高金源 计算机控制系统 课后习题答案

第1章 习 题

B 习 题

B1-1 举例说明2-3个你熟悉的计算机控制系统，并说明与常规连续模拟控制系统相比的优点。

B1-2 利用计算机及接口技术的知识，提出一个用同一台计算机控制多个被控参量的分时巡回控制方案。

B1-3 题图B1-3是一典型模拟式火炮位置控制系统的原理结构图。由雷达测出目标的高低角、方位角和斜距，信号经滤波后，由模拟式计算机计算出伺服系统高低角和方位角的控制指令，分别加到炮身的高低角和方位角伺服系统，使炮身跟踪指令信号。为了改善系统的动态和稳态特性，高低角和方位角伺服系统各自采用了有源串联校正网络和测速反馈校正，同时利用逻辑电路实现系统工作状态的控制(如偏差过大时可断开主反馈，实现最大速度控制，当偏差小于一定值后实现精确位置控制)。试将其改造为计算机控制系统，画出系统原理结构图。

题图B1-3典型模拟式火炮位置控制系统的原理结构图

B1-4水位高度控制系统如题图B.1-4所示。水箱水位高度指令由W1 电位计指令电压ur确定，水位实际高度h由浮子测量，并转换为电位计W2 的输出电压uh。用水量Q1 为系统干扰。当指令高度给定后，系统保持给定水位，

1

如打开放水管路后，水位下降，系统将控制电机，打开进水阀门，向水箱供水，最终保持水箱水位为指令水位。试把该系统改造为计算机控制系统。画出原理示意图及系统结构图。

题图B1-4 水箱水位控制系统原理示意图

B1-5 题图B1-5为一机械手控制系统示意图。将其控制器改造为计算机实现，试画出系统示意图及控制系统结构图。

题图B1-5机械手控制系统示意图

B1-6题图B1-6为仓库大门自动控制系统示意图。试将其改造为计算机控制系统，画出系统示意图。

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题图B1-6 仓库大门自动控制系统示意图

B1-7车床进给伺服系统示意图如题图B1-7所示。电动机通过齿轮减速机构带动丝杠转动，进而使工作台面实现直线运动。该系统为了改善系统性能，利用测速电机实现测速反馈。试将该系统改造为计算机控制系统，画出系统示意图。

题图B1-7车床进给伺服系统示意图

B1-8 现代飞机普遍采用数字式自动驾驶仪稳定飞机的俯仰角、滚转角和航向角。连续模拟式控制系统结构示意图如题图B1-8所示。图中所有传感器、舵机及指令信号均为连续模拟信号。试把该系统改造为计算机控制系统，画出系统结构图。

滚转角传感器 副翼舵机滚转角控制器滚转角指令 升降舵机俯仰角控制器俯仰角指令俯仰角传感器 方向舵机航向角传感器航向角控制器航向角指令 题图B1-8 飞机连续模拟式姿态角控制系统结构示意图

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第2章 习 题

A 习题（具有题解）

A 2-1 下述信号被理想采样开关采样，采样周期为T，试写出采样信号的表达式。

1)f(t)1(t) 2)f(t)teat 3)f(t)eatsin(t)

解：

1) f(t)1(kT)(tkT)；2) f(t)(kT)eakT(tkT)；

**k0k03) f(t)eakTsin(kT)(tkT)

*k0A 2-2 已知f(t) 的拉氏变换式F(s) ，试求采样信号的拉氏变换式F* (s)(写成闭合形式) 。

1)F(s)11 2)F(s)

s(s1)(s1)(s2)解：

1) 首先进行拉氏反变换，得f(t)1et；

F(s)f(kT)e*k0kTs(1ek0kT)ekTsek0kTsekT(s1)

k0因为

ekTs1eTse2Tsk01, eTs1，(依等比级数公式) Ts1e类似，ek(s1)Tk011e(1s)T，eT(s1)1，所以有

F*(s)11 TsT(s1)1e1eA 2-3 试分别画出f(t)5e10t及其采样信号f*(t)的幅频曲线(设采样周期T＝0.1s)。

解：连续函数f(t)5e10t的频率特性函数为：F(j)5。

10j 4

连续幅频曲线可以用如下MATLAB程序绘图： step=0.1; Wmax=100; w2=-Wmax;

y2=5*abs(1/(10+w2*i)); W=[w2]; Y=[y2]; for w=-Wmax:step:Wmax y=5*abs(1/(10+w*i)); W=[W,w]; Y=[Y,y]; end

plot(W,Y); axis([-Wmax Wmax 0 0.6]) grid

结果如题图A 2-3-1所示。

题图A 2-3-1

该函数的采样信号幅频谱数学表达式为

1 F(j)F(jjns)

Tn*1N1F(js)F(jjns)F(jjns)

TnNTn*显然，采用的项数N越大，则计算得到的值越逼近于实际值。这里采用N9来进行计算。

采样幅频曲线可以用如下MATLAB程序绘图：

5

T=0.1; %采样周期

ws=2*pi/T; %采样频率 num=50;

%每个采样周期的计算点数 %计算步长

step=ws/num; Wmax=150;

%画图显示的频率范围

GW=4*Wmax; %计算的频率范围 g0=(1/T)*5*abs(1/(1+10*GW*i)); G00=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW+ws)*i)); G11=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW-ws)*i)); G12=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW+2*ws)*i)); G21=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW-2*ws)*i)); G22=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW+3*ws)*i)); G31=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW-3*ws)*i)); G32=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW+4*ws)*i)); G41=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW-4*ws)*i)); G42=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW+5*ws)*i)); G51=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW-5*ws)*i)); G52=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW+6*ws)*i)); G61=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW-6*ws)*i)); G62=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW+7*ws)*i)); G71=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW-7*ws)*i)); G72=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW+8*ws)*i)); G81=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW-8*ws)*i)); G82=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW+9*ws)*i)); G91=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW-9*ws)*i)); G92=[g0]; 其余类似，最后可得，结果如题图A 2-3-2所示。

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1086420-150-100-50050100150

题图A 2-3-2

A 2-4 若数字计算机的输入信号为f(t)5e10t，试根据采样定理选择合理的采样周期T。设信号中的最高频率为m定义为F(jm)0.1F(0)。 解： F(s)55；F(j)；

j10s10所以有

52m1020.1F(0)0.150.05 1020.052(max102)25

由此可得

max99.5

依采样定理得：

s2max199rad/s

A 2-5 已知信号x＝Acos(1t)，试画出该信号的频谱曲线以及它通过采样器和理想滤波器以后的信号频谱。设采样器的采样频率分别为41，1.51，和1 3种情况。解释本题结果。

解：cos(1t)的频谱为脉冲，如题图A 2-5-1所示。

当采样频率s41时，采样频谱如题图A 2-5-1所示。由于满足采样定理，通过理想滤波器后，可以不失真恢复原连续信号。(见题图A 2-5-2)

当采样频率s1.51时，采样频谱如题图A 2-5-1所示。由于不满足采样定理，采样频率发生折叠，当通过理想滤波器后，只保留了折叠后的低频信号，其频率

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为1.5110.51。(见题图A 2-5-2)

当采样频率s1时，采样频谱如题图A 2-5-1所示。由于不满足采样定理，采样频率发生折叠，折叠后的低频信号位于0处，当通过理想滤波器后，只保留了折叠后的低频信号，其频率为0，即直流信号。(见题图A 2-5-2)

F(j)A/2A/2101F*(j)A/2T(rad/s)s41101s(rad/s)F*(j)s1.51101F*(j)s(rad/s)s1

题图A 2-5-1

F*(j)11(rad/s)

s4111s/2F*(j)(rad/s)s1.51(rad/s)F*(j)ωs1

题图A 2-5-2

(rad/s)

A 2-6 已知信号x＝Acos(1t)，通过采样频率s31的采样器以后。又由零阶保持器恢复成连续信号，试画出恢复以后信号的频域和时域曲线；当s101时，情况又如何?比较结果。 解：见题图A 2-6。

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F(j)A/2A/2101F*(j)(rad/s)s3101F*(j)s2ss13ss1(rad/s)01s101(rad/s)F*(j)01F*(j)(rad/s)01(rad/s)

题图A 2-6

结果表明，当采样频率较低时，零阶保持器输出阶梯较大，高频分量较大。 A 2-7 已知信号xsin(t)和ysin(4t),若s1,3,4,试求各采样信号的x(kT)及y(kT)，并说明由此结果所得结论。

解： x(kT)sin(kT)sin(2πk/s)；y(kT)sin(4kT)sin(8πk/s)

s1,x(kT)sin(2πk/s)sin(2πk)0；y(kT)sin(8πk)0

s3,x(kT)sin(2πk/s)sin(2πk/3)；

y(kT)sin(4kT)sin(8πk/s)sin(8πk/3)sin(2πk2πk/3)sin(2πk/3)。

s4,x(kT)sin(2πk/s)sin(2πk/4)sin(πk/2)；

y(kT)sin(4kT)sin(8πk/s)sin(8πk/4)sin(2πk)

结果表明，不满足采样定理，高频信号将变为低频信号。

1esTA 2-8 试证明ZOH传递函数Gh(s)中的s＝0不是Gh (s)的极点，而

s 9

1esTY(s)中，只有一个单极点s＝0。

s21esT1(1sT(sT)2/2T2sT 解：Gh(s)ss21esT可见Y(s)只有一个s=0极点。 2s表明分母上实际不存在积分环节。

A 2-9 对一信号进行采样，信号频谱如题图A 2-9所示，其中感兴趣的频率范围为(0~ω1 ) ，已知干扰信号频率ωf =5ω1，试讨论采样周期及前置滤波器的选择。

题图 A 2-9

解：依采样定理要求，为使采样信号不失真，要求采样频率应满足s21；另外，对干扰频率f来说，为使其不进入感兴趣的频率范围内，要求

(s/21)(fs/2)，所以，要求s1f61。因此有2种情况：

1) 如果s61，那么干扰信号并不会与数据信号相混叠，干扰可通过数字滤波器滤掉；

2) 采用抗混叠前置滤波器进行滤除，则采样频率取s21。如要求干扰信号在信号频率处衰减20 dB，那么一个n阶滤波器的最大衰减率为20ndB/dec，所以为了到达在logf/slog50.699十倍频程内衰老20 dB，应取n2。 A 2-10 用z变换法求解下列差分方程。

（1）c(k1)bc(k)r(k)，已知输入信号r(k)ak，初始条件c(0)0。 （2）c(k2)4c(k1)3c(k)2k，已知初始条件c(0)c(1)0。

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（3）c(k2)5c(k1)6c(k)0，已知初始条件c(0)0,c(1)1。 求c(k)。 解：

(1) 对差分方程进行z变换，得 (zb)C(z)z1zzz()， ，所以，C(z)(za)(zb)(ab)zazbzaz反变换，得 c(k)1(akbk) ab(2) 对差分方程进行z变换，得 (z24z3)C(z)22z2zZ[kT]C(z)，， 222T(z1)(z1)(z4z3)C(z)2ABCD z(z1)2(z1)(z3)(z1)2(z1)(z1)(z3)AlimCd2C(z)[2]3/16；Blim(z1)21/4； z1dzz4z3z1zz11/4；D2(z1)2(z3)2(z1)2(z1)z31/16。

C(z)1z3z1z1z

4(z1)216(z1)4(z1)16(z3)z反变换，c(k)1[4k34(1)k(3)k] 16A 2-11 已知以下离散系统的差分方程，求系统的脉冲传递函数。

（1）c(k)0.5c(k1)c(k2)0.5c(k3)4r(k)r(k2)0.6r(k3)； （2）c(k3)a1c(k2)a3c(k)b0r(k3)b2r(k1)b3r(k)且初始条件为零。 解：

(1) 对差分方程进行z变换，得

(10.5z1z20.5z3)C(z)(4z20.6z3)R(z)

C(z)(4z20.6z3)G(z) 123R(z)(10.5zz0.5z)

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A 2-12 试列出题图A 2-12所示计算机控制系统的状态方程和输出方程。图中

D(z)(10.5z1)/(10.2z1),G0(s)10(s5)/s2,T0.1s。

题图A 2-12 题A 2-12系统框图

解：1）被控对象离散化：

1esT10(s5)Tz5T2z(z1)1.25(z0.6)1G(z)Z[]10(1z)[]=

ss2(z1)2(z1)3(z1)2依串行法写状态方程：

G(z)1.25(z0.6)

(z1)(z1) x1(k1)x1(k)1.25u(k)

x2(k1)x2(k)x1(k1)0.6x1(k)

x2(k)[x1(k)1.25u(k)]0.6x1(k)0.4x1(k)x2(k)1.25u(k)

x1(k1)10x1(k)1.25 0.41x(k)1.25u(k) x(k1)22 y(k)x2(k) 2) 控制器离散化 D(z)z0.50.3 1z0.2z0.2 状态方程为 x3(k1)0.2x3(k)0.3e(k) u(k)x3(k)e(k) e(k)r(k)y(k) 3) 闭环系统方程

x1(k1)x1(k)1.25x3(k)1.25r(k)1.25x2(k)

x2(k1)0.4x1(k)x2(k)1.25x3(k)1.25r(k)1.25x2(k)

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x3(k1)0.2x3(k)0.3r(k)0.3x2(k)

x1(k1)11.251.25x1(k)1.25x(k1)0.40.251.25x(k)r(k) 1.25220.30.20.30x3(k1)x2(k)x1(k)y(k)0 1 0]x2(k)

x3(k)A 2-13试用C(z)表示题图A 2-13所列系统的输出，指出哪些系统可以写出输出对输入的脉冲传递函数，哪些不能写出。

题图A 2-13题A 2-13所示系统

解：

(1) 不能 C(z)RG(z)；(2) 能(输出加虚拟开关) C(z)R(z)G(z)； (3) 能(输出加虚拟开关) C(z)R(z)G(z)RG(z)；(4) 不能 C(z)；

1GH(z)1GH(z) (5) 能 C(z)RG1(z)G2(z)R(z)G(z)；(6) 不能 C(z)

1G2HG1(z)1G(z)H(z)A 2-14 试分别求如题图A 2-14所示的两个系统的阶跃响应采样序列，并比较其结果可得什么结论 (设T=1s) 。

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题图A 2-14 系统方块图

1z(1eT)z];R(z)=解：(a) G(z)Z[ Ts(s1)(z1)(ze)z-1G(z)0.632z2R(z) C(z)；

1G(z)(z1)(z20.735z0.368)通过长除法，得

C(z)0.632z11.096z21.205z31.2z41.104z50.98z6

1eTs0.368z0.264] (b) G(z)Z[2；

s(s1)(z1)(z0.368)C(z)G(z)(0.368z0.264)zR(z) 21G(z)(z1)(zz0.632)通过长除法，得 C(z)0.368z11.0z21.4z31.4z41.147z50.894z6 比较可见，加入零阶保持器后，系统响应升起较慢，振荡性加强，稳定性差。 A 2-15热蒸汽加热系统如题图A 2-15（a）所示。进气阀门开度由线圈控制的铁心带动。水箱内水温由热电偶检测。系统方块图如题图A 2-15（b）所示。若

D(z)1，T=0.2s，试求闭环传递函数、单位阶跃响应和稳态值。

(b)

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题图A 2-15 题A 2-15加热系统结构图

1eTs201.281.250.8]解：G(z)Z[ s3s1z0.936(z)G(z)D(z)1.28

10.04G(z)D(z)z0.885z1c()lim(z1)1.28z11.1

z0.885z1A 2-16 题图A 2-16（a）是以太阳能作动力的“逗留者号”火星漫游车，由地球上发出的路径控制信号r(t)能对该装置实施摇控，控制系统结构如图（b）所示，其中n(t)为干扰（如岩石）信号。控制系统的主要任务就是保证漫游车对斜坡输入信号r(t)t,t0具有较好的动态跟踪性能，并对干扰信号具有较好的抑制能力。若令数字控制器D(z)1和增益K2，试求输出对输入信号及干扰信号n的输出表达式 (设T=0.1s) 。 解：

G(z)(1z1)Z[113]3s(s1)(s3)

z3zz0.004125(z1)0.333(1z1)[]T3Tz12(ze)2(ze)(z0.74)(z0.905)(z)KD(z)G(z)20.004125(z1)1KD(z)G(z)(z0.74)(z0.905)20.004125(z1)

0.00825(z1)2z1.640z0.678GN(z)

1KD(z)G(z)YN(z)GN(z)Z[1z3zz]0.33[]T3Ts(s1)(s3)z12(ze)2(ze)

0.004125(z1)z(z0.74)(z0.905)(z1)GN(z)0.004125(z1)z2

1KD(z)G(z)(z1.640z0.678)(z1)YN(z) 15

(a)

（b）

题图A 2-16 火星漫游车控制系统

A 2-17 气体成分控制系统如题图A 2-17（a）所示。其中阀门开度由线圈控制的铁心位移控制。培育室内二氧化碳含量由气体分析仪测定，气体分析仪是一个时滞环节。系统动态结构图如题图A 2-17（b）所示。若采样周期T45s，试求闭环传递函数。令K=1，D(z)=1。

题图A 2-17 题A 2-17气体成分控制系统

解：

1eTs3030Tz30T](1z1) G(z)Z[ss(z1)2(z1)；

1eTs30Ts30GH(z)Z[e](1z1)[2eTs]

sss 16

其中Z[30TsTzT130Ts1e]Z[L(e)]Z[30t(tT)]30z30 2222ss(z1)(z1)30T30T

(z1)2z(z1)所以，GH(z)(1z1)(z)D(z)G(z)30Tz

1D(z)GH(z)z(z1)30T若采样周期T45s，则有(z)1350z 2zz1350A 2-18 已知某经过零阶保持器采样的连续系统由下述差分方程描述，如若可能，试确定它所对应的连续时间系统。

1）c(kT)0.5c(kTT)6r(kTT) 2) c(kT)0.5c(kTT)6r(kTT) 解：

1) 该差分方程可以转换为下述离散状态方程

x(k1)0.5x(k)6r(k)

c(k)x(k)x(t)ax(t)br(t)

c(t)x(t)相对应的连续时间系统的状态方程为

上述两方程应有下述关系 FeaT0.5；Geatbdt6

0T由此可求得 aln0.5/Tln2； TT0eatbdtbaT6a12ln2，所以，baT (e1)6　e1Ta 2) 该差分方程可以转换为下述离散状态方程

x(k1)0.5x(k)6r(k)

c(k)x(k)类似，其连续系统应满足FeaT0.5，但该式无解，故没有对应的连续系统存在。可见，并不是所有离散系统都能找到相对应的连续时间系统。可以证明，只有离散系统矩阵G没有在负实轴上特征根时才存在对应的连续时间系统。 A 2-19 已知数字控制器的脉冲传递函数为

17

D(z)kIU(z)1kpk(1z) D1E(z)1z试求其频率特性，并画出其幅相频率特性曲线。 解：D(ejT)kpkIjTk(1e) DjT1ekIkD(1cosTjsinT)

1cosTjsinT kp kpkIsinT(1j)kD(1cosTjsinT) 21cosTkksinT (kpIkDkDcosT)j(IkDsinT)

221cosT依该式即可画出当从0时的幅相特性曲线。分析可见，当0时，虚部趋于，而实部趋于常数kpkI。当π/T时，虚部等于0，而实部等于2kpkI2kD。幅相特性曲线的大致形状如题图A 2-19所示。 2ImkpkI/2π/T0RekpkI/22kD0

题图A 2-19 题A 2-19幅相特性曲线

A 2-20 采样系统如题图A 2-20所示，输入信号为r(t)sin(t)，试求采样系统输出c(t) ，式中是信号与采样时刻相角差。 解：输入信号采样后，得

r(t)sin(t)(tkT)

*k 18

题图A 2-20 采样系统频率特性的测试 脉冲序列函数

k(tkT)的傅里叶级数展开，可以写成

a0 T(akcoskstbksinkst)

2k12T/22 (t)cosktdt　　k0，1，2　　sTT/2T2T/2 bk(t)sinkstdt0　k1， 2　　TT/2其中 ak所以

1T(12coskst)

Tk11所以， r(t)[sin(t)2coskstsin(t)]

Tk1*1 r(t)[sin(t)2sin(kstt)sin(kstt)]

Tk1*进入计算机的信号包括基频信号和各次旁频信号，计算机输出也同样包括上述信号。但后续环节F(s) 一般是低通网络，由于频带限制，高频被滤除。 1) 如果测试频率较低，s/2，可以认为输出信号即为基频信号： c(t)1Im[F(j)ej(t)] T 2) 如果测试频率ks/2，依采样频谱分析可知， k=1旁频与基频相重叠，所以 r*(t)1[sin(t)sin(stt)sin(stt)] T由于sin(stt)频率较高，常被系统滤除，所以

输入为 r*(t)1[sin(t)sin(stt)] T 考虑到此时s2，所以输出为

19

c(t)1Im[F(j)ej(t)F(j)ej(t)] T1 =Im[(1ej2)F(j)ej(t)]

Tπj()2因为 (1e2j)2esin ， 所以

)2j(π c(t)Im[e2sinF(j)ej(t)]

Tπj(-)2ˆ 频率特性为 F(j)F(j)e2sin

Tˆ(j)与起始相角有关。题图A 2-20-1说明这种情况(图中设可见此时c(t) 、FT=1s) 。

ˆ(j)=0，如题图A ．当0，即测试信号与采样开关同步时，c(t)0，F2-20-1 (a) 所示。

．当0，即测试信号与采样开关不同步时，如题图A 2-20-1 (b) 所示(π)。 4ππ

时，即测试信号与采样开关相移时时，如题图A 2-20-1 (c) 所22

．示。

上述结果表明，采样系统是一种特殊的时变系统，它的输出与采样时刻有关。

（a） (b)

20

(c)

题图A 2-20-1 不同起始相角时时域响应曲线

3）当ks，但非常接近，会产生另一种频率干涉现象 2 假定0，此时

1[sin(t)sin(stt)]+高频部分(此部分被滤除) Tss 2cos()tsin()t

22 r*(t) 2coss2tsin(s2)t

这即为一种差拍现象，高频信号被一低频信号进行幅值调制。 若s62.8rad/s(fs10Hz)，测试频率30.772rad/s(4.9Hz)，则 r*(t)2cos31.4tsin(30.77231.4)t2cos(5Hz)tsin(0.1Hz)t 通过后续环节后，幅值有衰减，但形状不变。 B 习 题

1cos(T)esTB 2-1 若已知f(t)cos(t)的采样信号拉氏变换F(s)，

12cos(T)esTe2sT*试问s,s4时，F*(s)=？，并就所得结果进行说明。

B 2-2 若F(s)1/s，试由此证明，sjms均为F*(s)的极点(m为正整数)，并说明F*(s)的零点与F(s)零点的关系。

B 2-3若连续信号的频谱如题图B 2-3所示，若采样频率分别为

21

s2c,s2c,s2c时，试画出采样信号的频谱。

F(s)1c0c

题图B 2-3连续信号的频谱

B 2-4 若信号f(t)cos1t被理想采样开关采样，并通过零阶保持器，试画出零阶保持器输出信号的频谱。假定1分别大于和小于奈奎斯特频率N。 B 2-5 若f(t)5sin3t加到采样-零阶保持器上，采样周期T/6，试求 1) 该保持器在=3rad/s处有一输出分量，试求它的幅值与相位； 2) 对=15rad/s、=27rad/s，重复上述计算。

B 2-6 已知采样周期T=0.5s，试问在系统截止频率c=2rad/s处，零阶保持器所产生的相移为多少？若使零阶保持器所产生的相移为-5o ，试问应取多大的采样周期。

B 2-7 已知连续信号x(t)=sin(1t ) ，s =41 ，试画出题图B 2-7上A、B、C点的波形图。

题图B 2-7 采样-保持示意图

B 2-8 已知连续信号f(t)cos(50t)，采样频率s50rad/s，试说明该信号采样又通过零阶保持器后，恢复为一直流信号。

B 2-9用相机拍一个转轮的图片，转轮上标有标记(如题图B 2-9所示) ，转轮转动频率为r2πr，照相机快门开关频率为s2π/T，试讨论

snr(n整数)、s2r、s2r时，从相机所拍图像上看到的情况。

22

r4132

题图B 2-9 转轮示意图

B 2-10 已知一连续信号为f(t)sin(60t)sin(20t)被采样，其采样频率为

s60，试求表示采样信号的频率（令030）。

B 2-11 一阶保持器在数学仿真中常有应用，试推导一阶保持器的传递函数。 B 2-12已知采样系统的脉冲传递函数为

G(z)C(z)R(z)bzkMkazkk0k0N NM

kN1bia试证明 c(k)r((kNi)T)ic((kNi)T)

i0aNi0aNM并用该式求取

C(z)z12的c(k)值。 R(z)zz1B 2-13车床进给伺服系统如题图B 2-13（a）所示。电动机通过齿轮减速机构带动丝杠转动，进而使工作台面实现直线运动。该系统为了改善系统性能，利用测速电机实现测速反馈。试将该系统改造为计算机控制系统。连续系统的结构框图如题图B 2-13（b）所示。若D(s)1，试求数字闭环系统传递函数。令T=0.1s，K1 =Kx =1，K2 =0.1，Km =40，a=2。

23

题图B 2-13 习题B 2-13车床进给伺服系统

1esT2G(s)]，并B 2-14 已知连续传递函数G(s)，试求取G(z)=Z[

(s1)(s2)s讨论其零点随采样周期的变化情况。 B 2-15已知连续传递函数G(s)6(1s)，如采用零阶保持器时，试求取其

(s3)(s2)脉冲传递函数，并确定当采样周期为多大时，其零点均在单位圆内。

B 2-16若开环传递函数为G(s)1/s(s1)，试绘制连续系统奈奎斯特图及带零阶保持器和不带零阶保持器离散系统的奈奎斯特图，设采样周期T=0.2s。

B 2-17通常，直流电动机可用下述连续传递函数或状态空间模型描述

G(s)(s)U(s)km

s(Tms1)x1T mx210x1kmu 0x20 式中为电机转角，U为电机控制电压。若令km1,Tm1，试确定 1) 通过零阶保持器采样时，系统的离散状态空间模型； 2) 脉冲传递函数； 3) 输入与输出的差分方程；

24

4) 脉冲传递函数极点与零点随采样周期变化的关系。

B 2-18试用级数展开法求题图B 2-18系统离散状态方程，并画出结构图。

题图B 2-18 系统结构图

B 2-19试推导下述连续系统相对应的具有零阶保持器的离散状态方程。(T=1s)

d2ydydu3u 1) 232ydtdtdtd3y 2) 3u

dtB 2-20 试证明题图B 2-20(a) 表示近似微分。试证明题图B 2-20(b) 表示为一种积分器(通常称之为无延迟数字积分器)，即

若假设k0，y(kT)0，则y(kT)T[x(0)x(T)x(kT)]。

试证明题图B 2-20(c) 表示为另一种积分器(通常称之为有延迟数字积分器)，即

若假设k0，y(kT)0，则y(kT)T[x(0)x(T)x((k1)T)]。

题图B 2-20 近似微分及两种数字积分器结构图

25

第3章 习 题

A 习 题（具有题解）

A3-1 s平面上有3对极点，分别为

s1,21j1.5,s3,41j8.5,s5,61j11.5, s10，试求在z平面上相应

极点的位置。

解:

1）对s1,21j1.5,

z1,2e(1j1.5)T,T2π/s0.628;R1,2e0.6280.534;1.50.6280.942rad=54z1,20.53542)z3,4e(1j8.5)0.6280.5343060.53454 3)z5,6e(1j11.5)0.6280.5344140.53454 映射结果见题图 A3-1。

jj；

[s]s5、61j11.5[z]R0.534s3、4s10/s1j8.55401s1、21j1.5100z1、2(z5、6)z3、4

题图 A3-1 题A3-1映射结果

A3-2 已知s平面上实轴平行线上点的位置（A、B、C）如题图A3-2（a）和（b）所示，试分别画出映射到z平面上点的位置。

26

题图A3-2 题A3-2图

解：依据ze(j)TeTT进行判断。 (1) 题图A3-2 -1(a) ：

Ai 各点均映射在z平面单位圆内正实轴上同一点。

Bi 各点均映射在z平面单位圆内正实轴上同一点，但更靠近z=1点。 Ci各点均映射在z平面单位圆外正实轴上同一点。 (2) 题图A3-2 -1(b) ：

Ai 各点均映射在z平面单位圆内负实轴上同一点。

Bi 各点均映射在z平面单位圆内负实轴上同一点，但更靠近z=-1点。 Ci各点均映射在z平面单位圆外负实轴上同一点。

[z 平面][z 平面]z=-1 z=1 A B CCBA O(a)

题图A3-2-1

（b）

A3-3 已知z平面上的点z1,20.5j0.5，试求其映射至s平面上的位置，设采样周期T0.1s。

解：因为ze(j)T0.5j0.5，所以有ReT0.52，



1ln0.523.47 T27

T1350(tg0.5/0.5)，所以有1135/57.323.6rad/s Ts3.47j(23.6ks),s2π/T62.8rad/s,k0,1,

s3.47j(23.662.8k),k0,1,

A3-4 已知s平面上封闭曲线如题图A3-4所示（①→②→③→④→⑤→①），试

画出映射至z 平面的封闭曲线。

题图A3-4 习题A3-4图

解：如题图A3-4-1所示。图形对横轴是对称的。

z平面j 等频率线等阻尼比线2315

题图A3-4-1 习题A3-4图解答

A3-5 已知离散系统闭环特征方程分别为

（1）(z)(z1)(z0.5)(z2)0 （2）(z)2z20.6z0.40

（3）(z)z32z21.31z0.280，试判断其稳定性。 解：

(2)依2阶系统稳定条件，

(z)2z20.6z0.4z20.3z0.20(0)0.21；(1)1.50；(1)0.90

28

系统稳定。

(3)3阶系统，依所提供的朱利稳定判据程序： % clear

a=[1 2 1.31 0.28]; % 生成特征多项式系数数组 n=length(a); % 求数组维数 b=a; c(1)=a(1); for i=1:n-1

p=b(1:n-i+1); % 取n-1维不为0数组 if abs(p(1))<10^(-10) break

else an=p(n-i+1)/p(1); % 计算朱利判据第一行系数 end

pp=fliplr(p); % 翻转数组

b=p-pp*an; % 计算第二行及与第一行之差 c(i+1)=b(1); % 取第一个数 end

c % 给出朱利判据系数 运行该程序，结果为：

c = 1.0000 0.9216 0.3112 0.0141，所有参数大于0，系统稳定。 利用matlab求特征根可得:

P=[1 2 1.31 0.28] ; rs=roots(P)'

rs = -0.8000 -0.7000 -0.5000 即系统的极点为：z10.5;z20.7;z30.8

其模值均小于1，系统稳定。

A3-6 已知系统的结构图如题图A3-6所示，其中k1,T0.1s，输入r(t)1(t)t，试用稳态误差系数法求稳态误差，并分析误差系数与T的关系。

29

题图A3-6

kT1eTT(zeT)(1eT)(z1)]k[]解：G(z)(1z)Z[2 TTs(s1)z1ze(z1)(ze)1kplimG(z)

z11T(zeT)(1eT)(z1)kvlim(z1)1

Tz1(z1)(zeT)可见加入该信号，稳态误差为1，且与采样周期无关。

A3-7 汽车行驶速度控制系统的结构图如题图A3-7所示。设D(z)k，试判断干扰力矩Mf为单位阶跃时所产生的稳态误差（依图直接判断）。若T0.2s，求使系统稳定的k值范围。若该系统为连续系统时，结果又如何。比较说明之。

题图A3-7 习题A3-7汽车行驶速度控制系统的结构图

解：1) 从图中可见，稳态时为对消Mf的干扰，综合点处误差 eMf/0.64k

如折算到速度v，则v50Mf/0.640.03k2604/k

1eTs0.641032840](1z1)Z[] 2) G(z)Z[ss1s0.2ss1s0.2 =(1z1)[32z8z40z0.11824(z0.923)] T0.2Tz1zeze(z0.819)(z0.96)(z)(z0.819)(z0.96)0.030.11824k(z0.923) z2(1.7790.00355k)z(0.786240.00327k)0

(0)0.786240.00327k1 0.786240.00327k1;k65.98

30

0.786240.00327k1;k0

(1)[1(1.7790.00355k)0.786240.00327k (0.007240.00682k)0;k0

(1)[1(1.7790.00355k)0.786240.00327k] (3.5650.00028k)0;k12732 所以，0k65.98

3) 若为连续系统，由于闭环系统为2阶系统，故有0k。

A3-8 已知单位反馈离散系统开环传递函数为

G(z)k(1eTTm)zTTm

)(z1)(ze试求使系统稳定k与T的关系式。 解：闭环系统特征方程为

(z)1G(z)(z1)(zeT/Tm)kz(1eT/Tm)0 (z)z2[(k1)eT/Tm(k1)]zeT/Tm0 依2阶系统稳定条件，有

(0)eT/Tm1 ，此条件成立。 (1)1(k1)eT/Tm(k1)eT/Tm0 k(1eT/Tm)0; k0

(1)1k1eT/Tm(k1)eT/Tm0 2keT/Tm(k2)0

2(1eT/Tm)2(1eT/Tm)由此解得 k ，所以可得 0A3-9 试确定题图A3-9所示系统使系统稳定的k值范围，令采样周期T趋于0，

k值又如何？若将该系统作为连续系统，结果又如何？对上述结果进行讨论。

题图A3-9 习题离散系统结构图

解：1)

k111k(eTe2T)z1G1G2(z)Z[]k[] T12T1T12T1s2s11ez1ez(1ez)(1ez)(z)(1eTz1)(1e2Tz1)k(eTe2T)z10 (z)z2[k(eTe2T)(eTe2T)]ze3T0

(0)e3T1

(1){1[k(eTe2T)(eTe2T)]e3T}0

(eTe2T)e3T1 k

(eTe2T)(1){1[k(eTe2T)(eTe2T)]e3T}0

(eTe2T)e3T1k

(eTe2T)2) 当T趋于0时，上式的极限值为 0k 3) 若为连续系统，则特征方程为s23s2k0 为使系统稳定要求 (k+2) >0；故 2k 结论：1) 离散系统稳定性比连续系统差，稳定增益范围小；

2) T趋于0时，系统并不等于连续系统，按采样系统计算k范围较小。 A3-10 给定系统如题图A3-10所示，设指令输入R(s)1/s,D(z)k，扰动输入

32

N(s)A/s，T0.2s,Gp(s)1,G2(s)1，当A1,k2，系统的稳态误差如s1何？

题图A3-10

解：G(z)(1z1)Z[1) 首先判稳定性

(z)z0.81820.182z0.4540,z0.454；系统稳定。

10.182]； s(s1)z0.8182) 系统为0型系统；kp2,所以输入信号稳态误差erss3) 求干扰引起的输出 GN(z)Z[10.182z]； s(s1)(z0.818)(z1)110.33 1kp12CN(z)GN(z)GN(z)0.182z,取D(z)=k=2，CN(z)=,

1D(z)G(z)1D(z)G(z)z-0.454z-1z1稳态值即为稳态误差，cnsslim(z1)4) 总误差 esserssenss0.66 A3-11 写出开环脉冲传递函数G(z)解： G(z)0.182z0.33

z-0.454z-1z的脉冲响应表达式。

z2z0.5cizci1zz

z2z0.5z(0.5j0.5)z(0.5j0.5)zz2 cilimG(z)(zz1)0.5ej450.5ej0.25π；ci1limG(z)(zz2)0.5ej0.25

zz1pi0.5ej450.5ej0.25; pi0.5ej450.5ej0.25

33

c(k)20.5(0.5)kcos(0.25k0.25)

k0,c(0)2cos(0.25π)1k1,c(1)20.5cos(0)1 k2,c(2)2(0.5)2cos(0.25π)0.5k3,c(3)2(0.5)3cos(0.5π)0k4,c(4)2(0.5)4cos(0.75π)0.25

----------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------

A3-12 如题图A2-16所示的火星漫游车控制系统，若D(z)1,T分别为0.1s及1s，试确定使系统稳定的k值范围。

解：1) T=0.1s

(z)KD(z)G(z)0.004125k(z1)

1KD(z)G(z)(z0.74)(z0.905)0.004125k(z1)(z)z2(1.6450.004125k)z0.670.004125k0

依(0)0.670.004125k1,可得0k80 (1)0,可得k0

(1)0,该式成立。

2) T=1s

G(z)(1z1)Z[113]3s(s1)(s3)

z3zz0.156(z0.194)0.333(1z1)[]2T3Tz12(ze)2(ze)z0.418z0.0184(z)z20.418z0.0184k0.156(z0.194)0 (z)z2(0.4180.156k)z0.01840.1560.194k0

依(0)0.01840.1560.194k1，可得0k32.4

(1)0,得k>0 ；(1)0，得k<11.42

最后可知，系统稳定要求0k11.42。

34

A3-13 双关节机械臂如题图A3-13（a）所示。简化后系统结构图如题图A3-13（b）所示。若D(z)1，试画出连续系统及采样周期T0.1s及T1s开环对数频率特性曲线。

题图A3-13 习题A3-13双关节机械臂结构图

解：

1eTs2zz2z]0.5(1z1)[] G(z)0.5Z[2TTs(s2)(s1)z1zeze(e2T2eT1)z(e3T2e2TeT) 

z2(e2TeT)ze3T0.004(z1.125) 开环对数频率特性曲线如题图A3-13-1所示。

z21.723z0.740.1995(z0.371)T=1 G(z)2 开环对数频率特性曲线如题图A3-13-2所示。

z0.503z0.05T=0.1 G(z)MATLAB的计算程序如下

num1=[0.004 0.0045];den1=[1 -1.723 0.74]; w=logspace(-2,2);

[m1,p1]=dbode(num1,den1,0.1,w); semilogx(w,20*log10(m1)) grid

xlabel('Fraquency(rad/s)'),ylabel('Magnitude(dB)' semilogx(w,p1) >> grid

35

>> xlabel('Fraquency(rad/s)'),ylabel('phase(deg)')

0-10-20-30-40-50-60-70-80-210Magnitude(dB)10-110Fraquency(rad/s)0101102

0-100-200phase(deg)-300-400-500-600-21010-110Fraquency(rad/s)0101102

题图A3-13-1开环对数频率特性曲线(T=0.1秒)

-6-8-10-12phase(deg)-14-16-18-20-22-21010-110Fraquency(rad/s)0101102

0-200-400phase(deg)-600-800-1000-1200-21010-110Fraquency(rad/s)0101102

题图A3-13-2开环对数频率特性曲线(T=1秒)

36

B 习 题

B3-1 已知z平面复极点zi，试求相应s平面极点的阻尼比及无阻尼自然频率。 B3-2 试确定使开环传递函数为

4z1z2 G(z)K 121z0.16z单位负反馈闭环系统稳定的K值。

B3-3 试确定题图B3-3所示系统的稳定性和单位阶跃输入时的稳态输出值。其中 1 D(z)K (比例控制器) ； 2 D(z)Kz (积分控制器) 。 (z1)

题图B3-3系统结构图

B3-4 试求B3-3所示系统在斜坡输入时的稳态误差。

B3-5 题图B3-5为水位高度控制系统略图。电机通过减速器控制N个阀门的开度，水箱高度为h(t) ，水箱底面积为A，进水量为qi(t)kiNc(t)(c--电机转角)，出水量qo(t)koh(t)，因此，水箱中水位高度由下述方程描述 h(t)1t1t(q(t)q(t))dt(kiNc(t)k0h(t))dt i000AAkNh(t)i c(t)Asko所以有

对该系统，根据已给参数，可知

h(t)0.06N c(t)s1直流电机的传递函数为

c(s)ua(s)1.7

s(s12.5)37

驱动电机的功率放大器系数ka =50；电位计的传递系数ks =1；减速比i=100。 1) 若D(z)kd=1，T=0.05，试求使系统稳定的最大阀门数N；

2) 如考虑A/D的转换误差为5%，试求系统保持水位高度的稳态误差。

储水箱i=100A/DCPUD/A功率放大器c(t)Vh水箱V指令电位计qo(t)反馈电位计

题图B3-5 水箱控制系统原理示意图

B3-6 微机控制的直流电机速度控制系统如题图B3-6所示。其中Vc24V，

km5rad/s/V，Tm0.05s，p=100脉冲/周。设采样周期T=0.1s。试求使系统稳

定的D(z)kd值以及kd1时，系统单位阶跃响应特性及稳态值。

题图B3-6 直流电机速度控制系统示意图 B3-7 数字飞船控制系统如题图B3-7 所示。若采样周期T=0.264s，JV41822， kp1.65106，试推导系统开环及闭环传递函数，并求使系统稳定的临界kr值。

题图B3-7 数字飞船控制系统

B3-8 已知单位负反馈闭环系统传递函数为

38

(z)z0.5 T=1s 23(zz0.5)试求开环传递函数，并绘制Bode图，求相位、增益稳定裕度。

B3-9 试求题A.2-15中热蒸汽加热系统的相位、幅值稳定裕度及单位阶跃响应特性和稳态误差。令D(z)kd分别为1、10，采样周期T分别为0.2s及1s。 B3-10 若开环传递函数为G(s)1/s(s1)，试绘制连续系统奈奎斯特图及带零阶保持器和不带零阶保持器离散系统的奈奎斯特图，设采样周期T=0.2s。 B3-11 试求题图B3-11(a) 及(b) 所示系统干扰所引起的稳态误差表达式，并说明为减少干扰所引起的稳态误差应如何选取系统参数。

题图B3.11 题B3-11系统结构图 B3-12 系统结构如题图B3-12(a)所示。其中控制算法为 u(kT)K(r(kT)c(kT)) 其中为延迟时间。

1) 试求当分别为0及T时，使闭环系统稳定的控制器增益K值的大小。 2) 如连续系统如题图B3-12(b)所示，试求当分别为0及T时，使闭环系统稳定的控制器增益K值的大小，并与上述结果进行比较。

39

题图B3.12 题B3-12系统结构图

第4章 习 题

A 习题（具有题解）

1，采样周期T=1s，若分别采用

s20.2s1向前差分法和向后差分法将其离散化，试画出s域和z域对应极点的位置，并说明其稳定性。

解：

A 4-1 已知连续传递函数D(s)1 )S域对应的极点为：s1,22) 向前差分法离散化：

T2D(z)D(s)|z122sz1z1z(0.2T2)zT0.2T12T()0.2()1 TT12z1.8z1.811311j 稳定 1010z域对应的极点为：z1,23) 向后差分法离散化：

9311j 不稳定 1010 40

D(z)D(s)|sz1Tz(1z12z1)0.2()1TzTzz20.455z22 22.2z2.2z1zz0.455z域对应的极点为：z1,22311j 稳定 1122 (变换方法的基本练习，要求不使用MATLAB的有关指令。)

1A 4-2 设连续传递函数D(s)，采样周期T=0.1s。

0.05s1（1）用突斯汀变换法求其脉冲传递函数D(z)。（2）用频率预修正突斯汀变换求其脉冲传递函数Dm(z)。（3）在转折频率20rad/s处，分别计算D(s)、

D(z)、Dm(z)的幅值与相位，并比较之。

解：

T=0.1s用Tustin变换，D(z)10.05s1s20z1z120(z1)0.5(z1) 20(z1)20(z1)z取特征频率为=20 rad/s 用预修正Tustin变换得 Dm（z）=D(z)10.05s1z1z1s12.84tan(T/2)z1z10.609(z1)

(z0.218)在=20 rad/s处D（s）的幅值与相位分别是 0.707，-45deg；

D（z）的幅值与相位分别是 D(ejT)0.5(1z1)zejT0.5(1ejT)0.5(1cos(T)jsin(T))

幅值 D(ejT)200.5(1cos2)2sin220.54

sin257.280 201cos2Dm（z）的幅值与相位分别是 0.707，-45deg；

s1A 4-3 设连续传递函数为D(s)2，试用零极点匹配法使之离散化，

s1.4s1令T1s。 相角 G(ejT)arctanD(s)(zz0)(z1)s1s1D(z)k;

(zp1)(zp2)s21.4s1[s(0.7j0.714)]z0esTe10.368 ；p1,2esTe(0.7j0.714)0.4960.7140.375j0.325

D(z)k(z0.368)(z1)； 2z0.75z0.247 41

D(s)

s11；D(z)z1k(10.368)(11)1,k0.397

10.750.247所以，D(z)A 4-4

(0.397z0.1444)(z1) 2z0.75z0.247s2已知超前校正网络D(s)5，采样周期T=0.1s，试用突斯汀变换进

s8行离散化，求得其脉冲传递函数DT(z)，画出D(s)、DT(z)在0~3Hz频段内的幅相频率特性，并比较之。

解：DT(z)D(s)|s2z1Tz155z453.929z3.214

14z6z0.4291) 连续环节频率特性(见题图A4-4-1) 频率3Hz对应于 2π36π18.85rad/s

w=0:0.1:100;

[m,p]=bode(num,den,w);

subplot(211);plot(w,m),grid subplot(212);plot(w,p),grid 2) 离散环节频率特性(见题图A4-4-2) [dm,dp]=dbode(dnum,dden,T,w); subplot(211);plot(w,dm),grid subplot(212);plot(w,dp),grid

题图A 4-4-1连续环节频率特性 题图A4-4-2离散环节频率特性 频率特性产生畸变，从离散环节频率特性中可以看见周期性。由于采样周期T=0.1较大，故使失真加大。但(0~3)Hz低频部分类似。 A4-5 已知连续陷波器传递函数为

42

s20.1s1 G(s)2

s0.2s1 1) 试用Tustin变换方法将其离散，设采样周期T=1s；

2) 原连续陷波器在11rad/s 处频率特性幅值最小，试问Tustin变换后，在什么频率处幅值最小？

3) 为了使离散陷波器在11rad/s 处频率特性幅值最小，可采取什么办法。 解：1) Tustin变换：G(z)s2z1Tz15.2z6z4.8 25.4z6z4.6 2) 依据频率畸变公式可知，离散陷波器频率特性幅值最小的频率为

T2 Darctan10.9273rad/s

T2 3) 通常可采取：

．减小采样周期T，如取T=0.1s，则离散陷波器频率特性幅值最小的频率为

T2Darctan10.9992rad/s

T2 ．采用预修正Tustin变换方法，取11rad/s为关键频率则可保证在该频率处离散陷波器频率特性与连续陷波器频率特性相等。

A 4-6 试用零极点匹配法求控制器D(s)sa的等效离散控制器，仅关注低频段。

解：该控制器有一个零点sa，没有有限极点，但其有一无限极点。依零极点匹配法，零点sa可以映射为zeaT，无限极点映射为z1，因此等效离散控制器为：

zeaT GD(z)k

z1根据稳态增益相等原则，可确定增益k

zeaTG(0)a GD(1)k112a aT1e故等效离散控制器为 k2azeaTGD(z)

1eaTz1 43

A 4-7 已知伺服系统被控对象的传递函数为G(s)2，串联校正装置为

s(s1)s0.06。采用某种合适的离散化方法，将D(s)离散为D(z)，并计算

s0.004采样周期T分别为0.1s，1s，2s时，计算机控制系统的单位阶跃响应，记录时域D(s)0.35指标%,tr和ts。并说明连续域-离散化设计与采样周期T的关系。

解：选用Tustin变换，

T=0.1s时 D(z)0.35T=1s时 D(z)s0.06s0.004s20z1z10.351z0.3489

z0.99960.3598z0.3388

z0.9960.3695z0.3277T=2s时 D(z)

z0.992利用Simulink进行数学仿真，可得曲线如题图A4-5所示。

1.81.61.41.2c(t)10.80.60.40.20-------T=2s-------T=1s-------T=0.1s05101520t/s25303540

题图A 4-5单位阶跃响应

T=0.1s时，单位阶跃响应的超调量：20.04% 峰值时间：4.7s 调节时间：8.4s

T=1s时，单位阶跃响应的超调量：39.65% 峰值时间：4.4s 调节时间：15s T=2s时，单位阶跃响应的超调量：67.37% 峰值时间：4.4s 调节时间：31s A 4-8 试求增量式PID控制器（理想微分）的脉冲传递函数，设T0.1Tc，

44

TI0.5Tc，TD0.125Tc,Tc为临界振荡周期。

解：

u(k)kp[Ae(k)Be(k1)Ce(k2)]U(z)kp[ABzCz]E(z)112

Az2BzCU(z)zU(z)kpE(z) 2zA(1T/TITD/T)(10.1/0.50.125/0.1)2.45 B(12TD/T)3.5

CTD/T1.25

2.45z23.5z1.25D(z)kp

z2zA 4-9飞行模拟转台是现代飞机飞行控制系统在地面进行仿真实验的高精度实验设备。题图A 4-9(a)是我国自行研制的三轴电动模拟转台。转台分成三个框，分别围绕各自轴转动，每轴各用一套高精度伺服系统驱动。简化后其中某一轴的伺服系统结构图如题图4-9(b)所示。所设计的控制器连续传递函数为

21100s300s1D(s)300100s

ss试选择合适的离散化方法将其离散化，求得D(z)，并比较两个控制器的时域及频域的误差。设采样周期T=0.0005s。

(a)

45

(b)

题图A 4-9 模拟转台及伺服系统结构图

解：从控制器的结构明显看出为PID控制，所以积分项可以采用Tustin变换：，

D1(z)Tz1z1 0.000252z1z1z1z1 2000000.0005zzz1z1 200000z1z微分项可以采用向后差分法： D2(z)100s100所以得到离散后的数字控制器为

D(z)3000.00025（1） 两个控制器的时域误差比较： 控制器结构如题图A4-9-1所示。

题图A4-9-1控制器结构图

分别加入斜坡信号、正弦信号,得到两个控制器的时域和误差曲线分别如题图A4-9-2~题图A4-9-5所示。仿真时，连续系统采用欧拉法仿真，正弦信号频率为10rad/s。

从题图A4-9-2~题图A4-9-5可以看出，连续控制器和离散控制器针对斜坡信

46

号、余弦信号的时域输出很接近，其误差都很小。 （2）两个控制器的频域误差比较：

21100s300s1D(s)300100s

ssz1z1200300z2400300z200000D(z)3000.00025200000 2z1zzz

题图A 4-9-2连续与离散控制器 题图A 4-9-3连续与离散控制器 对斜坡信号的输出响应（已近重合） 对斜坡信号的误差响应

题图A 4-9-4连续与离散控制器 题图A 4-9-5连续与离散控制器 对正余弦信号的输出响应（已近重合） 对正余弦信号的误差响应

MATLAB仿真程序如下：

num=[100,300,1];den=[1,0]; n1=[300];d1=[1];

n2=0.00025*[1,1];d2=[1,-1]; n3=200000*[1,-1];d3=[1,0]; [n12,d12]=parallel(n1,d1,n2,d2);

47

[dnum,dden]=parallel(n12,d12,n3,d3); %连续控制器频域:

bode(num,den);grid,hold on %离散控制器频域:

T=0.0005;

dbode(dnum,dden,T)

连续控制器频域和离散控制器频域比较如题图4-7-6所示。由于采样周期较小，所以连续控制器和离散控制器频率响应特性在(0100)rad/s范围内非常一致。

Bode Diagram90858075Magnitude (dB)Phase (deg)7065605550454090450-45-9010-410-310-210-1100101102Frequency (rad/sec)

题图A 4-9-6 连续控制器频域和离散控制器频域

A 4-10已知连续控制器的状态方程如下

x(t)Ax(t)Bu(t)y(t)Cx(t)Du(t) (A4-10-1)

其拉氏变换为

X(s)(sIA)1BU(s) (A4-10-2)

试用Tustin变换法进行离散化，求其离散状态方程。 解：将Tustin变换式代入式(A4-10-2) ，可得：

ATBTX(z)(z1)I(z1)I(z1)IU(z)

22ATATBTz(I)(I)(z1)IU(z)

222

48

11若令F1(IATATBT，上式可写为 ) ；G1) ；F2(I222X(z)(zF1F2)1(z1)IGU1(z)

(zIF11F2)1(zII)F11GU1(z) (A4-10-3)

依F1、F2定义，可以推得

2F11F11F2I

用该式替换式(A4-10-3)中(zII)的第2项，则

X(z)(zIF11F2)1(zI2F11F11F2)F11GU1(z)

进一步整理，得

X(z)[(zIF11F2)12F12G1F11G1]U(z) (A4-10-4)

对式(A4-10-1) 的输出方程作z 变换，并将式(A4-10-4) 代入，则有

Y(z)[C(zIF11F2)12F12G1CF11G1]U(z)DU(z) [C(zIF11F2)12F12G1]U(z)(CF11G1D)U(z)

由该式可见，这相当于一个离散状态方程的输出方程的z变换。

令

AT1AT)(I) 22AT2G2F12G1(I)BT (A4-10-5)

2HC

AT1BT E(CF11G1D)DC(I)22FF11F2(I则离散系统状态方程为

xd(k1)Fxd(k)Gu(k)yd(k)Hxd(k)Eu(k) (A4-10-6)

所以，原连续系统状态方程式通过双线性变换离散后，其离散状态方程为式(A4-10-6)，其各项矩阵如式(A4-10-5) 所示。

B 习 题

B 4-1 使用不同方法对传递函数

49

D(s)进行离散化近似： ．前向一阶差分法 ．后向一阶差分法 ．双线性变换法

a sa ．预修正双线性变换法(关键频率取1a) ．零极点匹配法。 B 4-2超前连续网络传递函数为 D(s)4s1 s2试采用下述方法进行离散化，令采样周期T=0.25s。 ．前向一阶差分法 ．后向一阶差分法 ．双线性变换法 ．预修正双线性变换法

．零阶保持器(阶跃响应不变) 法

并计算和比较各离散网络及连续网络在c1.6rad/s处的相位及幅值。 B 4-3 已知一个简单连续陷波器为

s21 D(s)2

s10.1s11) 用前向一阶差分近似法离散，取采样周期T=1s，并说明该离散陷波器的稳定性。

2) 用双线性变换法求取离散陷波器，并说明此时陷波频率为多少？ 3) 如若保证离散陷波器的陷波频率不变，可采取什么办法。 B 4-4已知系统结构如题图B 4-4所示，图中D(s)1函数；G0(s)。设T=0.1s。

s(as)；Gh(s)为ZOH传递s1) 将控制器用双线性变换法离散，试确定使系统稳定的最大a值。 2) 试将控制器用一阶向后差分变换法离散，试确定使系统稳定的最大a值。

50

题图B 4-4系统结构图

B 4-5 若离散化采用

du(t)u(k1)u(k1)e(k) dt2T近似时称为中心差分法，试导出中心差分法替换式。

B 4-6 巴特沃斯(Butterworth) 滤波器常常用来获得锐截止阻带和平直通带频率特性的滤波器。其特性由下述幅值平方方程表示

G2()1

1(/c)2n式中n为滤波器阶次，c为截止频率。若n=4，依幅值平方方程，可以得到c=1时的s平面巴特沃斯(Butterworth) 滤波器的传递函数为

G(s)1

(s0.3827j0.9239)(s0.3827j0.9239) 1

(sj0.38270.9239)(sj0.38270.9239)试用零极点匹配方法求其脉冲传递函数。

B 4-7 题图B 4-7为一连续控制系统，要求将其改造为数字控制系统，设采样周期T=0.1s。要求用零极点匹配法设计一个合适的数字控制器。离散化时要求考虑零阶保持器的影响。应比较连续控制系统与数字控制系统的单位阶跃响应。

题图B 4-7 连续控制系统结构图

B 4-8 直流电机速度伺服系统如题图B 4-8所示，采用PI控制，对力矩干扰进行测量实现完全补偿，按连续系统方法设计，采用双线性变换方法将控制器离散，求数字控制器输出表达式。

51

题图B 4-8 直流电机速度伺服系统示意图

第5章 习 题

A 习题（具有题解） A 5-1

已知z平面上一对特征根为z1,2R，其中R=0.5，π，采样周4期T=1s。求s平面上相应特征根的实部和虚部(s1,2j)，并计算该对特征根

s1,2的阻尼比及无阻尼自然频率n。

解：zesTe(Tj(T2kπ))R

1lnRln(0.5)0.6931 TπT2πk，所以 (2πk)/T(6.28k)0.78546.28k

4 ReT0.5， 所以 所以，s平面极点位置为s0.6931j(0.78546.28k)

n0.69312(0.78546.28k)2；0.6931;

0.6931/0.69312(0.78546.28k)2 k=0时 n0.693120.785421.0475；0.6931，所以 0.6931/1.04750.6617

A5-2 已知计算机控制系统的连续被控对象为G(s)2，采样周期

s(0.2s1)T=0.1s，将G(s)变换至w域，画出G(w)的对数幅相频率特性曲线草图，并与G(s)的伯德图作比较。

解：G(z)(1z1)Z[20.04276(z0.837)] 2s(0.2s1)(z1)(z0.607) 52

G(w)0.04276(z0.837)(z1)(z0.607)z1Tw/210.05w1Tw/210.05w1.999(10.0044w)(10.05w)

w(0.205w1) G(s) 对数幅相频率特性曲线草图如题图A5-2-1所示。

G(w)对数幅相频率特性曲线草图如题图A5-2-2所示。比较可见，G(w)的低频特性与G(s) 对数幅相频率特性相近，但高频部分由于G(w)分子上的零点使高频特性畸变。

题图A5-2-1 题图A5-2-2

A5-3 已知天线方位跟踪系统的被控对象模型为G(s)T=1s，令数字控制器D(z)Kc

1，采样周期

s(10s1)z0.905。试在z平面上画出D(z) G(z)的根轨迹，

z0.4并取稳态速度误差系数Kv1处为系统工作点，检验闭环响应。

1esTG(s) 解：G(z)Zs 采用MATLAB命令，

[wnun,wdes]=c2dm([1],[10,1,0],1,'zoh') 得到 wnun = 0 0.0484 0.0468 wdes = 1.0000 -1.9048 0.9048 G(z)0.0484z0.0468z0.96690.0484

(z1)(z0.9048)z21.9048z0.9048(z0.9669)(z0.905)

(z1)(z0.9048)(z0.4)D(z)*G(z)0.0484KcnumG=[0.0484,0.0468]; denG=[1,-1.9048,0.9048]; T=1;

53

numD=[1,-0.905]; denD=[1,0.4];

[swn1,swd1]=series(numG, denG, numD, denD); 得到：分子 swn1= 0 0.0484 0.0030 -0.0424

分母 swd1=1.0000 -1.5048 0.1429 0.3619 画单位圆命令 t=0:0.01:2*pi; x1=cos(t);y1=sin(t); plot(x1,y1);grid;hold on rlocus(swn1, swd1)

得到下面的根轨迹图如题图A 5-3-1所示。 根据稳态速度误差系数

Kv11(z0.9669)(z0.905) lim(z1)D(z)G(z)0.0484Kcz1T(z0.9048)(z0.4)z1求得：Kc14.7372

用[kc,pole]=rlocfind(swn1, swd1)来寻找满足Kc14.7372所对应的极点 找到点： kc = 14.7865 对应得到：pole = 0.9050

-0.0579 + 0.5373i -0.0579 - 0.5373i

D(z)14.7865z0.905

z0.4闭环响应如题图A5-3-2所示。

Root Locus1.51Kc=14.78650.5Imagnary Axs0-0.5-1-1.5-2.5-2-1.5-1-0.5Real Axis00.511.5

54

题图A 5-3-1 根轨迹图

题图A 5-3-2 闭环响应图

A5-4 汽车空气与燃料混合比控制系统结构图如题图A5-4所示，图中

eTdsGp(s),Td1s,0.25s

1s近似表示发动机传递函数。若取采样周期T=0.1s，（1）若令D(s)=K，试求闭环系统特征方程并绘制K的根轨迹。（2）若取D(s)KpKI/s，且用一阶向后差分法离散，试绘制KI1时，Kp的根轨迹。

题图A5-4 汽车空气与燃料混合比控制系统

1eTseTdse10Ts0.33z100.331](1z)Z[]10解：1) G(z)Z[

s1ss(10.25s)z0.67z(z0.67)(z)10.33k0；(z)z110.67z100.33k0 10z(z0.67)开环极点为z10.67;z2~110； num=[1];

des=[1 -0.67 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; zgrid, hold on rlocus(num,des)

%画等阻尼比线和等自然频率线 其根轨迹图如题图A5-4-1所示。 2）D(z)(kpkI/s)1s1zTkp(1z1)T1z1k(z(k0.1)/k),k0.1kp

z1(z)z121.67z110.67z100.33k(z(k0.1)/k)0

可得根轨迹方程 10.33k(z1)0 121110z1.67z0.67z0.033 55

其根轨迹如题图A5-4-2所示。

Root Locus1.510.6/T0.7/T0.8/T0.5/T0.4/T0.10.3/T0.20.30.40.50.60.70.80.90.50.2/T0.9/TImaginary Axis0.1/T0/T/T0.9/T0.1/T-0.50.8/T0.7/T0.6/T0.5/T0.4/T0.3/T0.2/T-1-1.5-1.5-1-0.50Real Axis0.511.5

题图A 5-4-1 题图A 5-4-2

A 5-5 对题图A 2-16所示的火星漫游车控制系统，试用z平面根轨迹法采用零极点对消技术设计D(z)。设计要求为：（1）超调量<15%，调节时间ts2s，上升时间<0.8s。（2）速度误差系数Kv5。采样周期T=0.1s。

控制系统的主要任务就是保证漫游车对斜坡输入信号r(t)t,t0具有较好的动态跟踪性能。

题图A5-5 火星漫游车控制系统 解：1．设计指标与理想的z平面极点

采样周期T=0.1s，设计指标为：

（1）超调量%15%；代入式（5-5）：%eπ/（2）上升时间；tr0.8s，代入式（5-6）：trTIm(s)0.1*2.6430.2643rad15.1433

12100%，求得0.5169

πarccos，求得Im(s)2.643，

Im(s) 56

（3）调节时间ts2s，代入（5-8）：tseTRe(s)e0.1750.839457

3.5，求得Re(s)1.75，Re(s)在z平面上，画出0.52的对数螺旋线、R0.8394的同心圆以及

TIm(s)（取15.5）的射线，3条特征曲线包围的阴影区即为满足以上指标的z平面极点位置（题图A5-5-1）

（1）画出0.52的对数螺旋线的MATLAB命令： Kexi=0.52;

B=acos(Kexi);TB=-1/tan(B); WT=0:0.01:2*pi; EW=exp(WT*TB); x=EW.*cos(WT); y=EW.*sin(WT);

plot(x,y, 'r'), grid;hold on

（2）画出R0.8394的同心圆的MATLAB命令： t=0:0.01:2*pi;R=0.839; xR=R*cos(t);yR=R*sin(t); x1=cos(t);y1=sin(t); plot(x1,y1,'g'); plot(xR,yR, 'r')

（3）画出15.5的MATLAB命令： thita=15.5; temp=thita*pi/180; x2=cos(temp);y2=sin(temp); plot([0,x2],[0,y2] , 'r');

plot([-1,1],[0,0], 'g');

57

plot([0,0],[-1,1], 'g'); 2．设计数字控制器D(z)

（1）被控对象的脉冲传递函数

1esT1G(s)，G(z)ZG(s)

(s1)(s3)s 采用MATLAB命令，

[wnun,wdes]=c2dm([1],[1,4,3],0.1,'zoh') 得到 wnun = 0 0.0044 0.0038 wdes = 1.0000 -1.6457 0.6703 G(z)0.0044z0.0038z0.86360.0044 2(z0.9052)(z0.7405)z1.6457z0.6703（2）常值控制器：如果设D(z)=1，系统根轨迹如题图A5-5-2所示，没有一部分落入理想区域内，只用常值控制器，不能达到设计指标。 numG=[0.0044,0.0038]; denG=[1,-1.6457,0.6703];; rlocus(numG, denG)

10.80.61Root Locus21.50.40.20-0.2-0.4-1Imaginary Axis0.50-0.5-0.6-0.8-1-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1.5-2-3-2.5-2-1.5-1Real Axis-0.500.51

题图A5-5-1 题A 5-5特征根位置 题图A5-5-2 常值控制器根轨迹 （0.52R0.839415.5o） （3）离散根轨迹设计

采用零点对消原系统极点，可以看到，由于原系统不具有积分环节，所以为了达到速度误差系数Kv5的条件，在控制器中必须配置一个积分环节。

同时配置一个极点位于原点的二阶动态控制器

58

D(z)kc(z0.7405)(z0.9052)。此时的开环传递函数为：

z(z1)z0.8636z0.8636K

z(z1)z(z1)D(z)G(z)0.0044kc其中，根轨迹增益K0.0044kc

numGD=[1, 0.8636]; denGD=[1,-1,0]; rlocus(numGD, denGD)

加入控制器D（z）后的根轨迹如题图A5-5-3所示。

Root Locus1.51K=0.2885 0.5Imaginary Axis0-0.5-1-1.5-2.5-2-1.5-1Real Axis-0.500.51

题图A 5-5-3 采用二阶控制器时的根轨迹

根据速度误差系数要求Kv5，确定根轨迹增益的最小值，取

Kv1z0.86361K5 lim(z1)D(z)G(z)z10.1zTz1根据稳态位置误差系数 K0.2683

用[K,pole]=rlocfind(numGD, denGD)来寻找满足K0.2683所对应的极点 K = 0.2885

pole = 0.3557 + 0.3501i 0.3557 - 0.3501i

在稳定的增益区域内对应一对极点：z0.35570.3501j，对应的根轨迹增益K=0.2885，满足位置误差要求。

控制器增益kc0.2885/0.004465.5682。最后，取离散控制器为

59

D(z)65.5682(z0.7405)(z0.9048)

z(z1)阶跃输入信号仿真的方块图和仿真结果如题图A5-5-4所示。

题图A 5-5-4 阶跃输入仿真结果图 题图A 5-5-5 斜坡输入仿真结果图

从中可知稳态值=1，最大值=1.063，故超调量%6.3%，上升时间

tr0.25s，调节时间ts0.5s，性能满足要求。

斜坡输入信号r(t)t,t0仿真结果如题图A 5-5-5所示。 由于K =0.2885，所以得到

Kv11lim(z1)D(z)G(z)0.28851.86365.376486 z1T0.1110.186，仿真方块图和指令输入与Kv5.376486斜坡输入的稳态误差为：ess输出的误差值见题图A 5-5-6。

题图A 5-5-6 斜坡输入信号的指令输入与输出的误差局部图

A 5-6 对题图A 5-6所示的加热系统设计一个控制器D(z)。要求阶跃输入时稳态误差<2%，相稳定裕度>40°，幅值裕度>6dB，试给出D(z)的脉冲传递函数。

60

题图A 5-6 习题A 5-6加热系统结构图

解： （1）被控对象的脉冲传递函数

1esT1，G(z)ZG(s) G(s)3s1s 采用MATLAB命令，得到

[znun,zdes]=c2dm([1],[3,1],0.2,'zoh') znun = 0 0.064 zdes = 1.0000 -0.9355 G(z)0.064

z0.9355 (2) 根据静差要求，确定系统开环放大系数

若令控制器D(z) 的稳态增益为k，依要求，在综合点处的误差应小于0.02，所以可得下述方程

0.02k1200.0410.020.998

所以 k0.998/0.01662.375，取k=65。因此，系统的开环放大系数K=52，系统开环传递函数为 G(z)0.064523.328 z0.9355z0.9355 (3) w平面设计

将其变换至w平面，若,T=0.2s， 采用MATLAB命令将其由Z平面变换至w平面: [c,d]=d2cm([3.328],[1,-0.9355],0.2,'tustin');%从离散变成连续，z->s

c = -1.7195 17.1945 d =1.0000 0.3332

w平面的传递函数为 G(w)1.7195w17.1945

w0.333261

在选定放大系数的条件下，未校正系统不稳定。事实上，在w平面上，闭环特征方程为

(w)w0.33321.7195w17.19450.7195w16.860

其特征根为正。为此必须加以校正。

依w平面的开环传递函数可得其Bode图，如题图A5-6-1所示。

分析该图可知，系统为非最小相位系统，需将高频增益降低小于1。通过分析和试算，选择 D(w)0.1w0.5

w0.005通过下述MATLAB程序，可求得校正后的Bode图，如题图A5-6-2所示。 c=[-1.7195 17.1945]; d=[1 0.3332]; c1=[0.1 0.05]; d1=[1 0.005];

[sn,sd]=series(c,d,c1,d1); figure(1);margin(sn,sd);

从题图A5-6-2中可见，增益裕度为15.3 dB，相位裕度为76deg，满足系统要求。

题图A5-6-1 开环对数幅频特性曲线 题图A5-6-2校正后开环对数幅频特性曲线

(4) 将w平面传递函数变换到z平面 利用下述MATLAB程序：

[c,d]=d2cm(c1,d1,0.2,'tustin') ； 可求得控制器z传递函数： D(z)

62

0.1049(z0.9056)

(z0.999)该传递函数的稳态增益为D(z)z10.1049(z0.9056)(z0.999)z19.9，为保证

控制器增益为k=65，所以应取kd65/9.96.57，取整，kd7：

D(z)0.73(z0.9056)0.8(z0.9056)

(z0.999)(z0.999) (5) 系统仿真验证

利用Simulink软件可以构造如下仿真框图，如题图5-6-3所示。误差动态如题图5-6-4所示。从数字显示器上可见，稳态误差为0.01636，满足要求。

题图A 5-6-3 题图A 5-6-4

A 5-7 飞机俯仰角速度控制系统如题图A 5-7所示，试设计控制器D(z)，使阶跃响应超调量小于15%，调节时间小于4s，并使等效舵面常值干扰稳态误差为零。设采样周期T=0.05s。（为了简化，设计时可以略去舵机的时间常数）。

题图A 5-7 飞机俯仰角速度控制系统

解：采用PID控制得到如题图A 5-7-1所示的仿真曲线。可见满足指标要求。

63

题图A 5-7-1 仿真曲线

可见满足指标“阶跃响应超调量小于15%，调节时间小于4s”的要求。

题图A5-7-2不考虑舵机时对阶跃等效舵面常值干扰的稳态误差曲线 可见满足指标“等效舵面常值干扰稳态误差为零”的要求。

题图A5-7-3考虑舵机时不考虑舵面干扰时对阶跃指令输入的响应仿真曲线

可见满足指标“阶跃响应超调量小于15%，调节时间小于4s”的要求。

图A5-7-4考虑舵机时对阶跃等效舵面常值干扰的稳态误差曲线

64

可见满足指标“等效舵面常值干扰稳态误差为零”的要求。

A 5-8 自动化的磁悬浮列车可以在极短的时间内正常运行，而且具有极高的速度和能量利用率。自动化磁悬浮列车的一个关键技术就是对列车的悬浮高度进行控制。题图5-8(c)是代表世界先进水平的德国M-Bahn号磁悬浮列车悬浮高度的计算机控制系统。若采样周期T=0.01s，试在w域设计数字控制器D(z)，使系统的相位裕度满足4555，并估算校正后的系统阶跃响应。

题图A5-8 磁悬浮列车高度控制系统

解：

（1）被控对象的脉冲传递函数

1esT1G(z)ZG(s)，G(s)3 2s10ss 采用MATLAB命令，得到 Gnum=[1];

Gdes=[1,10,0,0];

[Gznum,Gzdes]=c2dm(Gnum, Gdes,0.01,'zoh') Gznum = 1.0e-006 *

0 0.1626 0.6344 0.1547 Gzdes = 1.0000 -2.9048 2.8097 -0.9048

0.1626z20.6344z0.1547G(z)103

z2.9048z22.8097z0.90486 65

将其变换至w平面，若T=0.01s，则可以采用MATLAB命令将其由Z平面变换至w平面:

[Gwnum, Gwdes]=d2cm(Gznum, Gzdes, 0.01, 'tustin') Gwnum = 0.0000 -0.0000 -0.0049 0.9992 Gwdes = 1.0000 9.9917 0.0000 -0.0000

G(w)0.0049w0.9992

w39.9917w2采用MATLAB命令:

figure(1);margin(Gnum,Gdes) ,grid ,hold on %连续系统在S平面

margin(Gwnum, Gwdes) %原连续系统在W平面 (1)设计控制器1

Dn1=4.5e+5*[1 0.001];Dd1=[1 100]; Dn2=[1 0.001];Dd2=[1 100]; [Dn12,Dd12]=series(Dn1,Dd1,Dn2,Dd2); [num1,des1]=series(Gwnum, Gwdes,Dn12,Dd12); margin(num1,des1),grid %计算和校核幅值和相角裕度

Bode DiagramGm = -204 dB (at 2.24e-006 rad/sec) , Pm = -1.9 deg (at 0.316 rad/sec)500Magnitude (dB)100Bode DiagramGm = 8.01 dB (at 78.4 rad/sec) , Pm = 50.9 deg (at 39 rad/sec)-50Magnitude (dB)-100-150-200-25018090G(w) G(s) 50Dn1=4.5e+5*[1 0.001];Dd1=[1 100]; Dn2=[1 0.001];Dd2=[1 100]; [Dn12,Dd12]=series(Dn1,Dd1,Dn2,Dd2); D(w)G(w)0-50360270Phase (deg)Phase (deg)0-90-180-270G(w) G(s) -1D(w)G(w)1809001010010110210310410-410-2100102104Frequency (rad/sec)Frequency (rad/sec)

题图A5-8-1 原系统S和W的频率特性曲线 题图A5-8-2校正系统的对数幅频特性曲线

由题图A5-8-2可见，在频率39rad/s处，相角欲度为50.9。。 采用MATLAB命令将其由w平面变换至z平面:

66

[Dzn1,Dzd1]=c2dm(Dn12,Dd12,0.01,'tustin') Dzn1 = 1.0e+005 *

2.0000 -4.0000 2.0000 Dzd1 = 1.0000 -0.6667 0.1111

(z1)2对应得到D(z)2.0102

z0.6667z0.11115校正后的系统阶跃响应如题图A5-8-3所示。

题图A5-8-3 仿真曲线图

结论：

（1） 由于采用两个微分环节抵消积分环节，所以系统响应存在静态误差。 （2） 由于没有考虑到w平面与s平面在频率和相角之间存在的非线性映射

关系，得到的相角欲度是在w平面的，而不是在z平面的，所以可能需要进行一定的修正。

画出对象模型的几种频率特性曲线如题图A5-8-4所示。 Bode(Gnum, Gdes),grid, hold on dbode(Gznum, Gzdes,0.01) bode(Gwnum, Gwdes)

67

Bode Diagram500Magnitude (dB)-50-100-150-200-250180G(z)G(s)G(w)Phase (deg)0G(w)-180-360G(z)-1G(s)10210100101103104Frequency (rad/sec)

Bode Diagram500Magnitude (dB)-50-100-150-200-250180G(z)G(s)G(w)Phase (deg)0-180G(s)G(z)-1-36010100G(w)102101103104Frequency (rad/sec)

图A5-8-4 频率特性

从题图A5-8-4中可以看出，在频率小于50rad/s时，3种曲线对应的相角几乎相等，所以不需要进行相角的修正。 (2)设计控制器2

Dn3=2e+3*[1 0.1];Dd3=[1,30];

[num2,des2]=series(Gwnum, Gwdes,Dn3,Dd3); margin(num2,des2),grid %计算和校核幅值和相角裕度 由题图5-8-5可见，在频率5.69rad/s处，相角欲度为47。。 采用MATLAB命令将其由w平面变换至z平面:

[Dzn2,Dzd2]=c2dm(Dn3, Dd3,0.01,'tustin')

68

Dzn2 = 1.0e+003 * 1.7400 -1.7383 Dzd2 = 1.0000 -0.7391

对应得到D(z)1000

Bode DiagramGm = 13.9 dB (at 15.7 rad/sec) , Pm = 47 deg (at 5.69 rad/sec)2001001.74z1.7383

z0.7391Dn3=2e+3*[1 0.1];Dd3=[1,30]; D(w)G(w)G(z)G(w)G(s)D(w)G(w)G(w)Magnitude (dB)Phase (deg)0-100-200-3003601800-180-360G(z)-3G(s)1011010-210-1100102103104Frequency (rad/sec)

题图A5-8-5校正连续系统的对数幅频特性曲线

校正后的系统阶跃响应如题图5-8-6所示。

题图A5-8-6 仿真曲线图

结论：

69

（1） 由于采用1个微分环节抵消积分环节，所以系统响应不存在静态误差。 （2） 由于穿越频率5.69rad/s比较小，相角欲度为47。，所以得到的相

角欲度不需要进行修正。

A 5-9 不稳定系统的控制问题成为大多数控制系统需要解决的难点。由于绝大多数的不稳定系统的控制都是非常危险的，因此在实验室研究中，常采用开环不稳定的球杆系统作为实验系统。球杆系统简单安全并具备一个非稳定系统所具有的重要的动态特性。

球杆执行系统结构如题图A5-9(a)所示，它由一根V型导轨和一个不锈钢球组成。V型导轨一侧为不锈钢杆,另一侧为直线位移电阻器。当球在轨道上滚动时，通过测量不锈钢杆上输出电压即可测得球在轨道上的位置。V型导轨的一端固定，而另一端则由直流电机经过齿轮减速，再通过固定在大齿轮上的连杆带动进行上下往复运动。需要解决的问题是，通过调节直流电机的转动，可使球停放在导轨上的指定位置。

该系统的框图模型如题图A5-9（b）所示。试在连续域设计控制器D(s)，使球可以在杆上任一指定位置停止。选择合适方法将D(s)离散化，并通过数字仿真的方法验证数字系统与连续系统的响应特性是相近的。（应注意，电机转角与小球位移是非线性的函数关系，本题将其近似为线性关系。）

（a）

(b)

题图A5-9 球杆控制系统

70

解：采用连续PD控制，得到如题图A 5-9-1所示的连续控制器系统结构及仿真曲线图

题图A 5-9-1连续控制器系统结构及仿真曲线图

对应得到的连续控制器为：D(s)0.1100采用tustin离散控制器

（1） 取采样周期T0.01s，得到：

[Dn,Dd]=c2dm( [100.1 11], [1 100],0.01,'tustin') Dn = 66.7700 -66.6967 Dd = 1.0000 -0.3333 离散控制器为：D(z)s0.01100.1s11 s100s10066.77z66.6967

z0.3333得到如题图A 5-9-2所示的离散控制器系统结构及仿真曲线图。

图A 5-9-2离散控制器系统结构及仿真曲线图

由题图A 5-9-1和题图A 5-9-2可以验证数字系统与连续系统的响应特性是相近的。

71

A 5-10 机械手计算机控制系统如题图A 5-10(a)所示，该系统的控制过程可分为加速段、减速段和位置伺服段。前两段为开环控制，在夹持钳接触玻璃杯后为控制弹性垫的压缩量，系统进入位置闭环伺服控制段。实际的压缩量由压力传感器检测。闭环伺服控制系统结构图如题图A 5-10(a)所示。采样周期T0.0014s,其中Kt0.3Nm/A；Kp0.833V/mm;

Ka1A/V;r0.015m;m1kg。

在w平面设计控制器满足如下要求：

（1）在静摩擦力矩Mf102Nm时，闭环系统的静差0.1mm。 （2）最大超调量15%，调节时间0.5s。

（3）相位稳定裕度m50，幅值稳定裕度Lh10dB。

(a)

(b)

题图A 5-10机械手计算机控制系统

解 （1）依题图A 5-10(b)结构图，在Mf作用下，要求静差0.1mm，可求得控制器稳态增益Kd：

Mf102Kd0.4

KPKaKtx0.83310.30.1

72

（2）在上述参数下，系统的开环传递函数为

G(s)KpKtKaKdrms26664K12,K16664 s2s（3）控制器设计，在w域上进行控制器设计。首先求G(z)，得

1eTsK1K1T2(z1) G(z)Z22ss2(z1)进而进行w变换

K1T2(z1)G(w)2(z1)2z1Tw/21Tw/2K1(1Tw/2)(10.0007w) 6664w2w2依该式可得系统开环对数频率特性曲线，如题图A 5-10-1上L1,1所示，显然，该系统是不稳定的。为此需加入校正网络。利用连续系统的校正方法，为使系统稳定，增强快速性，减少超调，应加入超前-滞后校正网络

D(w)1w(1)

1w选择1/及1/分别位于开环截止频率ωc1的两侧，根据经验及试算，最终选取

0.028,0.00014，得

D(w)10.028w(1) 10.00014wD(w)的对数频率特性曲线如题图A 5-10-1上L2,2所示。此时，系统正向通道

脉冲传递函数为

G(w)666410.028w(10.0007w) 210.00014ww校正后的系统开环对数频率特性曲线如题图A 5-10-1上L3,3所示。从该图可得系统相位裕度m7050，幅值裕度Lh18dB10dB，满足要求。

考虑到静态设计Kd0.4的要求，所以最终可得：

D(w)0.4将D(w)返回到z平面，求得

10.028w 10.00014wD(z)D(w)

w2z1Tz113.667(z0.95122)

(z0.667)73

（4）在z平面上进行性能校验 此时，系统正向通道脉冲传递函数为

G1(z)0.0026787(z0.95122)(z1)

(z0.667)(z1)2系统闭环传递函数为

(z)G1(z)X(z) R(z)1KpG1(z)(0.0002670.0000131z10.0002574z2)z1 12311.1107z0.323z0.4556z反变换可得

x(k)1.1107x(k1)0.323x(k2)0.4556x(k3)

0.000267r(k1)0.0000131r(k2)0.0002574r(k3)利用迭代法或计算机仿真,可得题图A 5-10-2所示阶跃响应曲线。由图可知超调量为12%15%，稳态调节时间ts0.3s0.5s，满足给定技术要求。

题图A 5-10-1 对数频率特性曲线 题图A 5-10-2 阶跃响应曲线 B 习 题

B 5-1离散系统结构图如题图B 5-1所示。试画出不同采样周期T时的根轨迹，令采样周期T分别为0.5s、1s及2s。并说明当取K=2时采样周期T对系统动态及静态误差的影响。

74

题图B 5-1 离散系统结构图

B 5-2离散系统结构图如题图B 5-2所示。在z平面利用根轨迹方法设计数字控制器D(z)，使闭环主导极点阻尼比大于0.5，调节时间小于2s，采样周期T=0.2s，并仿真计算系统的单位阶跃响应和求取系统的速度误差系数。

题图B 5-2 离散系统结构图

B 5-3 为使卫星上天线和传感器相对地球有正确的方位，常常要卫星姿态进行控制。卫星单轴姿态控制时，如不考虑干扰力矩，姿态角与控制力矩之间的传递函数可表示为

G(s)若令采样周期为T=1s，

1) 假定用比例控制，试手工绘制该系统根轨迹。 2) 用MATLAB绘制根轨迹并验证手工绘制的根轨迹。

3) 试设计超前网络控制器使系统主导极点的阻尼比 0.5，自然频率

(s)u(s)1 s2n0.3π。并绘制系统单位阶跃响应。 B 5-4 题图B3-5为水位高度控制系统略图。

1) 画出阀门数N的根轨迹。 2) 如若取N=5，数字控制器为

D(z)kczzc zpc试用零极点对消法选择控制器有关参数，并保证系统速度误差系数不变。 B 5-5 在题A 2-15所示热蒸汽加热系统中，设T=0.2s，要求在常值输入时稳态

75

误差应小于2%，试设计一相位滞后的控制器，使相位及增益裕度分别大于40。 及6dB ，试给出控制器传递函数D(z) 。

B5-6 太阳光源跟踪系统利用伺服系统控制太阳电池帆板的移动，使其跟踪并始终垂直于太阳光线，最大程度地接受太阳能。太阳光源跟踪系统由感光器与检测线路和电机的功率放大器（可以简化视为一个增益放大环节），太阳帆板（作为直流力矩电机的负载，可以近似看作常值转动惯量加到电机轴上），电机位置传感器（其输出与电机转角成正比的电压信号）和直流力矩电机组成。

太阳光源跟踪系统如题图B5-6（a）所示。计算机控制系统方块图如题图B5-6（b）所示。试设计数字控制器，满足如下指标要求：

（1）超调量%15%； （2）上升时间tr0.55s； （3）调节时间ts1s。

（4）静态速度误差系数Kv5。 设采样周期T=0.1s

(a)

(b)

题图B5-6太阳光源跟踪计算机控制系统

76

22C(z)T(kpzkiTzkiTkp)B5-7 若给定系统闭环传递函数为(z) R(z)Az3Bz2CzD式中 A2JV，BTkp2krT6JV，C6JV4krTT3ki，

D2krTkiT32JVkpT2，JV41822

试确定kp,kr,ki，使输出c(k)以最少的采样周期数达到阶跃的输入值。 B5-8 现考察导弹滚转控制问题。导弹绕纵轴滚转特性近似用下述传递函数描述

G(s)1

s(s15)其控制系统结构如题图B5-8所示。

1) 试用连续域-离散化方法设计控制器D(s) ，满足下述指标： ．kv150

．相位裕度m550 ．控制器增益尽可能低

．采用双线性变换法求取数字控制器D(z) 。 设采样周期T0.02s。

2) 利用w变换方法直接设计数字控制器D(z) ，满足上述指标要求。 设采样周期T0.04s。

题图B 5-8 导弹滚转控制系统

B 5-9 两个水箱组成的系统如题图B 5-9所示,若取系统的输入控制信号为第－个水箱输入流量,输出信号为第二个水箱液位高度. 令采样周期T=12s,可以求得系统脉冲传递函数为

假设闭环系统性能指标为

G(s)H(s)0.03z0.0262 U(s)z1.65z0.68 77

1) 指令信号阶跃变化时稳态误差为零; 2) 补偿后系统穿越频率为0.025rad/s; 3) 相位储备大约为50。 .

a) 试用w'变换法设计PI控制器满足上述指标要求,并计算闭环系统的零极点； b) 仿真计算系统阶跃时间响应。

题图B 5-9 两个水箱组成的系统

B5-10系统结构如题图B 5-10所示。试利用w变换法设计数字控制器，设计指标为：相位储备为55，幅值储备为10dB，稳态速度误差数为5 /s。令采样周期T=0.1s。在完成设计后，绘制根轨迹，并在图上确定闭环极点位置。

。

题图B 5-10 系统结构图

第6章 习 题

A 习 题（具有题解）

A 6-1试判断下述系统的可控性及可观性。

0.50.56x(k1)x(k)u(k) 00.254

78

y(k)[24]x(k)

0.50.56661

解：WRFGG rank=2，系统可控 =

00.254441

C24 Wo rank=1，系统不可观。 CF12

A 6-2下述连续系统被采样，求离散传递函数，并确定T为何值时系统不可控，试说明之。

G(s)2(s5)

s210s29 解：(s)s210s2540；s1,25j2；所以 s1s2j4。 依要求可知，若 s1s2jk统不可控。

2[z2ze5Tcos2T] G(z)2，如当Tπ/2时

z2ze5Tcos2Te10T2e2.5z(e2.5z1)2e-2.5πz2.5π G(z)，发生零极对消。 2.5π2(ez1)(ez1)2，采样系统不可控。故有Tk/2时系T

A 6-3给定下述系统

012x1(k)0x(k)1u(k) x(k1)0032000x2(k)0（1）试确定一组控制序列，使系统从x(0)[111]T达到原点。 （2）该控制序列最少步数是多少。

（3）能否找到一组控制序列，使系统从原点到达[111]T，解释为什么。

012103011u(0)31u(0) 003解：1) x(1)0001000如取u(0)=-3，则

79

30123000；x(2)00301u(1)01u(1) x(1)000000000如取u(1)=-0，则

x(2)[0]。表明u(0)=-3、u(1)=0，可使系统从x(0)[111]T达到原点。

2) 显然最少步数N=2。

010001，rankW23，系统不可达。23) 因为WR FGGFGR000从转移矩阵F可见，x3(k) 不受u(k) 影响，且与其他状态无关，所以不能通过u(k) 改变其状态。

A 6-4 伺服系统的状态方程为

10.09520.00484x(k1)x(k)0.0952u(k) 00.905试利用极点配置法求全状态反馈增益，使闭环极点在s平面上位于

0.46,n4.2rad/s。假定采样周期T0.1s。 解：求期望极点：

s平面 s1,2njn121.932j3.73 z平面 z1,2es1,2T0.8243e-j0.3730.7676j0.3004

期望特征方程：

c(z0.7676j0.3004)(z0.7676j0.3004)z21.535z0.67950 依Ackerman公式 K100WC1ac(F)；WCGFG;

0.0048495.1315.3411G WCGFG105.15.342; 0.09520.0139 FG0.0862

80

10.095210.095210.00.14460.0353c(F)1.5350.679800.905010; 00.9050.106295.1315.340.14460.0353K1015.173.12 0.106105.15.3420

A 6-5 对题（6-4）所示系统设计全阶状态预测观测器及现今值观测器，要求观测器的特征根是相等实根，该实根所对应的响应的衰减速率是控制系统衰减速率的4倍。若y(k)[10]x(k)，试设计降阶状态观测器，要求观测器极点位于原点，并求由观测器而引入系统的数字滤波器传递函数。

若y(k)[01]x(k)，试问能设计降价状态观测器吗？ 解：1) 预测观测器设计

预测观测器方程为 x(k1)[FLC]x(k)Gu(k)Ly(k)

C0利用Ackerman公式计算L阵：Le

CF11 期望极点确定，依题意 ，原系统n1.932，故观测器极点为

zee1.93240.10.46，所以期望方程为 (z0.46)2z20.92z0.2130

10.095210.095210.00.2930.0940.920.212 e(F)00.905010 00.9050.19940.0C1CF10.5110.51 120.000.9880.2930.0941L10.5110.5112.096 00.1994将各式代入观测器方程，最后可得

0.0130.09520.004840.987x(k1)x(k)u(k)0.09522.069y(k) 2.0690.9052) 现今值观测器

x(k1)(FLCF)x(k)(GLCG)u(k)Ly(k1)

81

0.0952(1L1)1L1 FcFLCF,闭环特征方程为 0.9050.0952L2L2(z)z2(L11.9050.0952L2)z0.9050.905L10 与期望特征方程对比，可得

L11.9050.0952L20.920.9050.905L20.213

由此可得 L10.705;L22.08

0.2350.02230.001140.705x(k1)x(k)0.084u(k)2.08y(k1) 2.310.6853) 降维观测器

x2(k1)(F22LCF)x2(k)(G2LG1)u(k)(F21LF11)y(k)Ly(k1)

依题意，降维观测器期望特征方程为z=0；降维观测器特征方程为 (z)det[zIF22F12]z0.9050.00952L0 所以有 0.0952L0.9050，由此得 L=9.506 最后有 x2(k1)9.506[y(k1)y(k)]0.0492u(k) 4) 数字滤波器

将控制律代入降维观测器方程中：

u(k)15.17x1(k)3.12x2(k)15.17y(k)3.12x2(k) x2(k1)9.506[y(k1)y(k)]0.0492(15.17y(k)3.12x2(k)) zx2(z)9.506(zy(z)y(z))0.0492(15.17y(z)3.12x2(z)) (z0.1535)x2(z)9.506(z1.078)y(z) ；

x2(z)9.506(z1.078) y(z)(z0.1535) u(z)15.17y(z)3.129.506(z1.078)y(z)

(z0.1535)

u(z)44.86(z0.6614) y(z)(z0.153)A 6-6 桥式吊车计算机控制系统如题图A 6-6所示，图中u为施加于台车上的外

82

力，mc是是台车的等效质量，m1是重物的质量，x1是台车的位移，y1是重物的位移，是重物的摆角，l是摆长。为简化起见，假定：（1）轨道和台车之间无摩擦；（2）摆长l不变（只研究水平方向的控制）；（3）作用力u的动态过程可忽略。在上述假定下，可得被控对象状态方程：

题图A 6-6 桥式吊车控制系统示意图

x22u(gcosx3lx4)m1sinx3x12xmcm1sinx32x

x3x42x4ucosx3(glx4cosx3)gmcsinx3l(mcm1sin2x3)式中x2x1,x3,x4。

在小扰动下，可取x40,x30，则上述方程可简化为

00x00式中a23m1g/mc;a43100a23000a4300g0x2u 010g4m1mcg/l;g21/mc;g41/mcl。 mc如取l1m;mc7.9kg;m13kg。 （1）试求该系统被控对象的状态方程。

83

（2）若选取采样周期T0.1s，试求系统的离散状态方程。

（3）求状态反馈阵K使系统闭环极点位于z10.6,z20.6,z3,40.5j0.3。

10（4） 取y00000100x，试设计降维观测器。 010000解：利用MATLAB软件进行设计。 1) 计算数学模型

%系统参数与模型赋值 L=1; m1=3; mc=7.9; g=9.8;

a23=m1*g/mc;

a43=-(m1+mc)/mc*g/L; g2=1/mc; g4=-1/mc*L; A=[ 0 1 0 0 0 0 a23 0 0 0 0 1

0 0 a43 0 ]; B=[ 0 g2 0 g4];

C=[1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ]; D=[ 0 0 0];

2) 线性系统离散化

%系统离散化，采样时间为0.1s T=0.1;

[F,G,Cd,Dd]=c2dm(A,B,C,D,T,'zoh');

10.10.0183990.00061607010.363800.018399 F000.933150.0977621.32190.93315000.0006309610.012560 Cd G0.0006258100.0123760

离散化得到离散的系统模型：X(k1)FX(k)GU(k)。

000100 Dd0 01000084

3）配置系统极点程序

依给定的期望极点，利用MATLAB程序进行极点配置设计。

pole=zeros(4,1);％极点赋值 pole(1)=0.6; pole(2)=0.6; pole(3)=0.5+0.3*i; pole(4)=0.5-0.3*i;

kd=acker(F,G,pole);％采用Ackermann公式配置极点设计。 结果为

kd =

444.4784 286.2412 -182.7303 187.7744 计算闭环系统的极点为

eig(F-G*kd) ans =

0.5000 + 0.3000i 0.5000 - 0.3000i 0.6000 + 0.0000i 0.6000 - 0.0000i

摆角初值为0.1rad时仿真曲线，如题图A 6-6-1所示，其中虚线是摆角，实线为小车。

题图A 6-6-1 题图A 6-6-2

4）降维观测器设计(此问超出本教材范围)

85

10 因为y00000100x，可知降维观测器是3个输入的多输入、1个输出的系010000统，本章讲述是单输入系统的极点配置方法。但利用MATLAB软件中的下述命令

K=place(F,G,pole)

可以实现多输入极点配置。如期望极点zc0.7，可得反馈增益

L=[0.0145 0.4355 2.33]

依降阶观测器方程式(6-29)，可求得x4 的观测值。但完全依靠 所求增益计算闭环系统处于临界发散状态，通过仿真调整，将其调整为L=[0.0145 0.4355 0.5] 时，其仿真结果如题图6-6-2所示。

A 6-7 题图A 6-7是卫星轨道控制示意图，描述了地球上空高度为463km的赤道圆轨道卫星运行情况，卫星在轨道平面中运动的标准状态微分方程为

032x0010020001002xurut 000100010

题图A 6-7卫星轨道控制示意图

其中，状态向量x表示赤道圆轨道的标准摄动，分别表示径向和切向上的摄动位置和速度，ur表示从径向推进器获得的径向输入，ut表示从切向推进器获得的切向输入，卫星的轨道角速率为0.0011rad/s（约为每圈90min）。采样周期

T1min。

（1）将卫星轨道摄动方程进行离散化，并判断轨道振动是否稳定。

86

（2）如果只有ut发挥作用，卫星是否能控 （3）如果只有ur发挥作用，卫星是否能控

（4）如果能够测得切向方向上的位置摄动，请确定由ut到该位置振动量的传递函数。（提示：可以令观测输出方程为y(k)[0010]x(k)）

（5）采用状态反馈utkx设计合适的切向反馈控制器，使得闭环采样控制系统具有较好的动态性能。 解：

(1) 离散化及稳定性分析： 连续系统状态方程为：

032x00032A0000010002xurutAxB1urB2ut， 000012000100010002,B1,B2,0.0011,T60s 00001200011010离散化以后系统状态方程为：

x(k1)Fx(k)G1ur(k)G2ut(k)

求取F, G1, G2的MATLAB程序为： w=0.0011;%卫星的轨道角速率 T=60;%采样周期

A=[0 1 0 0;3*w^2 0 0 2*w;0 0 0 1;0 -2*w 0 0];%系统矩阵 B1=[0 1 0 0]';%控制矩阵1 B2=[0 0 0 1]';%控制矩阵2 [F,G1]=c2d(A,B1,T); %系统离散化 [F,G2]=c2d(A,B2,T); %系统离散化 P=eig(F): %计算系统特征根

87

运行结果为： F =

1.0065 59.9564 0 3.9586 0.0002 0.9978 0 0.1319 -0.0003 -3.9586 1.0000 59.8258 -0.0000 -0.1319 0 0.9913 G1 = 1799.3 0060.0 -0079.2 -0004.0 G2 = 0079.2 0004.0 1797.4 0059.8

P= 1.0000 0.9978 + 0.0660i 0.9978 - 0.0660i 1.0000

系统有单位圆上的特征根，因此，离散系统是临界稳定. (2) 只有ut发挥作用，能控性分析

32可控性矩阵：WC2FGFG2FG2G22

Wc2 = 1.0e+004 *

0.2917 0.1501 0.0554 0.0079

88

0.0027 0.0020 0.0012 0.0004 1.2144 0.8830 0.5361 0.1797

0.0054 0.0057 0.0059 0.0060

行列式的值为det(Wc2)= -1.0604e+0070, 因此只有ut发挥作用时系统能控。

(3) 只有ur发挥作用，能控性分析

32可控性矩阵：WC1FGFG1FG1G11

Wc1 = 1.0e+004 *

1.2486 0.8958 0.5390 0.1799 0.0058 0.0059 0.0060 0.0060 -0.2917 -0.1501 -0.0554 -0.0079 -0.0027 -0.0020 -0.0012 -0.0004

行列式的值为det(Wc1)= 0, 因此只有ur发挥作用时系统不可控。

(4) 如果能够测得切向方向上的位置摄动，考虑x(k)[xr(k)xr(k)xt(k)xt(k)]T则观测输出方程可以写为

y(k)Cx(k),C[0010]

只考虑切向方向的摄动，则状态方程变为

x(k1)Fx(k)G2ut(k)

设x(0)=0，z变换得到

X(z)(zIF)1G2Ut(z) Y(z)CX(z)Y(z){C[zIF]1G2}Ut(z)

得到传递函数矩阵

H(z)Y(z)C[zIF]1G2 Ut(t)将C, F, G2等参数值代入上式，即可分离得到ut到切向位置摄动量xt(t)的传递函

89

数。

(5) 采用Ackermann公式设计切向状态反馈控制律ut(k)Ktx(k)，

Kt1000WC1ac(F)

32其中WCFG2FG2FG2G2，

ac(F)F3a1F2a2Fa3I，

ac(z)z3a1z2a2za30是闭环系统特征方程。若期望闭环系统特征根为

P=[0.5, 0.2, 0.6+0.2i, 0.6-0.2i];

则可以采用MATLAB命令Kt=acker(F,G2 ,P)求得最优反馈增益

Kt =[0.0010 0.9158 -0.0017 0.0242]

A 6-8 产品库存控制系统可用下述微分方程描述

x1x2u x2bu

式中x1为产品库存清单数量，x2为产品销售速度，u为产品生产速度，b为常数。若令u(t)u(kT),kTt(k1)T,T为采样周期。采用状态反馈设计：

u(k)r(k)k1x1(k)k2x2(k)

式中r(k)为参考输入，k1和k2为反馈增益。

（1）求k1和k2使闭环系统极点位于z平面原点。 （2）若令e(k)r(k)x1(k),D(z)U(z)，试求D(z)使x1(k)在r(k)1(k0)时是E(z)非周期的（令T1s,b1），并求x2(k)。

解：

0111）X(t)X(t)u(t) 00b离散化 FeTAT1TIATAT/2 0122GeBd0AT0TT2b/21T1 01bdbT90

若u(k)k1x1(k)k2x2(k)，闭环特征方程为

z1(TbT2/2)k1T(TbT2/2)k2 det[zIFGK]det0

bk1Tz1bk2Tz2(k1TbT2/2bk1T2)z1bk2T(bT2/2T)k10

要求特征方程 z2 =0；有

(k1TbT2/2bk1T2)0(1bk2T(bT/2T)k1)0所以有 k11/bT2,k22

23bT。 2b2T2k11;k20.5。2) 当b=1,T=1时，此时闭环系统的结构图如题图A 6-8-1 (a)

所示，简化后，可得图(b) 所示。

91

1.5R(:)-(z-1)+-+U(z)1z-1X2(z)-+1z-1X1(z)-0.5(a)R(z)-+1.5z0.5z-0.5E(z)1z-1X1(z)(b)

题图A 6-8-1 系统结构图 依图(b) 所示，如在E(z) 之后加入控制器：

D(z)z0.50.67(z0.5)1，则闭环系统传统函数为：(z)，系统阶

1.5z0.5(z0.33)z1z1，其离散时间响应为：X1(z)z1z2z3，

z(z1)z1跃响应为X1(z)所以，x(k)0，k0；x(k)1，k1,2,3,。

利用Simulink仿真，响应曲线如题图A 6-8-2所示。其中实线为原全状态反馈系统的响应；虚线为加入控制器的响应曲线。

题图A 6-8-2 时域响应曲线

A 6-9 直流电机的伺服系统如题图A 6-9所示。已知直流电机电枢电阻

Ra9.8，放大器输出阻抗Ro0.1，电机反电势系数ke0.986V/(rad/s)，电

机力矩系数kt10175gcm/A，转子转动惯量JM60g?cm?s2，减速比i8，

92

负载重量p5kg，均质圆盘，最大直径为30cm，采样周期T0.025s。假设输出转角的值Lmax170对应电位计最大输出电压10V。试求：

（1）写出连续系统u(t)至L(t)之间的状态方程 （2）利用级数展开法求该连续系统离散状态方程。 （3）判断系统的可达性及可观测性。

（4）利用极点配置法进行全状态反馈设计，使得闭环系统性能满足：超调量p15%，上升时间tr0.4s，调节时间ts1s。确定期望极点可允许分布区域范围，并选择一个合适的期望极点。

（5）若(t)可测，设计一降维状态观测器，使其期望极点比系统响应快5倍，并求出系统等效数字滤波器。

（6）在w平面绘制系统开环对数频率特性曲线，并求其相位稳定裕度和幅值稳定裕度。

题图A 6-9 直流电机伺服系统构成

解： (1) 状态方程

电机加负载的传递函数 G(s)

kmRJ；Tm；

kekt(Tms1)s JJmJL/i2Jmmr2/2/i269gcms2；RRaRo9.80.19.9 TmRJ9.969s0.068s；km1/ke1.0142rad/s/v kekt0.98610175 由图可知，功率放大器k1 =2.5，被控对象放大系数

kk1km/i2.51.0142/80.3169

93

所以状态方程为：设lx1,lx2

010

A ；B= x2(1/Tm)x2(k/Tm)u014.74.66x1x2(2) 离散化 FeAT14.71(1e)/14.710.021

  14.7= 

0e00.696

T0.0013 GeAdB 00.0975考虑到指令灵敏度，可以在正向通道设置一定的放大系数，如取kc =6 ，则正向通道控制矩阵变为

0.0078 G 0.585(3) 可控性判别

0.00780.019896 所以 rank WR2；系统可控； WRG FG0.5850.401若以L 为输出，则有y1 0x(k)，所以

C10WO  所以 rank WO2；系统可观。 0.021CF1(4) 全状态反馈设计：首先确定期望极点位置：

因为要求%15%；可以求得0.5；因为要求tr0.4s可以求得

n6.25rad/s；

又因为要求ts1s，可以求得n4.6。所以，n9.2rad/s。依此可确定希望极点范围。在该区内任选一点作为希望极点，取renTe4.60.0250.89。由此可知

dn127.96。希望极点z1,2rdT0.890.1990.87j0.176；为计

算方便，取期望极点z1,20.8j0.15；所取期望特征方程为 c(z)z21.6z0.6630

94

极点配置设计：

(z10.0078k1)(0.0210.0078k2) det[zI(FGk)](z0.6960.576k2)0.576k1z2(1.6960.0078k10.576k2)z0.0067k10.576k20.6960

可得代数方程：

0.0078k10.576k21.69600.0067k10.576k20.6960 求解可得 k14.35 k20.108。

(5) 降维观测器设计

由于Lx1可测，故仅观测x2 ，有

x2(k1)(F22LF12)x2(k)(G2LG1)u(k)(F21LF11)x1(k)Lx1(k1) F220.696,F120.021,F111,F210,G10.0078,G20.576

观测器希望极点：由于闭环的R0eT0.814，T0.206，

0.206/0.0258.23，故观测器在s平面上的希望极点应位于 08.23541处。所以在z平面上应为z0eT0.359。观测器特征方

0程：

det[zI(F22LF12)]z(0.6960.021L)z0.359

解此方程得 L=16。观测器方程为

x2(k1)0.359x2(k)0.45u(k)16(x1(k)x1(k1)) z变换，得

zX2(z)0.359X2(z)0.45U(z)16(X1(z)zX1(z))

由于控制律为U(z)4.35X1(z)0.108X2(z)；将其代入，并简化整理得 X2(z)将其代入，得

U(z)4.35X1(z)0.108(16z17.9575)6.078(z0.54)X1(z)X1(z)

z0.311(z0.311)(16z17.9575)X1(z)

z0.311 95

系统结构图如题图A 6-9-1所示。

R+-6.078(z0.54)(z0.311)T6TZOH2.51.014(0.068s1)1/8LT

题图A 6-9-1 系统结构图 仿真曲线如题图A 6-9-2所示。

0.350.30.250.20.150.10.05000.20.40.60.811.21.41.61.82 题图A 6-9-2 仿真曲线

(6) 依连续系统或离散系统可求得正向通道传递函数为 G(z)

采用MATLAB命令将其由z平面变换至w平面:[c,d]=d2cm([0.0076 0.00699],[1 -1.625 0.625],0.25,'tustin'); 得w平面传递函数，其分子分母分别为

c =[-0.0002 -0.3441 28.7311] d =[1.0000 18.4615 0]

0.0002w20.3441w28.73 G(w)

w(w18.416)0.0076z0.00699 2z1.625z0.625 用同样程序可将数字滤波器z传递函数变到w平面，其分子分母分别为

c1 =[7.1350 170.4958] d1 =[1.0000 42.0442]

利用串联命令可求得开环传递函数，并利用求稳定裕度命令求稳定裕度。

96

[num2,den2]=series(c1,d1,c,d); margin(num2,den2)

其频率特性曲线如题图A 6-9-3所示。

题图A 6-9-3

A 6-10 已知某飞机纵向运动简化离散方程为

x(k1)Fx(k)Gu(k)

0.92500.09530.0344其中F。飞机状态分别选为x1（迎角），,G0.93630.91880.6240x2q（俯仰角速度）。试求

（1）用极点配置法求全状态反馈增益K1和K2。设期望极点分别为

10.7,20.7，采样周期T0.1s。

（2）若飞机迎角反馈信号不可用，拟用俯仰角速度q进行在线估计，试设计一降维状态观测器，并使观测器极点位于z10.4。

（3）试求整个系统调节器的传递函数。

解：1) 利用MATLAB软件进行计算。程序如下： Ad=[0.9250 0.0953 -0.9363 0.9188] bd=[-0.0344 -0.6240] pd=[0.7 0.7] ； T=0.1;

97

eigenad=eig(ad); kd=acker(ad,bd,pd) eig(ad-bd*kd)

可得：kd[0.25580.7253]；闭环极点为0.7,0.7。 2) 降维观测器设计 依降维观测器公式，可得

(k1)[F11LF21](k)[F12LF22]q(k)[G1LG2]u(k)Lq(k1) 代入参数，可得

(k1)[0.9250.9363L](k)[0.09530.9188L]q(k) [0.0340.624L]u(k)Lq(k1) 特征方程为 [z(0.9250.936L)]z0.4 从而可得观测器增益 L0.561 观测器方程为

(z0.4)(z)-(0.561z-0.610)q(z)-0.384u(z) u(z)0.256(z)0.7253q(z)

(z)q(z)0.56(z0.592)

(z0.498)3) 调节器传递函数

u(z)0.2560.56(z0.592)0.8685(z0.512)q(z)0.7253q(z)q(z)

(z0.498)(z0.498)A 6-11 对题A 6-10所示的飞机纵向运动简化离散方程，试用离散最优二次型方法设计全状态反馈控制律（利用MATLAB程序进行计算）。

0.92500.09530.0344解：x(k1)Fx(k)Gu(k)，F,G0.6240 0.93630.9188101TJ[x(k)Qx(k)uT(k)Ru(k)]，假设Q,R1 2k001则最优反馈控制u(k)Kx(k)，其中K[GTPGR]1GTPF，P为无限时间代数

98

里卡蒂方程PFTPFFTPG[GTPGR]1GTPFQ的解。 MATLAB程序：

F=[0.9250 0.0953;-0.9363 0.9188]; G=[-0.0344;0.6240]; Q=[1 0;0 1]; R=1;

[K,P,E] = dlqr(F,G,Q,R)；%K为反馈增益，P为里卡蒂方程的解，E为闭环系统特征根 结果：

K =[-0.8170 0.6501] P =[10.0840 0.1102 0.1102 2.1387] E =[ 0.7050 + 0.1156i

0.7050 - 0.1156i]

则反馈控制律为：u(k)Kx(k)0.8170x10.6501x2

A 6-12 对题A 5-9中的球杆控制系统，试利用状态空间方法进行设计，选择合适的状态反馈增益，使系统稳定。

解：假设输出状态为y，电机的输入状态为u，从系统结构图中可以看出，球杆系统的传递函数为：

G(s)Y(s)22 U(s)s 定义状态变量x1y,x2x1，则得到连续系统状态方程

x101x1(t)0x00x(t)2u(t)

22x(t)y011

x2(t)（1）求取采样系统的状态方程

99

离散系统状态方程为

1T FeAT01GeBdt0TAtT0T21t0012dt 2T则该系统的采样状态方程为：

x1(k1)1Tx1(k)T2x(k1)01x(k)u(k)

22T2x1(k)y(k)01 x(k)2（2）选取采样周期

根据经验可知，这类直流控制电机的惯性时间常数通常为0.04s~0.1s，根据采样频率的选取经验规则，则本控制系统可将采样周期选为T0.01s

则此时的采样状态方程为：

x1(k1)10.01x1(k)0.0001x(k1)01x(k)0.02u(k)

22x1(k)y(k)01 x(k)2（3）确定系统的闭环极点，计算反馈增益

1）采用极点配置法设计控制器，使得闭环姿态控制系统具有等效于s

平面上阻尼比为0.5和特征根实部为10rad/sec的连续系统特性。

由期望的闭环系统性能要求，可得等效的连续系统期望特征根为

s10j17.3205，根据映射关系zesT和T0.01s，得到离散系统期望特征根

ze0.1e0.173205j0.90484[cos0.173205jsin0.173205]

0.8913j0.1560

根据给定的期望极点，可得期望特征方程

z2a1za2z21.7826z0.818750

利用Ackermann公式计算控制系统的反馈增益矩阵。

100

由于

1TF01T2G

2T所以，可控矩阵WC为

3T2WCFGG2TW1CT2 2T1/T 3/T11/T221/T20.5/T12/T21.5/T42/T221a1a22Ta1T1T1T ac(F)F2a1Fa2IaaI1201a1a20101KK1K210WC1ac(F) 2/T2110242/T11a1a222T1/T1a1a22Ta1T 01aa3/T123a1a2 2T将a11.7826,a20.81875,T0.01s代入，最后可得

KK1K2180.759.96625

系统仿真结构图及响应曲线如题图A 6-12-1所示。

题图A 6-12-1 系统仿真结构图及响应曲线

2）这里采用极点配置法设计控制器，使得闭环姿态控制系统具有等效于s平面上阻尼比为0.5和特征根实部为1.8rad/sec的连续系统特性。

101

由期望的闭环系统性能要求，可得等效的连续系统期望特征根为

s1.8j3.12，根据映射关系zesT和T0.01s，得到离散系统期望特征根

ze0.018e0.0312j0.98216[cos0.0312jsin0.0312]

0.98168j0.03064

根据给定的期望极点，可得期望特征方程

z2a1za2z21.96336z0.964634430

利用Ackermann公式计算控制系统的反馈增益矩阵。 由于

1TF01T2G

2T所以，可控矩阵WC为

3T2WCFGG2TW1CT2 2T1/T 3/T11/T221/T20.5/T12/T21.5/T42/T221a1a22Ta1T1T1T ac(F)F2a1Fa2IaaI1201a1a20101KK1K210WC1ac(F) 2/T2110242/T11a1a222T1/T1a1a22Ta1T 01a1a23/T3a1a2 2T将a11.96336,a20.96463443,T0.01s代入，最后可得

KK1K26.3721.8

系统仿真结构图及响应曲线如题图A 6-12-2所示。

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题图A 6-12-2系统仿真结构图及响应曲线

B习 题

B 6-1 下述系统是可达的吗？

1011 x(k1)x(k)u(k) 00.510假定有一标量输入u(k)使

1u(k)u(k)

1那么从u(k)来看，系统是可达吗？ B 6-2 数控系统由下述方程描述

000x1(k)1x(k)0u(k) x(k1)00.502002x2(k)11) 确定系统的可控性；

2) 系统通过下述常系数状态反馈能稳定吗？ u(k)[k1k2 k3]x(k)

B 6-3 系统离散状态方程为：

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　0　 10 X(k1)X(k)U(k) 10.16　　1试设计全状态反馈控制律，使闭环控制系统的调节时间最短。若系统初条件为

X(0)1　 1，试计算系统时间响应 B 6-4 一个一般的二阶离散系统状态方程为

Tf11　f12g1 X(k1)X(k)U(k) 　f22g2f21　 Y(k)c1　c2X(k)

试确定全状态反馈控制律，使闭环控制系统的特征方程为： z2a1za20 用所得结果验证例6-8所得结果。

B 6-5 两个水箱组成的系统如题图B 5-9所示，如选择每个水箱水位高度为状态变量，则系统的状态方程为：

00.0197　　0.0263 X(t)X(t)U(t) 0.0178　-0.01290 Y(t)0　 1X(t) 若令采样周期T=12，

1) 试求离散状态方程；

2）试确定全状态反馈控制律，使闭环控制系统的特征方程为： z21.55z0.640

3) 试设计状态观测器，使观测器的闭环极点位于：

z1z20.62

4试分别仿真计算带有观测器和不带观测器系统在初始条件

X(0)1　 1时的响应曲线。

B 6-6 对例6-8所示单轴卫星姿态控制系统，设计降维状态观测器，并设x1(k)是可以实测的状态，令T=0.1s。并依该例所得反馈控制律求取调节器的数字滤波器的传递函数。

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TB 6-7 卫星的动力学方程可以表示如题图B 6-7所示。设采样周期T=0.05s。 1)求该系统的离散模型；

2) 利用极点配置法求全状态反馈。系统期望的阻尼比=0.7，自然频率

n10rad/s。

3) 求现今值观测器增益，其期望极点的阻尼比=0.7，自然频率

n20rad/s。

4) 确定数字滤波器的传递函数。

5) 用根轨迹或频率法设计超前滤波器，等效s平面的自然频率

n10rad/s，阻尼比0.7。 6) 比较上述两个滤波器。

题图B 6-7 卫星的动力学结构

B6-10 试设计图所示的直流电动机转速调节模糊控制系统。假设电动机为一个纯延时惯性环节，传递函数为

e0.25sG(s)

s1题图B 6-10中g1,g2,g3为量化因子，设g11,g20.5,g30.5。要求设计模糊控制器，使电机转速偏差不大于4πrad/s。

题图B6-10 电动机转速模糊控制系统

B6-11已知被控对象为Gs1e0.5s。假设系统给定为阶跃值r30，采样10s1周期为0.5s，系统的初始值r00。试分别设计二种类型控制器，并比较控制

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效果。

（1） 常规的PID控制器； （2） 常规的模糊控制器。

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