人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线全章知识点归纳总结

 相交线与平行线 相交线与平行线 全章知识点全章知识点归纳总结知识点归纳总结 归纳总结 5.1相交线 1、邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： 对顶角 图形 2 顶点 有公共顶点 1 边的关系 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 大小关系 对顶角相等 即∠1=∠2 ∠1与∠2 邻补角 4 3 ∠3与∠4 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. ∠3+∠4=180° 注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角； ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角. ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 2、垂线 ⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. C 符号语言记作： 如图所示：AB⊥CD，垂足为O B A O D ⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记) ⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. 3、垂线的画法：垂线的画法： ⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线. 注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线； ②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上. 画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上， ⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上， ⑶三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线. 4、点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 记得时候应该结合图形进行记忆. •P B A O 如图，PO⊥AB，同P到直线AB的距离是PO的长.PO是垂线段.PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用. 5、如何理解“、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”如何理解“垂线”垂线”垂线段”两点间距离”点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 分析它们的联系与区别 ⑴垂线与垂线段 区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度. 联系：具有垂直于已知直线的共同特征.(垂直的性质) ⑵两点间距离与点到直线的距离 区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间. 联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离. ⑶线段与距离 距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同. 5.2平行线 1、平行线的概念：平行线的概念： 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b. 2、两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行. 因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线） 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线） 3、平行公理――平行公理――平行线的存在性与惟一性――平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 4、平行公理的推论：平行公理的推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 a 如左图所示，∵b∥a，c∥a b c ∴b∥c 注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行. 5、三线八角 两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角. l 如图，直线a,b被直线l所截 2 1 3 4 a ①∠1与∠5在截线l的同侧，同在被截直线a,b的上方， 6 5 b 7 8 ②∠5与∠3在截线l的两旁（交错），在被截直线a,b之间（内），叫做内错角（位置在叫做同位角（位置相同） 内且交错） ③∠5与∠4在截线l的同侧，在被截直线a,b之间（内），叫做同旁内角. ④三线八角也可以成模型中看出.同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型. 6、如何判别三线八角 判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全. 例如： A D 3 4 2 1 5 6 7 F B C 8 9 E 如图，判断下列各对角的位置关系：⑴∠1与∠2；⑵∠1与∠7；⑶∠1与∠BAD；⑷∠2与∠6；⑸∠5与∠8. 我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图. 如图所示，不难看出∠1与∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠BAD是同旁内角；∠2与∠6是内错角；∠5与∠8对顶角. A A A D 2 A D 2 6 C 1 1 1 7 B B F B C F B A F 5 8 C B E 注意：图中∠2与∠9，它们是同位角吗？ 不是，因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成. 7、两直线平行的判定方法 方法一 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简称：同位角相等，两直线平行 方法二 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 简称：内错角相等，两直线平行 方法三 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简称：同旁内角互补，两直线平行 E A 3 B 几何符号语言： 4 ∵ ∠3＝∠2 1 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） C ∵ ∠1＝∠2 2 D ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） F ∵ ∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 请同学们注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行.平行线的判定是写角相等，然后写平行. 注意：⑴几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”.上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”，判定两直线“平行”这种“位置关系”. ⑵根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种： ① 如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. ② 如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行. 典型例题：判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正： ⑴不相交的两条直线必定平行线. ⑵在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交. ⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行 解答：⑴错误，平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”.“在同一平面内”是一项重要条件，不能遗漏. ⑵正确 ⑶不正确，正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”.因为如果这一点不在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的. 典型例题：如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行，并A D 说明判定的根据是什么？ 解答： 1 ⑴由∠2＝∠B可判定AB∥DE，根据是同位角相等，两直线平行； B 2 3 E C F ⑵由∠1＝∠D可判定AC∥DF，根据是内错角相等，两直线平行； ⑶由∠3＋∠F＝180°可判定AC∥DF，根据同旁内角互补，两直线平行. 5.3平行线的性质 1、平行线的性质：平行线的性质： 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. E A 3 B 几何符号语言： 1 4 ∵AB∥CD ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等） C ∵AB∥CD 2 D ∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等） F ∵AB∥CD ∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补） 2、两条平行线的距离 如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. G A E B H D C F 注意：直线AB∥CD，在直线AB上任取一点G，过点G作CD的垂线段GH，则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离. 3、命题： ⑴命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题. ⑵命题的组成 每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.命题常写成“如果……，那么……”的形式.具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论. 有些命题，没有写成“如果……，那么……”的形式，题设和结论不明显.对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……”的形式. 注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述. 4、平行线的性质与判定 ①平行线的性质与判定是互逆的关系 两直线平行 同位角相等； 两直线平行 内错角相等； 两直线平行 同旁内角互补. 其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质. 典型例题：已知∠1＝∠B，求证：∠2＝∠C A 证明：∵∠1＝∠B（已知） ∴DE∥BC（同位角相等， 2 E 两直线平行） D 1 ∴∠2＝∠C（两直线平行 同位角相等） B C 注意，在了DE∥BC，不需要再写一次了，得到了DE∥BC，这可以把它当作条件来用了. A 典型例题：如图，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65° D E 求∠2、∠3的度数 2 3 解答：∵DE∥BC（已知） ∴∠2＝∠1＝65°（两直线平行，内错角相等） 1 F C ∵AB∥DF（已知） B ∴AB∥DF（已知） ∴∠3＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115° 5.4平移 1、平移变换 ①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同. ②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点 ③连接各组对应点的线段平行且相等 2、平移的特征： ①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化. ②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等. 典型例题：如图，△ABC经过平移之后成为△DEF，那么： ⑴点A的对应点是点＿＿＿＿＿＿＿＿＿；⑵点B的对应点是点＿＿＿＿＿＿. ⑶点＿＿＿＿＿的对应点是点F；⑷线段ABA D 的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿； ⑸线段BC的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；B E C F ⑹∠A的对应角是＿＿＿＿＿＿. ⑺＿＿＿＿的对应角是∠F. 解答： ⑴D；⑵E；⑶C；⑷DE；⑸EF；⑹∠D；⑺∠ACB. 思维方式：利用平移特征：平移前后对应线段相等，对应点的连线段平行或在同一直线上解答.