2017-2018学年浙江省杭州市江干区八年级（下）期末数学试卷
一.选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）A．3
的化简结果为（ ）
B．﹣3
C．±3
D．9
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形
C．矩形 D．正五边形
3．（3分）下列命题为真命题是（ ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线垂直且相等的四边形是正方形 C．对角线垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等平分的四边形是正方形
4．（3分）某班20位男同学所穿鞋子的尺码如表所示，则鞋子尺码的众数和中位数分别是（ ） 尺码（码） 人数 A．39，39
38 2
39 5 B．38，39
40 10
41 2
42 1
D．40，39
C．40，40
5．（3分）我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）
2
+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（ ）
B．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
A．x1＝1，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝3
6．（3分）如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，已知AB＝10，AC＝18，则DE的长为（ ）
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A．4
B．5
C．6
D．7
7．（3分）如图，在直角坐标系中，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y＝（x＞0）的图象交于点D，连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于（ ）
A．2
B．2
C．4
D．4
8．（3分）如图，矩形ABCD，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA．若∠ACB＝24°，则∠ECD的度数是（ ）
A．21°
B．22°
C．23°
D．24°
9．（3分）用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，应当假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60° C．有一个内角大于60°
B．每一个内角小于60° D．每一个内角大于60°
10．（3分）如图，已知在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF是平行四边形的是（ ）
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A．AF＝FE
C．AF⊥CF，CE⊥AE
B．∠BAE＝∠DCF D．BE＝DF
二.填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）二次根式
中字母a的取值范围是 ．
12．（4分）对甲、乙、丙三名射击手进行20次测试，平均成绩都是8.5环，方差分别是0.4，3.2，1.6，在这三名射击手中成绩比较稳定的是 ．
13．（4分）已知m是方程x2﹣3x﹣7＝0的一个根，2m2﹣6m+1＝ ．
14．（4分）已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是 ． 15．（4分）已知反比例函数y＝，若﹣3≤y≤6，且y≠0，则x的取值范围是 ． 16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连结AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是 ．
三.解答题（本题有7小题共66分3 17．（6分）（1）计算
（结果保留号）；
（2）分析（1）的结果在哪两个整数之间？
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣4，1），C（﹣2，3）．
（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）作出点C关于x轴的对称点C'，若把点C'向右平移a个单位长度后落后在△A1B1C1
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的内部（不包括顶点和边界），求a的取值范围．
19．（8分）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，下列两幅图中有一幅是小明用如图所示的七巧板拼成的，另一幅则不是请选出不是小明拼成的那幅图，并说明选择的理由．
20．（10分）已知关于x的方程x2﹣5x+3a+3＝0 （1）若a＝1，请分别用以下方法解这个方程： ①配方法； ②公式法；
（2）若方程有两个实数根，求a的取值范围．
21．（10分）如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F，作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O． （1）判断四边形BFDG的形状，并说明理由； （2）若AB＝3，AD＝4，求FG的长．
22．（12分）在面积都相等的所有三角形中，当其中一个三角形的一边长x为1时，这条边上的高y为6．
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（1）①求y关于x的函数表达式； ②当x≥3时，求y的取值范围；
（2）小李说其中有一个三角形的一边与这边上的高之和为4，小赵说有一个三角形的一边与这边上的高之和为6．你认为小李和小赵的说法对吗？为什么？
23．（12分）如图，菱形纸片ABCD的边长为2，∠BAC＝60°，翻折∠B，∠D，使点B、D两点重合在对角线BD上一点P，EF，GH分别是折痕．设AE＝x（0＜x＜2）． （1）证明：AG＝BE；
（2）当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值是否会发生改变，请说明理由； （3）当0＜x＜2时，六边形AEFCHG的面积可能等于如果不能，请说明理由．
吗？如果能，求此时x的值；
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2017-2018学年浙江省杭州市江干区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）A．3
【分析】直接根据
的化简结果为（ ）
B．﹣3
＝|a|进行计算即可．
C．±3
D．9
【解答】解：原式＝|﹣3| ＝3． 故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的计算与化简：
＝|a|．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形
C．矩形 D．正五边形
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误． 故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（3分）下列命题为真命题是（ ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
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C．对角线垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等平分的四边形是正方形
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 【解答】解：对角线相等的平行四边形是矩形，A是假命题； 对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，B是假命题； 对角线垂直平分的四边形是菱形，C是真命题；
对角线相等平分且垂直的四边形是正方形，D是假命题； 故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4．（3分）某班20位男同学所穿鞋子的尺码如表所示，则鞋子尺码的众数和中位数分别是（ ） 尺码（码） 人数 A．39，39
38 2
39 5 B．38，39
40 10
41 2
42 1
D．40，39
C．40，40
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数． 【解答】解：数据40出现了10次，次数最多，所以众数为40，
一共有20个数据，位置处于中间的数是：40，40，所以中位数是（40+40）÷2＝40． 故选：C．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
5．（3分）我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）
2
+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（ ）
B．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
A．x1＝1，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝3
【分析】先把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0看作关于2x+3的一元二次方程，利用题
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中的解得到2x+3＝1或2x+3＝﹣3，然后解两个一元一次方程即可．
【解答】解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0看作关于2x+3的一元二次方程， 所以2x+3＝1或2x+3＝﹣3， 所以x1＝﹣1，x2＝﹣3． 故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
6．（3分）如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，已知AB＝10，AC＝18，则DE的长为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【分析】延长BE交AC于F，证明△AEF≌△AEB，根据全等三角形的性质得到AF＝AB＝10，BE＝EF，根据三角形中位线定理计算即可． 【解答】解：延长BE交AC于F， ∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AEF＝90°， 在△AEF和△AEB中，
，
∴△AEF≌△AEB（ASA） ∴AF＝AB＝10，BE＝EF， ∴CF＝AC﹣AF＝8， ∵BE＝EF，BD＝DC， ∴DE＝CF＝4， 故选：A．
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【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
7．（3分）如图，在直角坐标系中，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y＝（x＞0）的图象交于点D，连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于（ ）
A．2
B．2
C．4
D．4
【分析】设A（a，），可求出D（2a，），由于对角线垂直，计算对角线乘积的一半即可．
【解答】解：设A（a，），可求出D（2a，）， ∵AB⊥CD，
∴S四边形ACBD＝AB•CD＝×2a×＝4， 故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是设出点A和点B的坐标．
8．（3分）如图，矩形ABCD，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA．若∠ACB＝24°，则∠ECD的度数是（ ）
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A．21°
B．22°
C．23°
D．24°
【分析】根据矩形性质求出∠BCD＝90°，AB∥CD，根据平行线的性质和外角的性质求出∠ACD＝3∠DCE，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠BCD＝90°， ∵∠ACB＝24°，
∴∠ACD＝90°﹣24°＝66°，
∵∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠E，∠AFC＝∠FAE+∠E ∴∠AFC＝2∠E ∵AB∥CD ∴∠E＝∠DCE
∴∠ACD＝3∠DCE＝66°， ∴∠DCE＝22° 故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，三角形外角性质等知识点，能求出∠FEA的度数是解此题的关键．
9．（3分）用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，应当假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60° C．有一个内角大于60°
B．每一个内角小于60° D．每一个内角大于60°
【分析】反证法的第一步是假设命题的结论不成立，据此可以得到答案．
【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都小于60°． 故选：B．
【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 反证法的步骤是：
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（1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 10．（3分）如图，已知在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF是平行四边形的是（ ）
A．AF＝FE
C．AF⊥CF，CE⊥AE
B．∠BAE＝∠DCF D．BE＝DF
【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE＝OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解． 【解答】解：如图，连接AC与BD相交于O，
在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可； A、AF＝EF无法证明得到OE＝OF，故本选项正确．
B、∠BAE＝∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF＝BE，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项错误；
C、若AF⊥CF，CE⊥AE，由直角三角形的性质可得OE＝AC＝OF，故本选项错误； D、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项错误； 故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题
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的关键．
二.填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）二次根式
中字母a的取值范围是 a≥2 ．
【分析】由二次根式中的被开方数是非负数，可得出a﹣2≥0，解之即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：a﹣2≥0， 解得：a≥2． 故答案为：a≥2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，牢记“二次根式中的被开方数是非负数”是解题的关键．
12．（4分）对甲、乙、丙三名射击手进行20次测试，平均成绩都是8.5环，方差分别是0.4，3.2，1.6，在这三名射击手中成绩比较稳定的是 甲 ．
【分析】根据方差的意义即可得出结论．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【解答】解：根据方差的定义，方差越小数据越稳定，因为S甲2＝0.4，S乙2＝3.2，S丙2＝1.6，方差最小的为甲，所以本题中成绩比较稳定的是甲． 故填答案为甲．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 13．（4分）已知m是方程x2﹣3x﹣7＝0的一个根，2m2﹣6m+1＝ 15 ．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即可对这个数代替未知数所得式子变形，即可求解． 【解答】解：把x＝m代入方程得：m2﹣3m﹣7＝0 即m2﹣3m＝7，2（m2﹣3m）＝14 ∴2m2﹣6m+1＝2（m2﹣3m）+1＝15， 故答案是：15．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
14．（4分）已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是 5 ． 【分析】先求出这个多边形的每一个外角的度数，再用360°除以一个外角的度数即可得到边数．
第12页（共21页）
【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于108°， ∴多边形的每一个外角都等于180°﹣108°＝72°， ∴边数n＝360°÷72°＝5． 故答案为：5．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键． 15．（4分）已知反比例函数y＝，若﹣3≤y≤6，且y≠0，则x的取值范围是 x≤﹣2或x≥1 ．
【分析】利用反比例函数增减性分析得出答案． 【解答】解：∵﹣3≤y≤6且y≠0， ∴y＝﹣3时，x＝﹣2，
∴在第三象限内，y随x的增大而减小， ∴x≤﹣2；
当y＝6时，x＝1，在第一象限内，y随x的增大而减小， 则x≥1
故x的取值范围是：x≤﹣2或x≥1． 故答案为：x≤﹣2或x≥1．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数增减性是解题关键．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连结AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是
或
．
【分析】联立y＝kx、y＝并解得：点A（
，2
），同理点B（
，3
），点C
第13页（共21页）
（，），分AB＝BC、AC＝BC两种情况分别求解即可．
，2
），同理点B（
，3
），
【解答】解：联立y＝kx、y＝并解得：点A（点C（
，
），∴AB≠AC，
）2+（3
﹣2
①当AB＝BC时，（（舍去负值）；
）2＝（3﹣）2，解得：k＝±
②当AC＝BC时，同理可得：（得：k＝故答案为：或
（舍去负值）；
．
﹣）2+（3﹣2）2＝（3﹣）2，解
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． 三.解答题（本题有7小题共66分3 17．（6分）（1）计算
（结果保留号）；
（2）分析（1）的结果在哪两个整数之间？
【分析】（1）先去括号，再将二次根式化简为最简二次根式，并合并； （2）确认3
＝27，再确认25＜27＜36，可得结论．
，
，
【解答】解：（1）＝＝＝3
﹣﹣；
＝＜6，
，且25＜27＜36，
+3
+，
（2）∵3∴5＜3
即（1）的结果在5和6之间．
【点评】本题考查了二次根式的加减混合运算和无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣4，1），C（﹣2，3）．
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（1）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）作出点C关于x轴的对称点C'，若把点C'向右平移a个单位长度后落后在△A1B1C1的内部（不包括顶点和边界），求a的取值范围．
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出C′坐标，则把点C'向右平移4个单位到C1位置，把点C'向右平移6个单位落在A1B1上，从而得到a的范围． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）C′的坐标为（﹣2，﹣3），把点C'向右平移a个单位长度后落后在△A1B1C1的内部（不包括顶点和边界），则a的取值范围为4＜a＜6．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
19．（8分）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，下列两幅图中有一幅是小明用如图所示的七巧板拼成的，另一幅则不是请选出不是小明拼成的那幅图，并说明选择的理由．
第15页（共21页）
【分析】七巧板有5个等腰直角三角形；有大、小两对全等三角形；一个正方形；一个平行四边形，根据这些图形的性质可解答．
【解答】解：图1是由七巧板拼成的，图2不是，图2中上面的等腰直角三角形和①②不同．
【点评】本题运用了等腰直角三角形、全等三角形、正方形、平行四边形的性质，关键是把握好每一块中边的特征．
20．（10分）已知关于x的方程x2﹣5x+3a+3＝0 （1）若a＝1，请分别用以下方法解这个方程： ①配方法； ②公式法；
（2）若方程有两个实数根，求a的取值范围． 【分析】（1）①利用配方法解方程；
②先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程；
（2）利用判别式的意义得到△＝（﹣5）2﹣4×（3a+3）≥0，然后解关于a的不等式即可．
【解答】解：（1）当a＝1时，原方程变形为：x2﹣5x+6＝0， ①x2﹣5x＝﹣6，
x2﹣5x+（）2＝﹣6+（）2， （x﹣）2＝， x﹣＝±， 所以x1＝3，x2＝2； ②△＝（﹣5）2﹣4×6＝1， x＝
，
所以x1＝3，x2＝2；
第16页（共21页）
（2）根据题意得△＝（﹣5）2﹣4×（3a+3）≥0， 解得a≤
．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了解一元二次方程．
21．（10分）如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F，作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O． （1）判断四边形BFDG的形状，并说明理由； （2）若AB＝3，AD＝4，求FG的长．
【分析】（1）根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断； （2）根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解 【解答】解：（1）四边形BFDG是菱形．理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴FD∥BG， 又∵DG∥BE，
∴四边形BFDG是平行四边形， ∵∠EBD＝∠CBD，∠CBD＝∠FDB ∴∠FBD＝∠FDB， ∴DF＝BF，
∴四边形BFDG是菱形；
（2）∵AB＝3，AD＝4， ∴BD＝5．
第17页（共21页）
∴OB＝BD＝． 假设DF＝BF＝x， ∴AF＝AD﹣DF＝4﹣x．
∴在直角△ABF中，AB2+AF2＝BF2，即32+（4﹣x）2＝x2， 解得x＝即BF＝∴FO＝∴FG＝2FO＝
， ，
＝．
，
【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理解答，考查了翻折不变性，综合性较强，是一道好题．
22．（12分）在面积都相等的所有三角形中，当其中一个三角形的一边长x为1时，这条边上的高y为6．
（1）①求y关于x的函数表达式； ②当x≥3时，求y的取值范围；
（2）小李说其中有一个三角形的一边与这边上的高之和为4，小赵说有一个三角形的一边与这边上的高之和为6．你认为小李和小赵的说法对吗？为什么？
【分析】（1）①直接利用三角形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用x≥3得出y的取值范围；
（2）直接利用x+y的值结合根的判别式得出答案． 【解答】解：（1）①S△＝×1×6＝3， ∵x为底，y为高， ∴xy＝3，
第18页（共21页）
∴y＝；
②当x＝3时，y＝2，
∴当x≥3时，y的取值范围为：0＜y≤2； （2）小赵的说法正确，
理由：小李：∵小李说其中有一个三角形的一边与这边上的高之和为4， ∴x+＝4，
整理得，x2﹣4x+6＝0， ∵△＝42﹣4×6＜0，
∴一个三角形的一边与这边上的高之和不可能是4； 小赵：∵小赵说有一个三角形的一边与这边上的高之和为6． ∴x+＝6，
整理得，x2﹣6x+6＝0， ∵△＝62﹣4×6＝12＞0， ∴x＝
＝3
，
∴小赵的说法正确．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用以及一元二次方程的解法，正确得出y与x之间的关系是解题关键．
23．（12分）如图，菱形纸片ABCD的边长为2，∠BAC＝60°，翻折∠B，∠D，使点B、D两点重合在对角线BD上一点P，EF，GH分别是折痕．设AE＝x（0＜x＜2）． （1）证明：AG＝BE；
（2）当0＜x＜2时，六边形AEFCHG周长的值是否会发生改变，请说明理由； （3）当0＜x＜2时，六边形AEFCHG的面积可能等于如果不能，请说明理由．
吗？如果能，求此时x的值；
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【分析】（1）由折叠的性质得到BE＝EP，BF＝PF，得到BE＝BF，根据菱形的性质得到AB∥CD∥FG，BC∥EH∥AD，于是得到结论；
（2）由菱形的性质得到BE＝BF，AE＝FC，推出△ABC是等边三角形，求得∠B＝∠D＝60°，得到∠B＝∠D＝60°，于是得到结论；
（3）记AC与BD交于点O，得到∠ABD＝30°，解直角三角形得到AO＝1，BO＝求得S四边形ABCD＝2﹣
＝
，当六边形AEFCHG的面积等于
时，得到S△BEF+S△DGH＝2
，
，设GH与BD交于点M，求得GM＝x，根据三角形的面积列方程即可
得到结论．
【解答】解：（1）∵翻折∠B，∠D，使点BD两点重合在对角线BD上一点P， ∴BE＝EP，BF＝PF， ∵BD平分∠ABC， ∴BE＝BF，
∴四边形BFPE是菱形， 同理，四边形DGPH是菱形， ∴AB∥CD∥FG，BC∥EH∥AD， ∴四边形AEPG为平行四边形， ∴AG＝EP＝BE；
（2）不变，∵AG＝BE，四边形BEPF是菱形， ∴BE＝BF，AE＝FC， ∵∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠D＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠D＝60°， ∴EF＝BE，GH＝DG，
∴六边形AEFCHG周长＝AE+EF+FC+CH+GH+AG＝3AB＝6，
故六边形AEFCHG周长的值不变；（3）能，理由：记AC与BD交于点O， ∵AB＝2，∠BAC＝60°， ∴∠ABD＝30°，
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∴AO＝1，BO＝∴S△ABC＝
2×
， ＝，
时， ，
，
∴S四边形ABCD＝2
当六边形AEFCHG的面积等于S△BEF+S△DGH＝2∵BE＝AG， ∴AE＝DG， ∵DG＝x， ∴BE＝2﹣x，
设GH与BD交于点M， ∴GM＝x， ∴S△DGH＝即
x2+
x2，同理S△EFB＝x2﹣
x+
＝﹣
＝
（2﹣x）2＝，
x+
x2，
解得：x1＝1﹣即当x＝1﹣
，x2＝1+或x＝1+
，
时，六边形AEFCHG的面积可能等于
．
【点评】此题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积公式，菱形的面积公式，解本题的关键是用x表示出相关的线段，是一道基础题目．
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