2—1质量为m 的子弹以速率V 。水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与 速度成正比，比例系数为 k ，忽略子弹的重力,求：（1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的 变化关系；(2）子弹射入沙土的最大深度。
因此 mv . S k
2—2质量为m 的小球，在水中受到的浮力为 F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘
滞阻力为f= kv(k 为常数）.若从沉降开始计时,试证明小球在水中竖直沉降的速率
V 与时间 的关系为
［解］设任意时刻子弹的速度为 V ，子弹进入沙土的最大深度为 的阻力 f= - kv
（1) 由牛顿第二定律 f ma dv m —— dt 即 dv kv m - dt 所以 dv k dt V
m 对等式两边积分 V
dv k t —dt
V) V m Q 得 V k In - t V Q m
s ，由题意知，子弹所受 k t V Q e m 由牛顿第二定律 dv ma m dt dv kv mv — dx dv dx m —
dx dt dv mv — dx 所以
对上式两边积分 得到
k dx m k S dx m Q k S m dv V Q Q dv V) mg F k kt
［证明］任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为 y 轴的正 方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得
mg mg F f ma m dv dt
率的平方成正比，即 F kv 2 .求跳伞员的运动速率
V 随时间t 变化的规律和极限速率 V T 。
［解］设运动员在任一时刻的速率为 v,极限速率为V T ,当运动员受的空气阻力等于运
动员及装备的重力时,速率达到极限。 整理得 mg F kv ma m- dv
dt mg F kv m dv dΓ
对上式两边积分 dv t dt O mg F kv 得
mg F In mg F kv kt m F kt 即 mg V k 1 e m
2-3跳伞运动员与装备的质量共为
m ,从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速 此时 即
有牛顿第二定律 整理得 I 2
dv mg kv m — dt dv dt mg kv 2 m
对上式两边积分 V dv t dt 1 2t 整理得 2t m kg mg kv 2 0 m 2 .. mgk mg .kv .kv 2t 2t e m kg 1 -V T 1 V 0 mg kv ； ln mg e mkg
1 e mkg 6
2-4 一人造地球卫星质量 m=1327kg ，在离地面h 1。85 10 m的高空中环绕地球作匀速
率圆周运动.求：（1）卫星所受向心力f的大小；⑵卫星的速率V；⑶卫星的转动周期 T O [解］卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力
2—5 试求赤道上方的地球同步卫星距地面的高度。 [解］设同步卫距地面高度为h，距地心为R+h,则 mr 2 E0 727 10 5 rads
r 4。22 107m 7 6 4
R 4.22 1076。37 1063。58 104m
2—6 两个质量都是 m的星球，保持在同一圆形轨道上运行，轨道圆心位置上及轨道附
近都没有其它星球.已知轨道半径为R，求:(1）每个星球所受到的合力；（2）每个星球的运行周期。
[解］因为两个星球在同一轨道上作圆周运动，因此,他们受到的合力必须指向圆形轨
道的圆心，又因星球不受其他星球的作用, 因此，只有这两个星球间的万有引力提供向心力。
由上面两式得mg (2)由牛顿第二定律 RI 1327 9.8
6378 103 R e 6378 103 6 2 1.85 106 7.82 103N 2
f m V— R e h
7.82 1036378 103 1.85 106 1327 6.96 103 ms (3)卫星的运转周期 2 R e h V
2 6378 10 3 1.85 106 3 6.96 103
7.43 103s 2h3mi n50s GMm mg 所以GM gR2 代入第一式中 gR2 2 解得 M地
所以两个星球必须分布在直径的两个端点上,且其运行的速度周期均相同
(1）每个星球所受的合力 (2)设运动周期为T 2 V m -
R
联立上述二式得 T 4町旦 Gm
所以，每个星球的运行周期 T I T 2 T 4 R Gm 2-7 2—8
2-9 一根线密度为 的均匀柔软链条，上端被人用手提住，下端恰好碰到桌面.现将
手突然松开，链条下落，设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下落距离
S
时对桌面的瞬时作用力.
［解］链条对桌面的作用力由两部分构成:一是已下落的 S 段对桌面的压力 N i ，另一部
分是正在下落的dx 段对桌面的冲力 N ?,桌面对dx 段的作用力为N ？。显然
N i Sg
t 时刻，下落桌面部分长 S O 设再经过dt ,有dx 落在桌面上。取下落的 dx 段链条为研 究对
象，它在dt 时间之内速度由V 。 2gs 变为零,根据动量定理 N 2dt dp （1） dp 0 VdX ⑵ dx Vdt ⑶
由⑵、⑶式得 N ? 2sg N 2 N 2 2sg
故链条对桌面的作用力为 NN i N 2 3 Sg F i F 2 G mm 2R 2 2 G4R 2 F i 4
故枪托对肩部的平均压力为 N N 11.6N
2-12 水力采煤是利用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层。 设水柱直径为D=30mm,水
速v=56 m s ,水柱垂直射到煤层表面上，冲击煤层后速度变为零。求水柱对煤层的平均冲 力。
［解]取长为dx 的一段水柱为研究对象,设它受到的煤层的作用力为 N ,根据动量定
理 NdtdP 2 o
kl dp OdX D 2 V D 2 2 N V
dt dt 4
故水柱对煤层的平均冲力 N N 2。22 103 N
2-10 一半径为R 的半球形碗，内表面光滑，碗口向上固定于桌面上。一质量为 m 的
小球正以角速度 沿碗的内面在水平面上作匀速率圆周运动。求小球的运动水平面距离碗
底的高度。
［分析］小钢球沿碗内壁作圆周运动，其向心力是由内壁对它的支承力的分力提供的， 而支承力的方向始终与该点内壁相垂直， 显然，不同的角速度对应不同大小和方向的支承［解］设小球的运动水平面距碗底的高度为
N Sin mg N COS m 2r R h
Sin h ,小球受力如图所示，则 由以上四式得 COS g 2R
2-11自动步枪连发时每分钟射出 120发子弹，每颗子弹的质量为 m = 7.90g ,出 口速
率为735 m s ,求射击时（以分钟计）抢托对肩的平均压力。 ［解］取t 时间之内射出的子弹为研究对象， 作用在子弹上的平均力为 理得
N ,根据动量定 所以 120 丄 C
m ——tv 0 N -P —60 2mv 2 7.90 t t
10 3 735 11.6N 所以 3 2 30 10 3 1 103 562 2.22 103N (1)
2-13 F = 30+4t 的力作用在质量为 IOkg 的物体上，求：（1)在开始两秒钟内,此力的 冲量是多少？(2）要使冲量等于 300 N S ，此力作用的时间为多少 ？（3）若物体的初速度为10
m s ,方向与F 相同，在t=6.86s 时,此物体的速度是多少
［解］根据冲量定义 t t 2
I Fdt 30 4t dt 30t 2t 2 (1) 开始两秒钟此力的冲量 I 2 30t 2t 2 30 2 2 22 68N S
⑵当I 300N S 时 30t 2t 2 300
[解］如图所示，质点越过 A 角时动量的改变为
P m v 2 V 1 由图知 P 的大小 P 2mvsin 60° 。. 3mv 根据动量定理 I P 3mv
2—15质量为m 的质点在Xoy 平面内运动,其运动方程 2
（1)质点的动量； ⑵从t = 0到t 这段时间内质点受到的合力的冲量；
⑶在上述时间内, 质 点的动量是否守恒？为什么? ［解］质点的速度 dr V dt
（1)质点的动量 PmVm a sin ti bcos tj 解得 t 6.86s (3)当 t 6.86s 时，
I 300N S ,根据动量定理 I
P mV mv 。 因此 V
I mv 0 300 10 10 40 m s 10 m
r a cos ti bsin tj ,试求: a Sin ti
b COS tj 2-14 质量为m 的质点，以不变速率V 沿图示三角形
ABC 的 水平光滑轨道运动。求质点越过角 A 时，轨道作用于质点冲量的
大小。
（2)由（1）式得t 0时，质点的速度 V o b j
t —时，质点的速度为
V t a sin2 i b cos2 j b j 根据动量定理 I P mv t mv00 解法 d r Sin ti b cos tj V a dt
d V 2 ,?I 2 ? tj
a a cos ti bw Sin dt F ma m2 Ia cos t i mbw2Sin tj 22 I 0F dt ma 2
cos ti mbw2 Sin tj dt 0
（3）质点的动量不守恒，因为由第一问结果知动量随时间t变化。 2—16 将一空盒放在台秤盘上，并将台秤的读数调节到零，然后从高出盒底h处将石子
以每秒n个的速率连续注入盒中，每一石子的质量为 m。假定石子与盒子的碰撞是完全非弹
性的,试求石子开始落入盒后t秒时，台秤的读数。
[解］t秒钟后台秤的读数包括下面两部分，一部分是已落入盒中的石子对称盘的压力
N1,另一部分是正下落的石子对秤的冲力N2，显然 N i nmgt
取t时间下落的石子为研究对象，设它们所受到的平均冲力为N ，根据动量定理
N2 t p 0 nm tv 0 nm t。 2gh 所以N2 nm. 2gh
故t时间下落的石子对称的冲力 N2 N2 nm。 2gh 因此秤的读数为
N N1 N2 nmgt nm 。. 2gh
2—17 一质点的运动轨迹如图所示。已知质点的质量为20g,在A、B两位置处的速率
都是20 m S，V A与X轴成45°角,V B与y轴垂直，求质点由 A点运动到B点这段时间内，作用在质点
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