2020-2021学年海南省高一上学期期末考试数学试题(解析版)

一、单选题

1．已知集合A2,3,5,7，B1,3,5,7,9，则AA．1,2 C．1,3,5,7,9 【答案】B

【分析】根据交集的定义计算可得；

【详解】解：因为A2,3,5,7，B1,3,5,7,9，所以A故选：B 2．若

B（ ）

B．3,5,7 D．1,2,3,5,7,9

B3,5,7

sin0，则是（ ） tanB．第一或第三象限角 D．第三或第四象限角

A．第一或第二象限角 C．第二或第三象限角 【答案】C

【分析】根据三角函数在各个象限的符号进行判断即可得到答案． 【详解】解：由

sin0，得sin与tan异号， tan则角是第二或第三象限角， 故选：C．

2x,x03．已知函数f(x)，则f(f(1))（ ）

x,x011A．1 B． C．

22【答案】C

【分析】根据分段函数解析式代入计算可得；

D．1

2x,x0【详解】解：函数f(x)，

x,x0f11，

ff1f121故选：C．

1． 24．设alog2A．abc C．bca 【答案】D

1,b32,ctan，则（ ） 34B．cab D．cba

【分析】根据对数函数以及指数函数的性质，三角函数值判断数的大小即可． 【详解】alog2则cba. 故选：D. 5．已知0,A．1log210,0b32301,ctan1, 343，且sinB．

4cos，则（ ） 665C．

4 53 53 5D．

4 5【答案】B

【分析】由已知结合同角平方关系可求cos(【详解】解：因为(0,)，

3所以6)，然后结合诱导公式进行化简可求．

(,)， 6624因为sin()，

65所以cos则cos(321sin，

66553)cos()cos()． 6665故选：B．

6．已知函数f(x)x2axb的图象经过点1,3，则ab（ ） A．有最大值1 C．有最大值4 【答案】A

【分析】由题意可得ab2，再利用基本不等式即可求出ab的取值范围． 【详解】解：

函数f(x)x2axb的图象经过点(1,3)，

B．有最小值1 D．有最小值4

1ab3，ab2，

ab(ab2)21，当且仅当ab时等号成立， 故选：A．

7．已知函数f(x)sinx4(0)是奇函数，则（ ） A．

34 B．

2 C．

4 D．

6 【答案】A

【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程进行求解即可． 【详解】解：

f(x)sin(x4)(0)是奇函数，

4k，kZ，

得k4，kZ，

0，

当k1时，434， 故选：A．

8．向如图所示的瓶子中匀速注水，从空瓶到注满的过程中，水面高度h随时间t变化的大致图象是（

A． B．

C． D．

）

【答案】D

【分析】根据容器的形状可得出注水时水面高度h随时间t变化的快慢，由此可得出合适的选项. 【详解】匀速地向容器内注水，可知容器的底面积越大，水面高度上升越慢，

该容器下部分为圆台，在注水的过程中，水面面积越来越小，可知水面高度h随时间t变化增长得越快， 该容器的上部分为圆柱，在注水的过程中，水面面积不变，可知水面高度h随时间t变化匀速增长. 故符合条件的图象为选项D. 故选：D. 二、多选题

9．下列函数中，在区间0,1上单调递减的是（ ）

1A．y 2C．yxxB．yx21 D．yln|x|

1 x【答案】AC

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项：

x对于A，y()，是指数函数，在区间(0,1)上单调递减，符合题意，

12对于B，yx21，为二次函数，在区间(0,1)上单调递增，不符合题意， 对于C，yx1，为对勾函数，在区间(0,1)上单调递减，符合题意， x对于D，yln|x|，在区间(0,1)上，ylnx，为增函数，不符合题意， 故选：AC．

10．下列叙述正确的是（ ）

A．命题“xR,x2x10”的否定是“xR,x2x10” B．命题“所有的矩形都是平行四边形”的否定是假命题 C．“x2且y2”是“x2y24”的充分不必要条件

D．“关于x的方程x2(m3)xm0有实根”的充要条件是“1m9” 【答案】BC

【分析】利用含有量词的命题的否定方法判断选项A，通过判断原命题的真假判断选项B，通过充分条件与必要条件的定义结合不等式的性质判断选项C，利用二次方程根的个数的判断方法结合充分条件与必要

条件的定义判断选项D．

【详解】解：根据存在量词命题的否定可得，命题“xR，x2x10”的否定是“xR，

x2x10”，故选项A错误；

原命题“所有的矩形都是平行四边形”是真命题，故其否定为假命题，故选项B正确； 当x2且y2时，则有x2y28，所以x2y24，故充分性成立， 当x0，y2时满足x2y24，不满足x2且y2，故必要性不成立， 所以“x2且y2”是“x2y24”的充分不必要条件，故选项C正确； 因为关于x的方程x2(m3)xm0有实根，

所以(m3)24m0，解得m1或m9，故选项D错误． 故选：BC．

11．函数ycos(x)(x[A．0 【答案】ACD

【分析】利用诱导公式化简，作出化简后的函数在指定区间上的图象，观察动直线y=t(t>0)与图象关系得解.

【详解】原函数化为：ycosx(x[B．1

2,2])的图象与直线yt(t为常数且t0)的交点个数可能为( )

C．2

D．3

2,2])，其图象如图：

观察图象得：01时，没有交点，选项ACD满足. 故选：ACD

12．下列选项中，能推出A．ab0 C．1a0,b1 【答案】BD 【分析】由

ba的为（ ） abB．ba0 D．a1,0b1

ba得出ababab0，然后逐项验证可得出合适的选项. ab【详解】

baaba2b2abab，则0，等价于ababab0. abbaabab对于A选项，ab0，则ab0，ab0，ab0，则ababab0，A选项不满足条件；

对于B选项，ba0，则ab0，ab0，ab0，则ababab0，B选项满足条件；对于C选项，1a0，b1，则ab0，ab0，ab0，则ababab0，C选项不满足条件；

对于D选项，a1，0b1，则ab0，ab0，ab0，则ababab0，D选项满足条件. 故选：BD. 三、填空题 13．函数fx【答案】,2

【分析】解不等式2x0即可得出函数fx的定义域. 【详解】对于函数fx1的定义域为__________. 2x1，有2x0，解得x2. 2x因此，函数fx故答案为：,2.

1的定义域为,2. 2x14．已知函数fx的周期为4，且当x[2,2]时，f(x)2x2，则f9_______. 【答案】1

【分析】利用函数的周期为4，从而将f9转化为求解f1，再利用已知的函数解析式，即可得到答案．【详解】解：因为函数f(x)的周期为4， 所以f9f421f1，

又因为当x[2，2]时，f(x)2x2，

2所以f9f1211．

故答案为：1．

2115．已知346，则_________．

xyxy【答案】2

【分析】由3x4y6可得log36x，log46y代入目标，利用换底公式即可得到结果. 【详解】∵3x4y6 ∴log36x，log46y， ∴

21212log63log64log6362 xylog36log46故答案为2

【点睛】本题考查对数的运算性质，考查了指数式和对数式的互化，考查了计算能力，属于基础题. 四、双空题 16．已知0,1sinsincos，且满足，则_________，sin2_________. 422【答案】32

44【分析】第一个空利用辅助角公式直接求解即可，第二个空对等式sincos角三角函数关系及二倍角公式求解即可；

1两边平方，利用同21【详解】因为0,，且满足sincos，

22利用辅助角公式得到：sincos12sin()，

42所以sin(4)2， 41122sincossin2sincoscos对两边平方得到：，

24又因为sin2cos21，所以12sincos31即sin22sincos， 44故答案为：23，. 44【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根

据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．

(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0,范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为,，选正弦较好．

22，选正、余弦皆可；若角的2五、解答题

217．已知非空集合A{x|a1x2a3},Bx|x2x80.

（1）当a2时，求A（2）若AB；

B，求实数a的取值范围.

5【答案】（1）2,7；（2）4,25,

【分析】（1）可求出集合B{x|2x4}，a2时求出集合A，然后进行并集的运算即可； （2）根据题意得到不等式组，然后解出a的范围即可．

2【详解】解：（1）因为A{x|a1x2a3},Bx|x2x80

所以B{x|2x4}，当a2时，A{x|1x7}，

AB2,7；

（2）

AB，A，

a12a3a12a355或，解得4a或a5，所以a4,5,

22a142a32a的取值范围为：4,218．化简或求值：

（1）27(3)20201355,．

230332020；

sin()sin12（2）若tan，求的值.

32cos(4)cos2【答案】（1）1；（2）

1. 3【分析】（1）直接利用指数幂的运算律求解；

（2）直接利用诱导公式和同角三角函数基本关系式求解.

032【详解】（1）27(3)202033132020，

1313101031；

（2）因为tan1010，

1， 2sin()sin2所以，

3cos(4)cos2sincos，

cossintan1， 1tan112，

1121 32219．已知函数f(x)sin2x3cosxsinx.

（1）求f； 6（2）求fx的最小正周期和单调递增区间.

k,k，kZ． 【答案】（1）0；（2）最小正周期T，单调递增区间为1212【分析】（1）先结合二倍角公式，辅助角公式先进行化简，然后把x（2）结合正弦函数的周期公式可求T，然后利用整体思想等式可求x的范围，即可求解．

【详解】解：（1）f(x)sin2x3(cos2xsin2x)，

56代入即可求解，

22k2x322k，kZ，解不

sin2x3cos2x，

2sin(2x)，

3所以fx2sin2x 3所以f2sin00，

6（2）函数的最小正周期T， 令22k2x12kx322k，kZ，

解得5k，kZ 12故f(x)的单调递增区间5k,k，kZ．

121220．已知二次函数f(x)x2(3t1)x3t1. （1）若fx是偶函数求t的值；

（2）若函数fx在区间(2,1)和0,1上各有一个零点，求t的取值范围. 【答案】（1）t111；（2）, 363【分析】（1）根据偶函数的定义，即可求出t的值；

（2）根据函数的零点存在定理可得关于t的不等式组，解方程组即可得到t的取值范围． 【详解】解：（1）

f(x)是偶函数，f(x)f(x)，

x2(3t1)x3t1x2(3t1)x3t1，

即2(3t1)x0， 所以3t10解得t1； 3（2）函数f(x)在区间(2,1)和(0,1)上各有一个零点，

f(2)042(3t1)3t10f(1)01(3t1)3t1011所以，即，解得t，

63f(0)03t10f(1)013t13t10故t的范围为,．

【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；

1163④端点函数值符号四个方面分析．

21．为了强化体育教育，促进学生身心健康全面发展，某学校计划修建一个面积为600m2的矩形运动场，要求东西方向比南北方向宽.如图所示矩形ABCD，满足ADAB，运动场分为乒乓球场(ABEF)和排球场(CDFE)两部分，现要在运动场四周以及乒乓球场与排球场之间修建围墙，已知修建围墙的价格为500元/m，设AD的长为xm，围墙的总造价为y元.

（1）求y关于x的函数表达式.

（2）当x为何值时，y最小？最小值为多少？ 【答案】（1）y1000(x900)(x106)（2）当x30时， y的最小值为60000元． x【分析】（1）直接利用矩形的面积公式，边长与造价的关系式求出结果； （2）利用基本不等式求出结果．

【详解】解：（1）设ADx米，ABt，由题意知xt600， 且xt，即t600x，解得x106， x600900)1000(x)， xx900)(x106)． x则y500(2x3t)500(2x3所以函数的解析式为y1000(x（2）由于y1000(x900900)10002x60000， xx当且仅当x30时，y值最小，y的最小值为60000元． 22．已知函数f(x)log2x1. x1（1）判断fx的奇偶性；

（2）证明：fx在区间(1,)上单调递增；

（3）若当x[3,1)时，f(x)x22xm恒成立，求m的取值范围. 【答案】（1）奇函数（2）见解析（3）,2

【分析】（1）求出函数的定义域，再求出f(x)与f(x)的关系即可判断奇偶性； （2）利用函数单调性的定义，直接证明即可；

（3）根据条件可得mf(x)(x22x)在[3，1)上恒成立，令g(x)f(x)(x22x)，求出g(x)的最小值，即可得到m的取值范围． 【详解】解：（1）函数f(x)log2x1x10，解得x1或x1， ，则

x1x1即函数f(x)的定义域为(，1)(1，)， 又f(x)log2x1x1x1log2log2f(x)， x1x1x1所以f(x)为奇函数．

（2）证明：任取x1，x2(1,)，且x1x2，则x1x20． x11x212(x1x2)0， 因为

x11x21(x11)(x21)所以

x11x21x11x1log22，所以log2， x11x21x11x21故f(x1)f(x2)，

所以函数f(x)在区间(1,)上单调递增．

（3）当x[3，1)时，f(x)x22xm恒成立， 即mf(x)(x22x)在[3，1)上恒成立， 令g(x)f(x)(x22x)，

由f(x)为奇函数，且在(1,)上单调递增， 可得f(x)在[3，1)上单调递增，

因为函数yx22x在[3，1)上单调递减， 所以g(x)f(x)(x22x)在[3，1)上单调递增， 所以g(x)ming(3)2，所以m2， 即m的取值范围为(，2]．