宁远县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若关于x的方程x3﹣x2﹣x+a=0x2，x3， （a∈R）有三个实根x1，且满足x1＜x2＜x3，则a的取值范围为（ ）A．a＞
2． 设a，b，c，∈R+，则“abc=1”是“A．充分条件但不是必要条件
”的（ ）
B．﹣
＜a＜1 C．a＜﹣1
D．a＞﹣1
B．必要条件但不是充分条件
，则实数k的值等于（ ）
D．
的（ ）
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要的条件 3． 设=（1，2），=（1，1），=+k，若A．﹣
B．﹣
C．
4． 在△ABC中，sinB+sin（A﹣B）=sinC是sinA=A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也非必要条件
5． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A．60° B．120° C．150° D．60°或120°
﹣
+1=0，则角B的度数是（ ）
x2y26． 设F为双曲线221(a0,b0)的右焦点，若OF的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到
ab1另一条渐近线的距离为|OF|，则双曲线的离心率为（ ）
223A．22 B． C．23 D．3
3【命题意图】本题考查双曲线方程与几何性质，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想． 7． 已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁RB）=（ ） A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}
C．{x|0≤x＜2或x＞4}
=2
，
D．{x|0＜x≤2或x≥4} =
，则λ=（ ）
8． 在△ABC中，已知D是AB边上一点，若A．
9． 设函数y=
B． C．﹣ D．﹣
2
的定义域为M，集合N={y|y=x，x∈R}，则M∩N=（ ）
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精选高中模拟试卷
A．∅ B．N C．[1，+∞） D．M
10．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
11．一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A．
B．
C．
D．
12．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题： （1）α∥β⇒l⊥m，（2）α⊥β⇒l∥m， （3）l∥m⇒α⊥β，（4）l⊥m⇒α∥β， 其中正确命题是（ ）
A．（1）与（2） B．（1）与（3） C．（2）与（4） D．（3）与（4）
二、填空题
13．方程4xkx23有两个不等实根，则的取值范围是 ．
214．如图，在矩形ABCD中，AB3， BC3， E在AC上，若BEAC， 则ED的长=____________
15．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6= ．
xx16．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f'(x)1，f(0)4，则不等式ef(x)e3（其 中为自然对数的底数）的解集为 .
17．已知一个算法，其流程图如图，则输出结果是 ．
18．已知复数
50100
，则1+z+z= ．
三、解答题
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19．如图，已知AB为⊙O的直径，CE⊥AB于点H，与⊙O交于点C、D，且AB=10，CD=8，DE=4，EF与⊙O切于点F，BF与HD交于点G． （Ⅰ）证明：EF=EG； （Ⅱ）求GH的长．
20．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）若
，求
的值．
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21．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且sinB=（Ⅰ）求sin∠BAD的值； （Ⅱ）求AC边的长．
，cos∠ADC=﹣．
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．再以原点为极点，以x正半轴为
极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位．在该极坐标系中圆C的方程为ρ=4sinθ．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点M的坐标为（﹣2，1），求|MA|+|MB|的值．
23．（本小题满分12分）
在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a、b、c，不等式x2cos C＋4xsin C＋6≥0对一切实数x恒
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成立.
（1）求cos C的取值范围；
（2）当∠C取最大值，且△ABC的周长为6时，求△ABC面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC的 形状.
【命题意图】考查三角不等式的求解以及运用基本不等式、余弦定理求三角形面积的最大值等.
24．已知数列{an}满足a1=a，an+1=（1）求a2，a3，a4；
（2）猜测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
（n∈N）．
*
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宁远县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
3232
【解析】解：由x﹣x﹣x+a=0得﹣a=x﹣x﹣x， 322
设f（x）=x﹣x﹣x，则函数的导数f′（x）=3x﹣2x﹣1，
由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣，此时函数单调递增， 由f′（x）＜0得﹣＜x＜1，此时函数单调递减， 即函数在x=1时，取得极小值f（1）=1﹣1﹣1=﹣1，
32
在x=﹣时，函数取得极大值f（﹣）=（﹣）﹣（﹣）﹣（﹣）=32
要使方程x﹣x﹣x+a=0（a∈R）有三个实根x1，x2，x3，
，
则﹣1＜﹣a＜即﹣
，
＜a＜1，
故选：B．
【点评】本题主要考查导数的应用，构造函数，求函数的导数，利用导数求出函数的极值是解决本题的关键．
2． 【答案】A
【解析】解：因为abc=1，所以=
≤a+b+c．
显然成立，但是abc=6≠1，
”的充分条件但不是必要条件．
，则
=
当a=3，b=2，c=1时，
所以设a，b，c，∈R+，则“abc=1”是“故选A．
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3． 【答案】A
【解析】解：∵ =（1，2），=（1，1）， ∴=+k=（1+k，2+k） ∵
，∴ =0，
∴1+k+2+k=0，解得k=﹣ 故选：A
【点评】本题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题．
4． 【答案】A
【解析】解：∵sinB+sin（A﹣B）=sinC=sin（A+B）， ∴sinB+sinAcosB﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB， ∴sinB=2cosAsinB， ∵sinB≠0， ∴cosA=， ∴A=∴sinA=当sinA=∴A=
， ， ，
，
或A=
故在△ABC中，sinB+sin（A﹣B）=sinC是sinA=故选：A
5． 【答案】A
【解析】解：根据正弦定理有： =代入已知等式得：即
﹣1=
﹣，
+1=0，
，
的充分非必要条件，
整理得：2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC， 即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）， 又∵A+B+C=180°， ∴sin（B+C）=sinA，
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可得2sinAcosB=sinA， ∵sinA≠0，
∴2cosB=1，即cosB=， 则B=60°． 故选：A．
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
6． 【答案】B 【
解
析
】
7． 【答案】C
【解析】解：∵∴x≥0， ∴A={x|x≥0}；
又x﹣6x+8≤0⇔（x﹣2）（x﹣4）≤0，
2
≤1=，
∴2≤x≤4． ∴B={x|2≤x≤4}， ∴∁RB={x|x＜2或x＞4}， ∴A∩∁RB={x|0≤x＜2或x＞4}，
故选C．
8． 【答案】A
【解析】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点 ∵
=2
，
=
，
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∴∴λ=， 故选A．
=，
【点评】经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想，基底给定时，分解形式唯一，字母系数是被基底唯一确定的数量． 9． 【答案】B
【解析】解：根据题意得：x+1≥0，解得x≥﹣1， ∴函数的定义域M={x|x≥﹣1}；
2
∵集合N中的函数y=x≥0，
∴集合N={y|y≥0}， 则M∩N={y|y≥0}=N． 故选B
10．【答案】B
【解析】【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性 【试题解析】若函数是奇函数，则对C：
在（-和（
故排除A、D；
上单调递增，
但在定义域上不单调，故C错； 故答案为：B 11．【答案】D
【解析】解：设F2为椭圆的右焦点
．
．
由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线， 所以点P是切点，所以PF2=c并且PF1⊥PF2． 又因为F1F2=2c，所以∠PF1F2=30°，所以根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a， 所以|PF2|=2a﹣c． 所以2a﹣c=故选D．
，所以e=
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义．
12．【答案】B
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【解析】解：∵直线l⊥平面α，α∥β，∴l⊥平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l⊥m，故（1）正确； ∵直线l⊥平面α，α⊥β，∴l∥平面β，或l⊂平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l与m可能平行也可能相交，还可以异面，故（2）错误；
∵直线l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，∵直线m⊂平面β，∴α⊥β，故（3）正确；
∵直线l⊥平面α，l⊥m，∴m∥α或m⊂α，又∵直线m⊂平面β，则α与β可能平行也可能相交，故（4）错误； 故选B．
【点评】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定及性质定理，建立良好的空间想像能力是解答本题的关键．
二、填空题
13．【答案】【解析】
如图所示，函数y4x2的图象是一个半圆，4x2和ykx23的图象，
303，当直线直线ykx23的图象恒过定点2,3，结合图象，可知，当过点2,0时，k224k(02)305532，解得k，所以实数的取值范围是,.111] ykx23与圆相切时，即121241k2试题分析：作出函数y53, 124考点：直线与圆的位置关系的应用．
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的斜率公式，以及函数的图像的应用等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键.
21
14．【答案】
2
【解析】在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝3，所以∠BAC＝60°.
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3
，在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD22
3332121
－2AE·AD·cos∠EAD＝＋9－2××3×＝，故ED＝.
42242因为BE⊥AC，AB＝3，所以AE＝15．【答案】63
【解析】解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．
因为数列{an}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根， 所以a1=1，a3=4．
设等比数列{an}的公比为q，则则
故答案为63．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．
16．【答案】(0,) 【
解
析
】
，所以q=2． ．
考点：利用导数研究函数的单调性.
x等式进行变形,可得fxfx10,结合要求的不等式可知在不等式两边同时乘以e,即
【方法点晴】本题是一道利用导数判断单调性的题目,解答本题的关键是掌握导数的相关知识,首先对已知的不
以构造满足前提的特殊函数,比如令fx4也可以求解.1 17．【答案】 5 ．
【解析】解：模拟执行程序框图，可得 a=1，a=2
不满足条件a＞4a+1，a=3
2
2
不满足条件a＞4a+1，a=4
exfxexfxex0,因此构造函数gxexfxex,求导利用函数的单调性解不等式.另外本题也可
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不满足条件a＞4a+1，a=5
2
2
满足条件a＞4a+1，退出循环，输出a的值为5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的a的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
18．【答案】 i ． 【解析】解：复数
，
22501002550
所以z=i，又i=﹣1，所以1+z+z=1+i+i=1+i﹣1=i；
故答案为：i．
2
【点评】本题考查了虚数单位i的性质运用；注意i=﹣1．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：连接 AF、OE、OF，则A，F，G，H四点共圆 由EF是切线知OF⊥EF，∠BAF=∠EFG ∵CE⊥AB于点H，AF⊥BF， ∴∠FGE=∠BAF ∴∠FGE=∠EFG， ∴EF=EG…
22222
（Ⅱ）解：∵OE=OH+HE=OF+EF， 2222
∴EF=OH+HE﹣OF=48，
∴EF=EG=4，
…
∴GH=EH﹣EG=8﹣4
【点评】本题考查圆的内接四边形的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
20．【答案】
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【解析】（I）证明：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC ∴OD∥AE又AE⊥DE ∴DE⊥OD，又OD为半径 ∴DE是的⊙O切线
（II）解：过D作DH⊥AB于H， 则有∠DOH=∠CAB
设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x 由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x 又由△AEF∽△DOF可得
∴
【点评】本题考查平面几何中三角形的相似和全等，辅助线的做法，是解题关键，本题是难题．
21．【答案】 【解析】解：（Ⅰ）由题意，因为sinB=又cos∠ADC=﹣，所以sin∠ADC=所以sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，得故BC=15，
… ×
，所以cosB=
﹣（﹣）×，解得BD=
=…
，所以AC=
…
…
…
2
从而在△ADC中，由余弦定理，得AC=9+225﹣2×3×15×（﹣）=
【点评】本题考查差角的正弦公式，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题．
22．【答案】
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2
【解析】解：（1）方程ρ=4sinθ的两边同时乘以ρ，得ρ=4ρsinθ， 将极坐标与直角坐标互化公式
代入上式，
22
整理得圆C的直角坐标方程为x+y﹣4y=0．
（2）由消去t，得直线l的普通方程为y=x+3，
因为点M（﹣2，1）在直线l上，可设l的标准参数方程为代入圆C的方程中，得于是|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=即|MA|+|MB|=
．
， ．
，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，由韦达定理，得
＞0，t1t2=1＞0，
【点评】1．极坐标方程化直角坐标方程，一般通过两边同时平方，两边同时乘以ρ等方式，构造或凑配ρ，
2
ρcosθ，ρsinθ，再利用互化公式转化．常见互化公式有ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，（x≠0）等．
2.参数方程化普通方程，关键是消参，常见消参方式有：代入法，两式相加、减，两式相乘、除，方程两边同时平方等．
3.运用参数方程解题时，应熟练参数方程中各量的含义，即过定点M0（x0，y0），且倾斜角为α的直线的参数方程为直线向上时，t=
23．【答案】 【
解
析
】
，参数t表示以M0为起点，直线上任意一点M为终点的向量；当
沿直线向下时，t=﹣
．
的数量，即当
沿
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24．【答案】
【解析】解：（1）由an+1=a3=
=
=
，可得a2=
，
=
，
a4=
（2）猜测an=
==．
*
（n∈N）．
下面用数学归纳法证明： ①当n=1时，左边=a1=a， 右边=
=a，猜测成立．
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②假设当n=k（k∈N*
）时猜测成立，
即ak=
．
则当n=k+1时，ak+1==
=
．
故当n=k+1时，猜测也成立． 由①，②可知，对任意n∈N*
都有an=
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=
成立．
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