椭圆和双曲线练习题及答案解析

一、选择题

x2y2

1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )

2516A．4 B．5 C．8 D．10 解析：选D 根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，故选D.

x22

2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边

3上，则△ABC的周长是( )

A．23 B．6 C．43 D．12

解析：选C 由于△ABC的周长与焦点有关，设另一焦点为F，利用椭圆的定义，|BA|＋|BF|＝23，|CA|＋|CF|＝23，便可求得△ABC的周长为43.

3．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：选B 利用椭圆定义．若P点轨迹是椭圆，则|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常数)，故甲是乙的必要条件． 反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．

这是因为：仅当2a＞|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a＜|AB|时，P点无轨迹，故甲不是乙的充分条件．

综上，甲是乙的必要不充分条件．

x2y24．如果方程2＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )

aa＋6

A．(3，＋∞) B．(－∞，－2) C．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D．(－6，－2)∪(3，＋∞)

2a＜－2或a＞3，a－a－6＞0，2解析：选D 由a＞a＋6＞0，得所以，所以a＞3或－6＜a＜－2. a＋6＞0，a＞－6，

5．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝23，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )

x2y2x2y2x2y2

A.＋＝1 B.＋＝1或＋＝1 129129912x2y2x2y2x2y2

C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1 91248454548解析：选B 由已知2c＝|F1F2|＝23，得c＝3. 由2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝43，得 a＝23. ∴b2＝a2－c2＝9.

x2y2x2y2

故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.

129912

1 / 8

6．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( ) A．(±13,0)

B．(0，±10) C．(0，±13)

D．(0，±69) a2－b2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．

解析：选D 由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝

x2y237．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若

ab3△AF1B的周长为43，则C的方程为( )

x2y2x22x2y2x2y2

A.＋＝1 B.＋y＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 323128124解析：选A 由椭圆的性质知，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a， 又∵△AF1B的周长＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝43，∴a＝3. x2y23222又e＝，∴c＝1.∴b＝a－c＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.

332

x2y2x2y2x2y2y2x2

8．已知椭圆2＋2＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆2＋2＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相

ab2516ab219等，则( )

A．a2＝25，b2＝16 B．a2＝9，b2＝25 C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25 D．a2＝25，b2＝9

x2y2y2x2

解析：选D 因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，

2516219所以a2＝25，b2＝9.

x2y2

9．已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于

ab―→―→

点P.若AP＝2PB，则椭圆的离心率是( )

A.3 2

B.211 C. D. 232

|PA||AO|2ac12―→―→―→―→

解析：选D ∵AP＝2PB，∴|AP|＝2|PB|.又∵PO∥BF，∴＝＝，即＝，∴e＝＝.

a2|AB||AF|3a＋c3

x2y2

10．过椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则

ab椭圆的离心率为( )

A.2311 B. C. D. 2323

b2b2解析：选B 法一：将x＝－c代入椭圆方程可解得点P－c，±，故|PF1|＝，

aa

2b23b2c3

又在Rt△F1PF2中∠F1PF2＝60°，所以|PF2|＝a，根据椭圆定义得a＝2a，从而可得e＝a＝. 32343

法二：设|F1F2|＝2c，则在Rt△F1PF2中，|PF1|＝c，|PF2|＝c.

33c3所以|PF1|＋|PF2|＝23c＝2a，离心率e＝a＝. 3

11．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为( )

2 / 8

x2y2y2x2

A.－＝1 B.－＝1 25242524

x2y2y2x2x2y2y2x2

C.－＝1或－＝1 D.－＝0或－＝0 2524252425242524

解析：选C 由于焦点所在轴不确定，∴有两种情况．又∵a＝5，c＝7，∴b2＝72－52＝24. x2y212．已知m，n∈R，则“m·n＜0”是“方程m＋n＝1表示双曲线”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

x2y2x2y2解析：选C 若方程＋＝1表示双曲线，则必有m·n＜0；当m·n＜0时，方程＋＝1表示双曲线．所以

mnmnx2y2

“m·n＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的充要条件．

mn

13．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为( ) 137A. B. C. 222

D．5

解析：选C 如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，37

|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.

22

x2y2

14．双曲线－＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到焦点F1的距离是12，则点P到焦点F2

259的距离是( )

A．17 B．7 C．7或17 D．2或22

解析：选D 依题意及双曲线定义知，||PF1|－|PF2||＝10，即12－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝2或22，故选D. 15．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A．x2－

y2x22x2

2

＝1 B.－y＝1 C．y－＝1 333

x2y2

D.－＝1

22

解析：选A 由双曲线定义知，2a＝2＋22＋32－2－22＋32＝5－3＝2， ∴a＝1.又

c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为

6

的是( ) 2

x2y2

D.－＝1

410x2－

y2

＝1. 3

16．下列双曲线中离心率为

x2y2x2y2x2y2

A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 244246

a2＋b23c23b21632

解析：选B 由e＝得e＝，∴2＝，则2＝，∴2＝，即a2＝2b2.因此可知B正确．

22a2a2a217．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是( ) A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4 C．y2－x2＝8

D．y2－x2＝4

解析：选A 令y＝0得，x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)， 11

∴c＝4，a2＝c2＝×16＝8，故选A.

22

x2y2x2y2

18．(广东高考)若实数k 满足0＜k＜5 ，则曲线－ ＝1与曲线 －＝1的( )

165－k16－k5

3 / 8

A．实半轴长相等 B. 虚半轴长相等 C．离心率相等 D. 焦距相等

解析：选D 由0＜k＜5易知两曲线均为双曲线，且焦点都在x轴上，由于16＋5－k＝16－k＋5，所以两曲线的焦距相等．

x2y2

19．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是( )

4k

A．(－10,0) B．(－12,0) C．(－3,0) D．(－60，－12) a2＋b24－kk

解析：选B 由题意知k＜0，∴a2＝4，b2＝－k.∴e2＝2＝＝1－.

a44k

又e∈(1,2)，∴1＜1－＜4，∴－12＜k＜0.

4

x2y2

20．(天津高考)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点

ab在直线l上，则双曲线的方程为( )

x2y2x2y23x23y23x23y2

A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 5202052510010025b

解析：选A 由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y＝x与直线y＝2x＋10平行，

a

bx2y2

22222

所以a＝2且左焦点为(－5,0)，所以a＋b＝c＝25，解得a＝5，b＝20，故双曲线的方程为－＝1.

520二、填空题

x2y2

21．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是________．

m4

解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，∴c＝1.∴m－4＝1，m＝5. 当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，∴c2＝4－m＝1，∴m＝3. 答案：3或5

22．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为____________． x2y2

解析：法一：依题意，可设椭圆C的方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．

ab

c＝2，c＝2，从而有解得

2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，a＝4.

又

a2＝b2＋c2，所以

b2＝12，故椭圆

x2y2

C的标准方程为＋＝1.

1612x2

y2

49a2＋b2＝1，

法二：依题意，可设椭圆C的方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，则解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从

ab

a2－b2＝4，而

a2＝16.所以椭圆

x2y2

C的标准方程为＋＝1.

1612

x2y2

答案：＋＝1

1612

23．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆的标准方程为__________．

4 / 8

1

解析：如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，∴×8b＝12，∴b＝3.又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.

2

x2y2

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

259x2y2

答案：＋＝1

259

24．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________________． 解析：椭圆

9x2＋4y2＝36

x2y2x2y2

可化为＋＝1，因此可设待求椭圆为＋＝1.

mm＋549

x2y2

又b＝25，故m＝20，得＋＝1.

2025x2y2

答案：＋＝1

2025

x2y21

25．椭圆＋＝1的离心率为，则m＝________.

4m2

4－m1m－411616

解析：当焦点在x轴上时，＝⇒m＝3；当焦点在y轴上时，＝⇒m＝.综上，m＝3或m＝.

22233m16

答案：3或

3

26．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

5

， 且过P(－5,4)，则椭圆的方程为__________． 5

22

cc2a－b15

解析：∵e＝a＝，∴2＝2＝，∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2.

5aa5

x25y2x2y2255×162

设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a＞0)，∵椭圆过点P(－5,4)，∴2＋＝1.解得a＝45.∴椭圆的方程为＋

a4aa4a24536

＝1.

x2y2

答案：＋＝1

4536

y2x2

27．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线m－＝1的一个焦点，则m＝________.

9

y2x2

解析：由点F(0,5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m＞0，且m＋9＝52，解得m＝16.

m9答案：16

28．经过点P(－3,27)和Q(－62，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是______________．

设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，则

9m＋28n＝1，

72m＋49n＝1，

m＝－75，

解得1

n＝25，

1

y2x2

故双曲线的标准方程为－＝1.

2575y2x2

答案：－＝1

2575

―→―→

29．已知双曲线的两个焦点F1(－5，0)，F2(5，0)，P是双曲线上一点，且PF1·PF2＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为________．

5 / 8

x2y2

解析：解析：由题意可设双曲线方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)．

ab

―→―→由PF1·PF2＝0，得PF1⊥PF2.根据勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，即|PF1|2＋|PF2|2＝20.

根据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝±2a.两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2得20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5x22

－4＝1，所以双曲线方程为－y＝1.

4

x22

答案：－y＝1

4

x2y23

30．若双曲线－m＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是________．

42解析：由渐近线方程为y＝±答案：(±7，0)

x2y2

31．过双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径

ab的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．

b2

解析：由题意知，a＋c＝a，即a2＋ac＝c2－a2，∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)． 答案：2

x2y2

32．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点

916B，则△AFB的面积为________．

x2y244

解析：双曲线－＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x.不妨设直线FB的方程为y＝(x

9163317321732

，－. －5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝，y＝－，所以B155515

1113232

所以S△AFB＝|AF||yB|＝(c－a)|yB|＝×(5－3)×＝. 222151532

答案：.

15三、解答题

x2y2333．设F1，F2分别是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点．设椭圆C上一点3，到两焦点F1，F2ab2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．

323解：由点3，在椭圆上，得2＋2＝1，

ab2

x2y2

又2a＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．

43

34．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|. (1)求此椭圆的方程；

m3

x＝±x，得m＝3，所以c＝7，又焦点在x轴上，则焦点坐标为(±7，0)． 22

32

2

(2)若点P满足∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积．

2

2

2

x2y2

解：(1)由已知得|F1F2|＝2，∴|PF1|＋|PF2|＝4＝2a，∴a＝2.∴b＝a－c＝4－1＝3，∴椭圆的标准方程为＋＝1.

43

6 / 8

(2)在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 120°，即4＝|PF1|＋|PF2|2－|PF1|

()

|PF2|，∴4＝(2a)2－|PF1||PF2|＝16－|PF1||PF2|，

113

∴|PF1||PF2|＝12，∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin 120°＝×12×＝33.

222

35．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程．

a2－b21b21x2y2c212c2

解：设椭圆C的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)．由e＝知a＝，故2＝，从而2＝，2＝. ab22a2a2a2由△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，∴b2＝8.故椭圆C的标准x2y2

方程为＋＝1.

168

x2y2

36．椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．

ab

2

，过点F1的直线l2

aa

x－2＋y2＝2，所以y2＝ax解：设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是：22x2y2

P点在椭圆上，故2＋2＝1.②把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，即(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，

ab

ab2

ab2

－x2.①又

∵x≠a，x≠0，∴x＝22，又0＜x＜a，∴0＜2＜a，即2b2＜a2. 2

a－ba－b由b2＝a2－c2，得a2＜2c2，所以e＞又∵0＜e＜1，∴2

. 2

22，1. ＜e＜1.即椭圆离心率的取值范围是22

x2y2537．已知与双曲线－＝1共焦点的双曲线过点P－，－6，求该双曲线的标准方程． 1692x2y2

解：已知双曲线－＝1.据c2＝a2＋b2，得c2＝16＋9＝25，

169

x2y2

∴c＝5.设所求双曲线的标准方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)．依题意，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－a2，

abx2y2

故双曲线方程可写为2－＝1.

a25－a2

∵点P－

5，－6在双曲线上，∴2

－52

2－62

a2

－25－a2

＝1.化简，得4a4－129a2＋125＝0，

12512512525

解得a2＝1或a2＝.又当a2＝时，b2＝25－a2＝25－＝－＜0，不合题意，舍去，故a2＝1，b2＝24.

4444∴所求双曲线的标准方程为

x2－

y2

＝1. 24

38．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系1

式sin B－sin A＝sin C.

2

7 / 8

(1)求线段AB的长度； (2)求顶点C的轨迹方程．

x22

解：(1)将椭圆方程化为标准形式为＋y＝1.∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，则A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4.

511

(2)∵sin B－sin A＝sin C，∴由正弦定理得|CA|－|CB|＝|AB|＝2＜|AB|＝4，即动点C到两定点A，B的距离之

22

y2

差为定值．∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，∴所求的点C的轨迹方程为x－＝1(x＞1)．

3

2

x2y2

39.已知椭圆方程是＋＝1，双曲线E的渐近线方程是3x＋4y＝0，若双曲线E以椭圆的焦点为其顶点，求双曲

105

线的方程．

解：由已知，得椭圆的焦点坐标为(±5，0)，顶点坐标为(±10，0)和(0，±5)．

因双曲线以椭圆的焦点为顶点，即双曲线过点(±5，0)时，可设所求的双曲线方程为9x2－16y2＝k(k≠0)，将

x216y2

点的坐标代入得k＝45，故所求方程是－＝1.

545

x2y2a23

40．已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，且c＝.

ab3(1)求双曲线C的方程；

(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．



解：(1)由题意得c

a＝

x－y＋m＝0，由y2

2x－2＝1，

a23

＝，c3

3，

a＝1，

解得

c＝3.

所以b2＝c2－a2＝2.所以双曲线C的方程为x2－

y2

＝1. 2

(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．

得x2－2mx－m2－2＝0(判别式

x1＋x2

Δ＞0)．所以x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m.

2

因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5.故m＝±1.

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