山东省威海市2020_2021学年高一数学下学期期末考试试题

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的某某、考生号等填写在答题卡指定位置上.

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求．

为 6角

a(1,3),b(1,m)，且aA.3

B.3

3)cos 21111A. B. C. D.

101044ycos(2x)的图像关于点(,0)对称，那么||的最小值为

6A. B. C. D. 126335.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a3，b2，

csinAacos(C)，则c

6A.1B.13 C.4 D.13

m,n是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则下列说法正确的是 m,n,，则mnm,n,mn，则 m,,n，则mnm,mn,n，则

tan3，则sin(7.球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用.球面几何中，球面两点之间最短的距离为经过这两点的大圆的劣弧长，称为测地线. 已知正三棱锥SABC，侧棱长为2，底面边长为3，设球O为其外接球，则球O对应的球面上经过S,A两点的测地线长为

b，则m

1C. 3D.1 3 B.2 C. D.4 33G分别为DD1,AA1,AB的中点，P为底面ABCD上一动点ABCDA1BC11D1中，E,F,A.

，且直线D1P平面EFG，则D1P与平面ABCD所成角的正切值的取值X围为

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word A.[32，] 32B.[2,1] 2C.[1，2] D.[26，] 23二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. 命题正确的是

A.PAACPBBCAB3CD，则A，B，C，D四点共线 C.任意向量a，(aa)a=|a|310.下列等式正确的是

ooa，b满足ab=|a||b|，则a，b共线

2tan22.5o11 A.sin15cos15 B.2o21tan22.532cos220o14o4oC.cos15sin15D.o3sin502 2ABCDA1BC11D1，上底面A1B1C1D1边长为2，下底面ABCD边长为4，高为1，则

3B.二面角ABCB1的大小为

41412D.AA1与BC所成角的余弦值为33

f(x)2sin(x)(0)一个周期图像的纸片沿x轴折成直二面角，若原图像上的最

4高点和最低点此时的空间距离为22，则 A.4为函数f(x)的一个周期

1B.函数f(x)的图像关于直线x对称

213C.函数f(x)在(,)上单调递增

22f(x)1在(0,a)上有两个实根，则4a≤7

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． e2为单位正交基底，be1ke2，13.设向量e1，若a2e1e2，且ab，则k_______. 5，若CBCA，则ABC的面积为________. 2315.现有一个圆锥形礼品盒，其母线长为30cm，底面半径为10cm，从底面圆周上一点A，围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到A点，则所用金色彩线的最短长度为_______cm. 16.在平面直角坐标系xOy中，角均以x轴正半轴为始边. 已知角的终边在直线y2x上，14.在ABC中，已知C则tan________；已知角与角的终边关于直线y2x对称，且角与单位圆的交点坐标为(31010,)，则cos________.（本小题第一空2分，第二空3分） 10102 / 11

word

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）

已知四棱锥SABCD的底面是正方形，SA平面ABCD. （Ⅰ）设平面SBC平面SADl，求证：l（Ⅱ）求证：平面SAC平面SBD.

18.（本小题满分12分）

已知函数f(x)3sinxcosxsin两个零点，且|x1x2|的最小值为

2BC；

x，其中0，x1，x2是函数f(x)的

12（Ⅰ）求的值及f(x)的单调递减区间；

（Ⅱ）将函数yf(x)的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移

. 2个单位，得到函数yg(x)的图像，求g(x)在[0,]上的值域.124

19.（本小题满分12分）

某同学在三角函数的研究性学习中发现以下三个等式：

=3sin4sin3 266=3sin4sin3 ②sin4443③sin(=3sin4sin 33①sin（Ⅰ）请根据上述三个等式归纳出一个三角恒等式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：sin34sin()sinsin(). 33

20. （本小题满分12分）

已知菱形ABCD的边长为2，P为对角线BD（异于B，D）上一点.

3 / 11

word

（Ⅰ）如图1，若BP3PD，APBD3，设ABa，ADb. 试用基底{a,b}表示AP，并求|AP|；

（Ⅱ）如图2，若ABAD0，点P在边BC，CD上的射影分别为E，F，求AP与EF的夹角. A

D P C D F C E P B 图1图2

A B

21.（本小题满分12分）

在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AA1，B1C1的中点. （Ⅰ）求证：A1E平面C1BD；

（Ⅱ）若DC1BD，ACBC1，AA12.

（ⅰ）求二面角BDC1C的正切值； （ⅱ）求直线A1E到平面C1BD的距离.

C1A1EB1DCB A

22.（本小题满分12分）

如图，水平放置的圆柱形玻璃容器甲和圆台形玻璃容器乙的高均为32cm，容器甲的底

G1H1的长分别为14cm和62cm. 分面直径AC的长为107cm，容器乙的两底面直径GH，

别往容器甲和容器乙中注入水，水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l，其长度为40cm.（容

器壁厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（Ⅰ）将l放在容器甲中，l的一端置于点A处，另一端置于母线CC1上点B处，求l浸入水中部分的长度；

（Ⅱ）将l放在容器乙中，l的一端置于点G处，另一端置于母线HH1上点M处，求l浸入水中部分的长度.

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容器甲

容器乙

word

高一数学参考答案

一、单项选择题：每小题5分，共40分．

题号 1 答案 C 2 B 3 A 4 B 5 A 6 D 7 C 8 B

二、多项选择题：每小题5分，共20分．

题号 答案 9 AD 10 BCD 11 AB 12 ACD

三、填空题：每小题5分，共20分．

题号 13 14 答案 15 16 2 53 4303 2，10 10四、解答题：本大题共6小题，共70分． 17.（本小题满分10分）

证明：（Ⅰ）因为，BC平面SAD，AD平面SAD，

所以BC所以l平面SAD，………………3分

而平面SBC平面SADl，BC平面SBC，

BC.………………5分

（Ⅱ）因为SA平面ABCD，BD平面ABCD，所以SABD， 因为四棱锥SABCD的底面是正方形，所以BDAC， 而SA与AC相交，

所以BD平面SAC，………………8分 又BD平面SBD，

所以平面SAC平面SBD.………………10分

17.（本小题满分10分）

5 / 11

word 证明：（Ⅰ）因为BC所以BC所以lAD，BC平面SAD，AD平面SAD，

平面SAD，………………3分

而平面SBC平面SADl，BC平面SBC，

BC.………………5分

（Ⅱ）因为SA平面ABCD，BD平面ABCD，所以SABD， 因为四棱锥SABCD的底面是正方形，所以BDAC， 而SA与AC相交，

所以BD平面SAC，………………8分 又BD平面SBD，

所以平面SAC平面SBD.………………10分 18.（本小题满分12分)

2解：（Ⅰ）f(x)3sinxcosxsinx1 2…………2分

sin(2x+)， ……

31cos2x1316sin2xsin2xcos2x222222π，所以fx的最小正周期T，解得1.…4分 223所以f(x)sin(2x+)，由2k≤2x+≤2k，……………5分

62622得k≤x≤k（kZ），

632]（kZ）.……………6分 所以f(x)的单调递减区间为[k，k63（Ⅱ）将函数fx的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），

因为x1x2的最小值为

ππ个单位，得gx2sin(2x)，………8分 123π设t2x，因为x[0,]，所以t[,]， ………………10分

34361由正弦函数图像可知sint[,1]，所以g(x)[1,2].………………12分

2得y2sin(2x+)，再向左平移

618.（本小题满分12分)

2解：（Ⅰ）f(x)3sinxcosxsinx1 26 / 11

word …………2分

sin(2x+)， ……

31cos2x1316sin2xsin2xcos2x222222π，所以fx的最小正周期T，解得1.…4分 223所以f(x)sin(2x+)，由2k≤2x+≤2k，……………5分

62622得k≤x≤k（kZ），

632]（kZ）.……………6分 所以f(x)的单调递减区间为[k，k63（Ⅱ）将函数fx的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），

因为x1x2的最小值为

ππ个单位，得gx2sin(2x)，………8分 123π设t2x，因为x[0,]，所以t[,]， ………………10分

34361由正弦函数图像可知sint[,1]，所以g(x)[1,2].………………12分

2得y2sin(2x+)，再向左平移

619.（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：结论：sin3=3sin4sin3（或sin=3sin34sin33）.…2分

证明如下：sin3=sin2sin2coscos2sin

2sincos212sin2sin……………4分 2sin1sin212sin2sin

2sin2sin3sin2sin33sin4sin3.……………6分

（Ⅱ）等式右边4sin()sinsin()，

3331314sin(cossin)(cossin)…………………7分

2222 314sin(cos2sin2)……………8分

44

22sin(33sinsin)……………10分

sin(34sin2)3sin4sin3，

由（Ⅰ）可知，左边=右边，等式成立. ……………………12分 19.（本小题满分12分）

7 / 11

word （Ⅰ）解：结论：sin3=3sin4sin3（或sin=3sin34sin33）.…2分

证明如下：sin3=sin2sin2coscos2sin

2sincos212sin2sin……………4分 2sin1sin212sin2sin

2sin2sin3sin2sin33sin4sin3.……………6分

（Ⅱ）等式右边4sin()sinsin()，

3331314sin(cossin)(cossin)…………………7分

2222 314sin(cos2sin2)……………8分

44

22sin(33sinsin)……………10分

sin(34sin2)3sin4sin3，

由（Ⅰ）可知，左边=右边，等式成立. ……………………12分 20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由BP3PD可知，BP3BD，从而 43APABBPABBD……………………1分

431313AB(ADAB)ABADab，………………………2分

4444413因为APBD3，所以(ab)(ba)3，

4432112因为|a||b|2，|b|ab|a|3，解得ab2， …………4分

4241321937|a|2|b|2ab所以|AP|(ab)

44161682. …………6分

（Ⅱ）因为ABAD0，所以ABAD，

以A为原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，

………………7分 由P为BD（异于B，D）上一点，从而设P(x,2x)， 则E(2,2x)，F(x，2)， ………………9分

所以AP(x,2x)，EF(x2,x)， ……………………10分

8 / 11

word 因此APEF(x,2x)(x2,x)x(x2)x(2x)0， 因此，AP与EF的夹角为21.（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）取C1B中点F并连接EF，

π. ……………………12分 21BB1，…………1分 21BB1，…………2分 因为D是AA1D//1的中点，所以A2因为E是B1C1的中点，所以EF//所以A1DFE为平行四边形， 1D//EF，所以四边形A所以A1E//DF，……………………3分 因为A1E平面C1BD，DF平面C1BD， 所以A1E平面C1BD.（也可取BB1中点，利用面面平行证）…………………4分

（Ⅱ）（ⅰ）连接CD，因为AC1，AA12，D是AA1的中点，

O所以ADAC，所以ACD45O，所以C1CD45，

同理可得CC1D45，所以CDC1D， ……………………5分

O因为C1DBD，所以二面角BDC1C的平面角为BDC，……………6分 又CDBDD，所以C1D平面CBD，

因为BC平面CBD，所以C1DBC， ……………………7分

因为直三棱柱ABCA1B1C1，所以CC1平面ABC，又BC平面ABC，

所以CC1BC，又C1DC1CC1，

所以BC平面ACC1A1，因为CD平面ACC1A1，所以BCCD，………8分 易求CD2， 在RtBCD中可求，tanBDC（ⅱ）因为A1E平面C1BD，

CB2.……………9分 CD2所以直线A1E到平面C1BD的距离等于点A1到平面C1BD的距离，………10分 设点A1到平面C1BD的距离为h，

因为， ……………………11分 ＶA１C1BDＶBA1C1Ｄ，所以hSC1BDBCSAC11D即h23111，解得h12126， 69 / 11

word

所以直线A1E到平面C1BD的距离为

6. ……………………12分 622.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意可知，四边形ACC1A1为矩形,记AB交水面EF于点P1，

过P1作PQ1. 11AC，垂足为Q在RtACB中，AC107,AB40，

AB2AC230，

P1

3所以sinBAC, 4PQ12Q1 11在RtAPQ， 1611中，AP1sinBAC34从而l浸入水中部分的长度为16cm. ……………………4分

所以BC（Ⅱ）由题意可知，四边形GHH1G1为等腰梯形，过H作HKG1H1，K为垂足. 在RtHKH1中，HK32，H1K24,所以HH1所以sinKH1HHK2H1K240，

43,cosKH1H. ……………………6分 55 在GMH中，设GHM,GMH，

K 易知KH1H180，

43所以sin，cos ， P2

55GHGM1440由正弦定理可知，，即， Q

4sinsinsin57所以sin，……………………8分

25242由于为锐角，所以cos1sin，

252所以sinMGHsin[180()]sin()

424373， ……………10分 5255255记GM与PQ交于P2，过P2作PQ22GH，垂足为Q2.

sincossincos10 / 11

word P2Q21220,

sinMGH35从而l浸入水中部分的长度为20cm. ……………………12分

在RtGP2Q2中，GP2

11 / 11