平台，逐步实现让学生真正成为学习的主人，有目的、有计划地去完成渴望解决的问题，为探究性学习做好准备。
而且，教学流程做出这样的调整和安排，还可以让学生更好地享受课堂45分钟，中学生渴望表现的心理也促使他能积极地参与教师的课堂安排，主动地思
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黄彬辉；谈高中数学预习指导课学案设计[J]，教学法研究，福建教育学院学报，2002（06）：32
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考教师提出的有挑战性的问题，不仅是展现自己预习成果的好时机，也在疑难问题解决的过程中实现了满足感和学习的成就感，对于学生三维目标的实现，尤其是情感态度与价值观方面的培养可谓是功不可没。
当然基于以上研究，我们也发现要想实现这一目标，对教师的要求也会比较高，需要他们不断地挑战自我，要做到：（1）知识方面，要博览群书，改变孤立和封闭的状态；（2）教育理念上，不能再以教材为主，以课堂为主，以自我为主，要以学生的能力和素养的真正发展为目的，课堂上积极听取学生的不同见解，思维发散；（3）师生关系方面，不再是传统儒家的尊师重道，而要成为学生的一员，是他们的合作者、引导者、促进者，是个大朋友的角色。
5.5 椭圆一课不同版本的分析比较
不同版本教材的安排顺序也可以给予老师以启发，做到有的放矢，取其精华，去其糟粕。
实验 现象 结果 分析 人教A版 用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线是一个圆。以问题的形势启发学生，通过改变平面与圆锥曲线的夹角会有何种图形。 如左图，通过平行于圆锥轴线的切面切割效果引出圆锥曲线概念。 重心更多地在圆锥曲线的几何特征及研究方法上。 教材引入部分没有从生活切入，学生进入情境比较困难，在章前语实验环节，语句也过于书面化，同时并没有随之配有详细的剖面图，学生想象起来很有难度。 同时把更多的关注点放在寻找圆锥曲线的几何特征上面。 38
人教B版 文科教材通过对我国“探测一号”卫星的运行轨道的图形入手，揭示太空中行星和彗星运行轨道为椭圆和双曲线，由此引入圆锥曲线概念。 理科教材则从几何的角度利用平面与圆锥面轴线成不同角度切割时，所得截面的截线的研究。 北师大版 由天体运行轨道、抛掷物体轨迹、油罐汽车横截面、喷泉水流、电站冷却塔等学生熟悉的生活场景指出圆锥曲线的应用之广泛。 湘教版 教材很人性化地配有行星、火箭、圆锥切面等图片，还配有七言小诗，并且给出六个生活中的圆锥曲线的实验。 人教B版文理科视角差别较大，文科教材在介绍了 理科教天文知识之后，于材从切割平椭圆新课上选择平面与圆锥轴面斜切圆柱，由直线夹角的角观形象引入椭圆的度，分析了准确定义。 当平面与圆 理科教材则从锥面轴线成数量的角度详细分不同夹角切 析了夹角不同，切割时所成截面交线的不同。在面不同的结新课环节，并没有果，指出分直接从椭圆入手，别在什么情而是选择一般曲线况下可以得与方程的联系，从到圆、椭圆、数形结合的角度用双曲线等轨坐标法了解一般曲迹。 线轨迹方程的求法 之后，才来研究具体的圆锥曲线。 教材的引入选择的是学生非常熟 由生活悉的生活情景，不引入，指出需要有太多的学科研究圆锥曲背景，入手简单，线的需要，而且圆锥切割剖面只有了解其也非常到位，让学性质，才能生一目了然体会平更好地解决面切割圆锥夹角不 生活中的实同所得不同的截面际问题。 边界，可以帮助学生很好地理解圆锥曲线的概念。 实验都 湘教版教材非是通过非常常全面地从各个方简单易操作面介绍了圆锥曲线的工具或生的存在，但是切入活现象进点却仍然落在同学行，同时每们非常熟悉的生活一个实验都小实验中，简单易配有效果懂，却不乏数学道图，在紧接理，在培养了学生着的结果分空间想象能力的同39
析里不仅对结果作了介绍，而且都从平面与曲面切割的角 度分析其交线。 时，把实验现象都回归到平面与圆锥相切的交线上去。 下面重点分析一下人教B版教材和湘教版教材： （一）人教B版教材
在人教B版教材中，章节的插图就是八大行星的照片，还有一个切割圆锥体的清晰的画面，明显的天文图象带领学生从生产生活的实际需要出发，从行星运行轨道引入要学习的圆锥曲线的内容，学生在高中阶段的物理必修2中已经学习过行星运行轨迹的知识，对万有引力下同步卫星围绕地球运行的轨道是圆、行星围绕太阳运行的轨道是椭圆、彗星运行轨道是抛物线等的现象，学生并不陌生，在回顾天文知识的同时，指出这种在现实世界里物体运动的普遍形式，只是平面与圆锥曲面相截所得到的截线形状。
如此普通地存在，大量的应用都迫切需要我们更深入的研究它，正确地认识它们的基本特征，并利用得到的共同的性质，以解决生活中的具体问题。带着这一目标，又延续数学必修2中平面解析几何初步中，利用“坐标法”研究直线和圆的学习规律，在本章也要在曲线和方程之间架起一座科学的桥梁。学生带着满满的自信心，利用数形结合的观点，努力寻找代数方法以研究面对的椭圆、双曲线、抛物线的几何问题。 （二）湘教版教材
在湖南教育出版社出版的教科书中，开章在配有火箭发射和行星围绕的图片，旁边有这样一首打油诗：“平面截锥曲线三，有开有闭各飞天。行星绕日椭圆轨，抛物双曲不复还”。虽然它强调圆锥曲线天下地下无处不在，但是作为由平面截圆锥所得的曲线，教材始终紧扣生活，由生活中的圆锥曲线的数学实验的操作，引入学生对各类曲线的直观感受，
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教材在前奏方面做得非常全面，不是单单把问题抛给学生就结束了，而是紧接着放上实验之后的图像结果，和学生操作结果做一比对，并注意用通俗易懂的话语总结看到的现象，及时予以科学的解释：当目光直视茶杯的上沿时，看到的应该是个圆，但是在桌子旁边观察茶杯时，看到的却是一个横向不变，而纵向被压缩的“扁圆”。“扁圆”也许是我们非常熟悉的口语现象，生活中标准的完美的圆其实并不常见，而对“扁圆”学生却司空见惯，不论是实验中提到的灯影、球影，还是水桶、杯子等圆面换个视角呈现在眼睛里的样子，都是我们公认的“扁圆”。
值得说的是，教材编写者非常注意用科学的观点看待生活中出现的问题，不是一切“扁圆”都可称为“椭圆”，作者把每一个例子都刻意回归到“由平面截圆锥所得的曲线——圆、椭圆、抛物线、双曲线可统称为圆锥曲线”这一简单概念中去。
如实验3 中将饮料杯中装一些水，杯子逐渐倾斜时，观察水面的形状的变化，实际上就是让圆柱面（即实验中的杯子）与平面（即实验中的水面）以不同的角度相交，得到“拉长程度”不同的椭圆。这些紧紧围绕概念“平面与曲面相交”，不仅锻炼了学生理性观察生活的新视角，而且对于学生以后通过平面图形还原出立体形象也起到了很大的辅助作用。
教材通过“数学实验——结果呈现——分析原理”三个环节，不仅让学生有自己的操作感知过程，并且将不同实验的结果一一用图像的形式呈现在学生面前，让学生也体会到一种自身的满足感和成熟感，有身临其境之感，直接形成其活动经验。同时，几个实验结果同时呈现，也能让学生产生强烈的视觉冲击，对于寻根溯源、培养学生好奇心和求知欲都有很好的作用。
在文理科学生所使用的选修1-1和2-1的教材比较中，我们还发现，文科教材更偏应用，只是简单解释眼睛看到的现象，而理科就更偏理论化、逻辑化和数学化，对于“人看到的为什么是横向不变而纵向压缩某一倍数得到的椭圆”给出了详细的解释。
书侧还有这样的话：“做实验就是这样：操作，观察现象，对现象进行理论分析，必要时再设计新的实验进一步验证理论分析的结果”。
不得不说，教材是学生最好的自学工具，在引导学生学会必须掌握的数学知识的同时，也教给学生对待科学的态度，是学生的良师益友。
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6教学的一点建议
6.1用人文眼光重新审视概念课教学
早在1997年的中共十五大上，中央就已经把可持续发展战略确定为我国现代化建设的必备战略。十几年来，大家可以看到中国的经济、社会发展已经在发生着日新月异的变化，但是随着社会的飞速发展，其中一些被人们忽略的问题现在也越发受到大家的关注，那就是人的发展。而教师在教书育人方面自然起到了无足轻重的作用，人文学科的启发教育功效一直被人们津津乐道，而对于数学学科人们却鲜少关注。
数学文化是概念教学的根，所有的知识脉络都来源于此。早在中国古代就有引以为傲的情境教学，不论是论语中孔老先生的“不愤不悱，不悱不发”，还是孟母三迁“择邻处，子不学，断机杼”，都不只为启发教学的先例。数学课程内容要反映数学的特点、社会的需要，要符合学生的认知规律。教学目标不仅包括数学的结果，更应该包括数学结果的形成过程和其中所蕴涵的数学思想方法和数学文化。
（1）直观描述，引出严格的数学语言定义（是什么）；
（2）与以往概念相联系，说明概念的来源（除有些本身就是原始概念）； （3）实例进一步解释概念，帮助学生理解概念的本质； （4）运用概念，明确其用途（为什么）；
（5）引出其外延概念，拓展其深度和广度（怎么用）．
6.2把握课堂组织形式的多元变化
概念的分类：——————数学化语言
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不同的分类标准 原始概念 平行概念 子概念 运算 关系 特征
1描述性概念：
描述性概念一般较为形象直观，同时难免就会模糊、不精确，对学生形成完整性的体系和形成严谨的逻辑推导是十分不利的。
1.1什么是描述性概念 1.2描述性概念需要准备什么：
1.2.1（1）把握来龙去脉，为后续学习打好基础 角 圆 三角函数
平行线——异面直线
小学、初中、高中都有学，但是概念的给出是不一样的。要有所侧重，只要满足现阶段学生学习下位概念的需求就可以了，不能超负荷地过多介绍，使学生难以消化吸收。
1.2.2（2）紧扣大纲，把握现阶段教学重点 1.2.3（3）课堂组织形式的变化
1.2.4（4）与学生的思维特点相吻合，问题要有目标性
低学段的学生思维发展并不成熟，会尽力地模仿老师做的，平常看到的角其中一条边都是和视线相平行的，学生判断角的大小就很好判断，可一旦老师将角的方向改变，学生甚至一时间不知道该怎么摆三角板、量角器等。又或者在自己本子上，可以通过移动本子，达到将角的边平行于自己，再到讲台上演示，也会出现问题。这是正常的现象。
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1.2.5（5）迎合学生成就感的培养，适当示弱，促进学生思维发现。 小学二年级有
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