角度的计算
知识点1：角的分类
1. 锐角：小于 90°的角
2. 直角：等于 90°的角
3. 钝角：大于 90°小于 180°的角
4. 平角：等于 180°的角
5. 周角：等于 360°的角
知识点2:角度的计算
1. 对顶角相等
2. 三角形内角和为180°
3. 多边形内角和：（边数﹣2）×180°
知识点3:特殊角度
1. 一个锐角为30°的直角三角形，斜边的长度是较短直角边的2倍；
2. 一个角为45°的直角三角形为等腰直角三角形；
3. 正三角形（等边三角形）的三个内角均为 60°
【例题精讲】
例题1.
（1）三角形的内角和是多少度？
（2）四边形的内角和是多少度？
（3）五边形的内角和是多少度？
【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°。
【解析】根据画图的方法，分析出来三角形，四边形，五边形的内角和，
（1）如下图
三角形中，内角和=平角=180 ° （2）
我们可以发现，任意四边形都可以被分成两个三角形，利用三角形的内角和180°，那么两个三角形的内角和就是2×180° = 360°。
（3）
如上图得知：任意五边形都可以被分成三个三角形，利用三角形的内角和180°，那么三个三角形的内角和就是3×180°= 540°。
从而得到内角和与边数的关系式，内角和公式：（边数－2）×180°＝540°
【铺垫或引入】利用三角形纸片证明三角形内角和为180°，利用三角形内角和进而推导出四边形内角和、五边形内角和，得出结论：多边形内角和＝（边数－2）×180°
【拓展或总结】拓展：八边形内角和多少度？已知一多边形内角和1800°，是几边形？ 【小结】多边形内角和：（边数﹣2）×180°
练习1. 一个六边形的内角和是多少度？
【答案】720°。
【解析】多边形内角和：（6－2）×180°＝720°
3 例题2. 如图，在三角形中，∠1=70°，∠2=50°, 求∠3 的度数。
【答案】60°。 1 2
【解析】已知三角形内角和为180°，∠1，∠2，∠3 均为该三角形内角，所以∠3＝180°－∠2－∠1＝180°－70°－50＝60°
练习2. 根据下图中的条件，求∠ADC 的度数。
D
A
120°
70° 80°
B C 【答案】90°
【解析】四边形内角和：（4－2）×180°＝360°，∠ADC＝360°－120°－70°-80°=90°
例题3. 下图由三条直线相交而成，∠1=40°,∠2=75°,求∠3 的度数。
【答案】65°。
【解析】∠3 为三角形一内角，另外两个内角恰好分别是∠1，∠2 的对顶角，由对顶角相等可知，三角形另外两个内角分别等于40°与75°，所以∠3＝180°－40°－75°＝65°。
练习3. 如图，∠1=40°，∠2=70°，∠3=45°，求∠4 的度数。
1
4
2 3
【答案】65°。
【解析】由对顶角相等可知，∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠4＝40°＋70°－45°＝65°
例题4. （1）四边形的外角和是多少度？
（2）如图，∠1=60°，∠2=90°，∠3=100°，求∠4 的度数。
4
3
【答案】360°；110°。
【解析】（1）如图四边形的四个外角，每个四边形的外角和它相应的内角构成一个平角180°，共4个平角，即720°，而四边形的内角和是360°，那么四边形的外角和是720°－360° = 360°。
（2）∠1，∠2，∠3，∠4 为该四边形的四个外角， 已知多边形外角和为360°，所 以∠4＝360°－60°－90°－100°＝110°，即∠4＝110°
∠4＝360°－60°－90°－100°＝110° 即：∠4＝110°
练习4. 如图，∠1=71°，∠2=79°，∠3=72°，∠4=80°，求∠5 的度数。
【答案】58°。
1
2
【解析】这5个角都是该五边形的外角，所以∠5＝360°－71°－79°－72°－80°＝58° 例题5、 如图，∠ABC=58°，∠BCD=28°，∠BAD=32°，求∠ADC 的度数.
A
D
B
【答案】118°。
【解析】
1 D
B
C
A
C
该图形为凹四边形，那么四边形的内角和为 360°，可以得到∠1 = 360° − 58° − 28° − 32° = 242°，又因为∠1 + ∠ADC = 360°，所以∠ADC = 360°− 242° = 118°
练习5、 如图，∠A=28°，∠C=26°，∠ADC=90°，求∠B 的度数。
D
B C
【答案】36°。
【解析】由选讲1得到很重要的关系式∠ADC = ∠A + ∠B + ∠C ，∠B＝90°－28°－26°＝36°
例题6、如图，在正方形 ABCD 中有一个点 E，使三角形 BCE 是正三角形。求∠AED 的度数。
A
A B
E
D
C
【答案】150°。
【解析】因为 ABCD 是正方形同时 BCE 是正三角形，所以 AB＝BE，三角形 ABE 是等腰三角形，∠BAE＝∠BEA，因为∠ABE＝90°－60°＝30°，所以∠AEB＝（180°－30°）÷2＝75°，同理，∠DEC＝75°，所以∠AED＝360°－75°－75°－60°＝150°
练习6、如图所示，在正方形ABCD 外有一个点E，使三角形CDE 是正三角形。求∠AEB 的度数。 A D
【答案】30 °。
【解析】因为ABCD 是正方形，△DCE 是正三角形，所以AD＝DE，∠DAE＝∠DEA，∠ ADE＝90°＋60°＝150°，所以∠DEA＝（180°－150°）÷2＝15°，同理，∠CEB＝15°，∠AEB＝60°－15°－15°＝30°
例题7、 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 等于多少度？
【答案】180 ° 【解析】
在三角形AOD 中，∠A + ∠D + ∠AOD = 180 °，∠BOC =∠B + ∠C + ∠E ，因为 ∠AOD = ∠BOC ，从而得到∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180 ° B
C
E
课后作业：
1、三角形的内角和是多少度？【答案】180°。
2、多边形内角和公式是什么？利用内角和公式，求七边形的内角和。【答案】（边数－2）×180°；900 °。
3、如图，∠1=50°，∠1 的对顶角是哪个角？这个角是多少度？
【答案】∠3；50 °。 4、六边形外角和是多少度？【答案】360 °。
5、一个等腰三角形的顶角是80°，那么它的底角是多少度？【答案】50°
6、八边形的内角和是多少度？【答案】1080 °。 【解析】（8－2）×180°＝1080°。
7、根据下图中的条件，求∠A 的度数。
D
A 92°
72° 77°
B C 【答案】119 °
【解析】四边形内角和（4－2）×180°＝360°，∠A＝360°－92°－72°－77°＝119 ° 8、下图由三条直线相交而成，∠1=58°，∠2=42°，则∠3 是多少度？
3
1
2
【答案】80 °。
【解析】由于对顶角相等，∠3＝180°－∠1－∠2＝180°－58°－42°＝80 ° 9、如图，∠1=∠3=∠5=69°，∠2=∠4=50°，求∠6 的度数。
2
1
3
4 6 5
【答案】53 °。
【解析】多边形内角和 360°，∠6＝360°－∠1－∠2－∠3－∠4－∠5＝53° 10、在多边形中，∠1+∠2+∠3+∠4=90°，求∠5+∠6 的度数和。
1
5 2
【答案】90 °。
【解析】∠5＋∠6＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°
11、如图，在正方形ABCD 外有两个点E，F，使三角形ADE 和三角形CDF 都是正三角形。求∠EBF 的度数。
E
A
D
F
B C
6 3
4
【答案】60 °。
【解析】等边三角形ADE，AE=AD，又因为四边形ABCD是正方形，AE=AB，那么三角形ABE是等腰三角形，∠ABE=∠AEB，∠EAB=90°+60°=150 °，∠ABE=（180°-150°）÷2=15°。同理所得∠CBF=15 °，那么∠EBF=90°－15°－15°=60 °。
12、求下图正五角星中∠1 的度数。
1
【答案】36 °。
【解析】作五条辅助线，构造正五边形，五边形的内角和（5－2）×180°=540 °，一个内角是 540°÷5=108 °，原正五角星的顶点角°都相等，所以∠1＝108°÷3=36 °。
13、三张正方形纸片如图放置，求∠1 的度数。
1 50° 30° 【答案】10 °。
【解析】90°－50°＝40 °，90°－30°＝60 °，40°＋60°－90°＝10 °。
1
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