合工大自动控制理论 试题

动态数学模型，是对控制系统进行理论研究的前提。在确定系统的数学模型后，便可以用几种不同的方法去分析控制系统的动态性能和稳态性能。在经典控制理论中，常用时域分析法、根轨迹法或频域分析法来分析线性控制系统的性能。显然，不同的方法有不同的特点和适用范围，但是比较而言，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供时间响应的全部信息。

时域分析法是根据系统的微分方程（或传递函数），用拉普拉斯变换直接解出动态方程，并依据过程曲线及表达式分析系统的性能。

3-1线性系统时间响应的性能指标 一：典型初始状态

(0)c(0)0。 规定系统的初始状态为零状态，即：c(0)c表明在输入加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为

零，系统处于相对平衡状态。 二：典型输入信号

典型输入信号是众多而复杂的实际输入的近似和抽象，它的选择不仅应使数学运算简单，而且还应便于实验验证。

所谓典型输入信号，是指根据系统常遇到的输入信号形式，在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数。常用的典型输入信号有以下几种：

1：单位阶跃函数

1t0 1(t)0t01L[1(t)]

s2：单位斜坡函数

tt0 t1(t)0t01L[t1(t)]2

s3：单位加速度函数

112t2t0 t1(t)220t011L[t21(t)]3 2s4：单位脉冲函数

(t)t00t0(t)dt1

L[(t)]1

5：正弦函数

Asintt0 Asint1(t)t00L[Asint1(t)]2

s2三：典型时间响应

初始状态为零的系统，在典型输入信号作用下的输出，称为典型时间响应。典型时间响应由动态过程和稳态过程两部分组成。

动态过程：动态过程又称过渡过程或瞬态过程，是指系统在典型输入信号作用下，系统输出由初始状态到达最终状态的响应过程。

稳态过程：指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷大时，系统输出量的表现形式。

控制系统在典型输入信号作用下的性能指标，通常由动态性能和稳态性能两部分组成。

四：动态性能与稳态性能

描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间t的变化状况的指标，称为动态性能指标。对于图3-1所示单位阶跃响应h(t) ,其动态性能指标通常为：

tp tr h() h()0.9h() td td0.5h()0.5h() 0.1h() tr ts ts 1：延迟时间td，指响应曲线第一次达到其终值一半所需要的时间。

2：上升时间tr，指响应曲线从终值10%上升到终值90%所需要的时间；对于有振荡的系统，也可定义为响应从零第一次上升到终值所需要的时间。上升时间是系统响应速度的一种度量。

3：峰值时间tp，指响应超过终值达到第一个峰值所需要的时间。 4：调节时间ts，指响应达到并保持在终值±5%（或±2%）内所需要的时间。 5：超调量ζ%，指响应的最大偏离量h(tp)与终值h(∞)之差的百分比，即：

%h(tp)h()100%

h()稳态性能：稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，通常在阶跃函数、斜坡函数和加速度函数作用下进行测定或计算。若时间趋于无穷大时，系统的输出量不等于输入量或输入量的确定函数，则系统存在稳态误差。稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。

3-2 一阶系统的时域分析

一：一阶系统的数学模型

一阶系统的结构图如图3-2所示，其开环传递函数为G(s)闭环传递函数为(s)1K TssC(s) K1 sKTs1此系统称为典型一阶系统。 二：一阶系统的响应 1：单位阶跃响应

当输入信号为单位阶跃信号时，

R(s) E(s) - 1Ts1r(t)1(t)R(s)

sC(s)(s)R(s)111

s(Ts1)ss1/Th(t)L1[C(s)]1et/T

可以画出一阶系统的单位阶跃响应如图3-3所示。 h(t)

T

1

86.5% 95% 98.2%

63.2%

0 2T 3T 4T T

根据动态性能指标的定义，一阶系统的动态性能指标为：

td0.69Ttr2.20T ts3T(5%)对于一阶系统的单位阶跃响应，esslime(t)lim[r(t)c(t)]0，说明一阶

tt系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差。另外有

2：单位脉冲响应

当输入信号为单位脉冲信号时，

dh(t)dtt01 Tr(t)(t)R(s)1

C(s)(s)R(s)11/T Ts1s1/T1k(t)L1[C(s)]et/T

T可以画出一阶系统的单位脉冲响应如图3-4所示。 k(t)

1/T

0.368/T

0.05/T 0.018/T 0.135/T 0 2T 3T 4T T

3：单位斜坡响应

当输入信号为单位斜坡信号时，

r(t)t1(t)R(s)1 s2C(s)(s)R(s)1 2s(Ts1)c(t)L1[C(s)]tTTet/T

k(t)

T t t-T 0 可以画出一阶系统的单位斜坡响应如图3-5所示。对于一阶系统的单位斜坡

esslime(t)lim[r(t)c(t)]T，响应，说明一阶系统跟踪单位斜坡输入信号时，

tt稳态误差为T。

4：单位加速度响应

当输入信号为单位加速度信号时，

11r(t)t21(t)R(s)3

2sC(s)(s)R(s)1

s3(Ts1)1c(t)L1[C(s)]t2TtT2(1et/T)

2e(t)r(t)c(t)TtT2(1et/T)ess

说明一阶系统无法跟踪加速度输入信号。 5：四种响应的关系

参考图3-6，可以得出如下结论：某输入信号响应的导数等于该输入信号导数的响应。即：一阶系统的单位加速度响应的导数等于其单位斜坡响应，一阶系统的单位斜坡响应的导数等于其单位阶跃响应，一阶系统的单位阶跃响应的导数等于其单位脉冲响应，这一规律适用于一般的线性定常系统。

R(s) C1(s) s(s)

C2(s) (s)s

C1(s)= C2(s)

例3-1：一阶系统如图所示，试求系统单位阶跃响应的调节时间ts，如果要求ts=0.1秒，试问系统的反馈系数应如何调整？

解：系统的闭环传递函数为：

(s)100/s10

10.1100/s0.1s1R(s) 100sC(s) - 0.1 这是一个典型一阶系统，调节时间

ts=3T=0.3秒。

若要求调节时间ts=0.1秒，可设反馈系数为α，则系统的闭环传递函数为：

(s)100/s1100/s30.11001/

1s1100ts3T

0.3

例3-2：已知某元部件的传递函数为：G(s)10，采用图示方法引入负

0.2s1反馈，将调节时间减至原来的0.1倍，但总放大系数保持不变，试选择KH、K0的值。

解：原系统的调节时间为 R(s) C(s) K0 G(s)ts30.20.6 引入负反馈后，系统的传递函数为：

- KH 10K0/(0.2s1)C(s)G(s)K0R(s)1G(s)KH110KH/(0.2s1)10K0

110KH0.2s1110KH若将调节时间减至原来的0.1倍，但总放大系数保持不变，则：

10K010110KH

0.20.02110KHKH0.9

K010

3-3二阶系统的时域分析

一：典型二阶系统的数学模型

典型二阶系统的动态结构图如图所示，其开环传递函数为：

n2K G(s)s(s2n)s(Ts1)闭环传递函数为：

R(s) E(s) - n2s(s2n)C(s) n2(s)2 2s2nsn根据ξ的取值，可把系统分为欠阻尼、临界阻尼和过阻尼三种情况进行分析。 二：二阶系统的单位阶跃响应 1：欠阻尼情况（0<ξ<1）

系统的特征方程为：s22nsn0 在欠阻尼的情况下，闭环极点为共轭复数：

2s1,2nj12njd

其中：nd12n

极点分布如图所示。图中：cos1 若输入信号为单位阶跃信号，

1r(t)1(t)R(s)

sjjdn21C(s)(s)R(s)2s2nsn2sn1 22(sn)dssnn1s(sn)2d2(sn)2d220nh(t)L1[C(s)]1entcosdt1

ntesindtd112entsin(dt)h(t)包含稳态分量和动态分量，其稳态分量为1，动态分量呈现振荡衰减特性，注意到h(t)的包络线为：1112ent，可以画出h(t)曲线如图所示，根

据动态性能指标的定义，可以求出性能指标为：

1）上升时间：tr d d2）峰值时间：tp123）超调量：%e4）调节时间：ts (t)h100%

3ne

0h(t) 1 01112nt小10大t1112entt

稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差，系统为无静差系统。在绘制h(t)曲线时，应注意到：

dh(t)dtt00

由h(t)的表达式和性能指标的计算公式可以得出以下结论：

1）阻尼比ξ越大，系统的超调量越小，响应平稳；阻尼比ξ越小，系统的超调量越大，响应的平稳性越差；当ξ=0时，系统的响应为：h(t)1cosnt 为频率为ωn的等幅振荡，系统无法进入平衡工作状态，不能正常工作。 另外，在ξ一定时，ωn越大，系统的振荡频率ωd越大，响应的平稳性较差。 故ξ大，ωn小，系统响应的平稳性好。

2）调节时间ts的计算公式为近似表达式，事实上，ξ小，系统响应时收敛速度慢，调节时间长，若ξ过大，系统响应迟钝，调节时间也较长。因此ξ应取适当的数值，ξ=0.707时的典型二阶系统称为最佳二阶系统，此时超调量为4.3%,调节时间为3/ωn。

例3-3：设典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定系统的传递函数。

解：根据题意%30%tp0.1

12h(t)%e100%30%

0.361

tp1.310.1 d00.1td34.1n36.6

n21340(s)2 22s26.4s1340s2nsn

2：临界阻尼情况（ξ=1）

系统的特征方程为：s22nsn0

在临界阻尼的情况下，闭环极点为重极点：s1,2n

2n2(s)2系统的闭环传递函数为：，当输入信号为阶跃信号时，

s2nsn21r(t)1(t)R(s)

sn21C(s)(s)R(s)2s2nsn2sn1(sn)2s2

h(t)L1[C(s)]1(1nt)ent

h(t) j 1 00n t

响应具有非周期性，没有振荡和超调，其响应曲线如图所示。该响应曲线不同与典型一阶系统的单位阶跃响应，

dh(t)dtt00。动态性能指标为：

ts4.75/n，稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态

误差，系统为无静差系统。

3：过阻尼情况（ξ>1）

系统的特征方程为：s22nsn0

在过阻尼的情况下，闭环极点为两个负实数极点：s1,2nn21若令T121nn21T21nn21，则s11T1s21 T2当输入信号为阶跃信号时，r(t)1(t)R(s)

1sn21C(s)(s)R(s)2s2nsn2s1(s1/T1)(s1/T2)s1n2

h(t)L[C(s)]11T2T11etT11T1T21etT2

响应具有非周期性，没有振荡和超调，其响应曲线如图所示。该响应曲线不

同与典型一阶系统的单位阶跃响应，

dh(t)dtt00。动态性能指标为：

ts1n(6.451.7)(0.7)，稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输

入信号时，无稳态误差，系统为无静差系统。

h(t)j小大 1 0 110t T2T1

需要说明的是，对于临界阻尼和过阻尼的二阶系统，其单位阶跃响应都没有振荡和超调，系统的调节时间随ξ的增加而变大，在所有无超调的二阶系统中，临界阻尼时，响应速度最快。

例3-4：图示系统，要求单位阶跃响应无超调，调节时间不大于1秒，求开环增益K。

解：该系统为典型二阶系统，根

C(s) KE(s) 据题意，应选择ξ=1，系统的开环传R(s) s(0.1s1)递函数为： - nK G(s)s(0.1s1)s(s2n)K2n1T0.1 22nn5K2.5

三：二阶系统性能的改善

对于如图所示欠阻尼典型二阶系统，在单位阶跃信号作用下，系统将产生超调。这是因为在[0，t1]时间内，由于e(t)为正，系统输出c(t)增加，这种增加一方面使输出接近希望值，另一方面有可能使系统出现超调，要减小超调， e(t)不能过大，在[0，t1]时间内，给e(t)加入一个附加的负信号，有利于减小超调；在[t1，t2]时间内，系统出现超调，e(t)为负，有利于减弱c(t)增加的趋势，若在[t1，t2]时间内，给e(t)加入一个附加的负信号，有利于减小超调；在[t2，t3]时间内，c(t)已经过最大值，出现下降趋势，e(t)为负，有利于c(t)的下降，同时有可能使c(t)出现反向超调，在此时间段内，给e(t)加入一个附加的正信号，有利于减小反向超调；在[t3，t4]时间内，c(t)出现反向超调，e(t)为正，有利于减小c(t)的反向超调，在此时间段内，给e(t)加入一个附加的正信号，

有利于减小反向超调。 h(t) C(s) 1E(s) n2R(s)

s(s2n)-

0t1t2t3t4te(t)

t4

通过以上分析，要减小超调量，可以给e(t)加入一个附加信号，其极性要求为：[0，t1]：“-”、[t1，t2]：“-”、[t2，t3]：“+”、[t3，t4]：“+”，经分析，e(t)的导数和-c(t)的导数的极性符合要求。于是采用比例-微分控制、测速负反馈控制可减小系统的超调量。 1：比例-微分控制

比例-微分控制时系统结构图如图所示，系统的开环传递函数为：

n2(Tds1) G(s)s(s2n)闭环传递函数为：

TdsR(s) - E(s) n2s(s2n)C(s) (s)n2(Tds1)1s22(Tdn)nsn2212

系统的阻尼比为：dTdn

可见，采用比例-微分控制，增加了系统的阻尼比，使系统超调量下降，调节时间缩短，且不影响常值稳态误差及系统的自然频率。需要注意的是，采用比例-微分控制后，系统为有零点的二阶系统，不再是典型二阶系统，性能指标计算公式为： 设：

1arctg[n1d2/(zdn)]arctg(1d2/d)Tddarctg(1d2/d)rz22dnn2/(z1d2z则：1）峰值时间tpdn1d22

dtp1d22）超调量%r1de100%

113ln(z22dnn2)lnzln(1d2)223）调节时间ts

dn2：测速反馈控制

测速反馈控制时系统结构图如图所示，系统的开环传递函数为：

n2s(s2n)E(s) R(s) G(s)n21Kts- s(s2n)n112Ktns[s1]22nKtn

闭环传递函数为：

n2s(s2n)- C(s) Kts(s)n21s22(Ktn)nsn2212

系统的阻尼比为：tKtn

可见，测速反馈控制不影响系统的自然频率，增大了系统的阻尼比，减小了系统的超调量，另外，测速反馈控制降低了系统的开环增益，从而加大了系统在斜坡信号作用下的稳态误差。采用测速反馈控制后，系统仍为典型二阶系统，性能指标的计算公式同前。

3：比例-微分控制与测速反馈控制的比较

对于理想的线性控制系统，在比例-微分控制和测速反馈方法中，可以任取一种来改善系统性能。然而，实际控制系统有许多必须考虑的因素，例如系统的具体组成、作用在系统上噪声的大小及频率、系统的线性范围和饱和程度等。下面仅讨论几种主要差别： 1)附加阻尼来源：微分控制的阻尼作用来源于系统输入端误差信号的速度，而测速反馈控制的阻尼作用来源于系统输出端响应的速度，因此对于给定的开环增益和指令输入速度，后者对应较大的稳态误差值。

2)使用环境：微分控制对噪声具有明显的放大作用，当系统输入端噪声严重时，一般不宜选用微分控制；同时微分器的输入信号为系统的误差信号，其能量水平低，需要相当大的放大作用，为了不明显恶化信噪比，要求选用高质量的放大器。测速反馈控制对系统输入端的噪声有滤波作用，同时测速发电机的输入信号能量水平较高，因此对系统组成元件没有过高的质量要求，使用场合比较广泛。 3）对开环增益和自然频率的影响：微分控制对系统的开环增益和自然频率均无影响，测速反馈虽不影响自然频率，但会降低开环增益。因此，对于确定的常值稳态误差，测速反馈控制要求有较大的开环增益，开环增益的加大，必然导致系统自然频率的增加，在系统存在高频噪声时，可能引起系统共振。

4）对动态性能的影响：微分控制相当于在系统中加入实零点，可以加快上升时间。在相同阻尼比的情况下，比例-微分控制系统的超调量会大于测速反馈控制系统的超调量。 高阶系统的时域分析 一：高阶系统的阶跃响应 对于图示高阶系统，设：

(szi)G(s)M(s)Ki1(s)n1G(s)H(s)D(s)(ssi)i1m(0)1

若系统闭环极点si为互不相同之实数，当输入为单位阶跃信号时，

1r(t)1(t)R(s)

snK(szi)1AAi10C(s)(s)R(s)ni(ss)ssi1ssii1im(sizj)1Kj1A0(0)Ainsi(ss)(si)ijK(zi)i1ni1j1jimm

c(t)A0Aiesit

i0n若系统闭环极点中有q个实数极点，r对复数极点(q+2r=n)，当输入为单位阶跃信号时，

1r(t)1(t)R(s)

sC(s)(s)R(s)1qr(ssi)(s22kksk2)si1K(szi)mj1k1rA0qAjBksCk2sj1ssjk1s2kksk2h(t)A0AjeBkesjtj1k1qrkktcos(k1kt)2k1rCkBkkkk1k2ekktsin(k1k2t)

上式表明，高阶系统的时间响应，是由一阶系统和二阶系统的时间响应函数项组成。如果高阶系统的所有闭环极点都具有负实部，即所有闭环极点都位于左半s开平面，那么随着时间的增长，响应的瞬态分量趋于零，系统是稳定的，其稳态输出量为A0。

显然，对于稳定的高阶系统，闭环极点负实部的绝对值越大，其对应的响应分量衰减得越迅速；反之，则衰减缓慢。

二：闭环主导极点和偶极子 对于稳定的高阶系统而言，如果在所有的闭环极点中，距虚轴最近的极点周围没有闭环零点，而其他极点又远离虚轴，那么距虚轴最近的不会极点所对应的响应分量，随时间的推移衰减缓慢，无论从指数还是系数来看，在系统的时间响应过程中起主导作用，这样的闭环极点就称为闭环主导极点。闭环主导极点可以是实数极点，也可以是复数极点，或是它们的组合。除闭环主导极点外，其他闭环极点由于其对应的响应分量随时间的推移而迅速衰减，对系统的时间响应过程影响甚微，因而统称为非主导极点。另外，闭环极点附近又闭环零点，则该闭环极点所对应的响应分量系数很小，对系统的时间响应过程影响甚微，这样的一对闭环零、极点称为偶极子。在分析高阶系统的性能时，可以忽略偶极子的影响。 三：高阶系统动态性能估算

运用闭环主导极点和偶极子的概念，可对高阶系统动态性能作出估算。设高阶系统具有一对共轭复数主导极点s1,2，而非主导极点实部的模比主导极点实部的模大3倍以上，则其单位阶跃响应近似为：

h(t)12M(s1)tM(s1)ecos(t) ds1D(s1)s1D(s1)根据上式，可以估算系统的动态性能指标。 1：峰值时间 tp1d[(s1zi)(s1si)]

i1i3mn由上式可以得出如下结论：

第一，闭环零点的作用为减小峰值时间，使系统响应速度加快，并且闭环零点越接近虚轴，这种作用便越显著。

第二，闭环非主导极点的作用为增大峰值时间，使系统响应速度变慢。

第三，若闭环零、极点彼此接近，则它们对系统响应速度的影响相互削弱。 2：超调量

%PQet100%pPi3i1Qnm|s1si||zi|i1i3|si|n|s1zi|

m

由上式可以得出如下结论： 第一，若闭环零点距虚轴较近，将使超调量增大，表明闭环零点会减小系统阻尼。 第二，若闭环非主导极点距虚轴较近，将使超调量减小，表明闭环非主导极点可以增大系统阻尼。 3：调节时间

tsF2lnFQni1Qnm|s1si||zi|i1i21|si|n|s1zi|

mi2

由上式可以得出如下结论：

第一，若闭环零点距虚轴较近，将使调节时间增大。因此，闭环零点对系统动态性能总的影响是减小峰值时间，增大系统的超调量和调节时间，这种作用将随闭环零点接近虚轴而加剧。

第二，若闭环非主导极点距虚轴较近，将使调节时间减小。因此，闭环非主导极点对系统动态性能总的影响是增大峰值时间，减小系统的超调量和调节时间。

3-5 线性系统的稳定性分析 一：稳定的概念和定义

稳定性是控制系统的重要性能，也是系统能够正常工作的首要条件。控制系统在实际工作过程中，总会受到各种各样的扰动，如果系统受到扰动时，偏离了平衡状态，而当扰动消失后，系统仍能逐渐恢复到原平衡状态，则系统是稳定的，如果系统不能恢复或越偏越远，则系统是不稳定的。稳定性是扰动消失后系统自身的一种恢复能力，是系统的一种固有特性。这种固有的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统的输入以及初始状态无关。

临界稳定 稳定 不稳定

分析系统的稳定性，给出保证系统特别是高阶系统稳定的条件，是控制系统设计的基本任务之一。

线性系统稳定性的定义：若线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间推移逐渐衰减并趋于零，则称系统渐近稳定，简称稳定；反之，若在初始扰动的影响下，其动态过程随时间推移而发散，则称系统不稳定。 二：线性系统稳定的数学条件

设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位脉冲δ(t)，这时系统的输出响应为脉冲响应c(t)。这相当于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡工作点的问题。若t→∞时，c(t)→0，则系统是稳定的。

设线性定常系统的传递函数为：(s)入为单位脉冲信号时，

K(szi)i1m(ssi)(s22kksk2)j1k1qr当输

r(t)(t)R(s)1

c(t)Ajej1qsjtBkek1rkktcos(k1kt)2k1rCkBkkkk1k2ekktsin(k1k2t)

上式表明，若系统的特征根中有一个或一个以上正实部根，则t→∞时，c(t)→

∞，系统是不稳定的；当且仅当系统特征根全部具有负实部，才有t→∞时，c(t)

→0，系统是稳定的。若系统特征根中有一个或一个以上零实部根，而其余的特征根均具有负实部，则t→∞时，c(t)趋于常数或趋于等幅正弦振荡，系统是临界稳定的，属不稳定系统。 由此可见，线性系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均严格位于左半s平面。 三：稳定判据 1：胡尔维茨判据

设线性系统的特征方程为：

D(s)a0sna1sn1an1san0(a00)

线性系统稳定的充分必要条件是：由系统特征方程系数所构成的主行列式Δn及其各阶顺序主子式Δi(i=1,2„,n-1)全部为正。其中：

a1a3a0a20a1n0a00000a5a4a3a2a1a00000 001a12a1a3a0a2a1a3a53a0a2a4

0a1a3例3-5：设线性系统特征方程式为：

D(s)s42s33s34s50

试判断系统的稳定性。 解：

a1a3a5a1a31a12263a0a2a412a0a20a1a3

2140043210543006005

系统不稳定。

2：李纳德-戚帕特判据 设线性系统的特征方程为：

D(s)a0sna1sn1an1san0(a00)

线性系统稳定的充分必要条件是： 1）方程式所有系数为正；

2）所有奇数阶或偶数阶胡尔维茨行列式为正，即：Δ奇>0或Δ偶>0。

根据李纳德-戚帕特判据，若系统特征方程式的各项系数中有负或零（缺项），则系统是不稳定的。

对于一阶系统，特征方程式为Ts+1=0，只要系数为正（T>0）,系统是稳定的。 对于二阶系统，特征方程式为s22nsn0，只要系数为正（ξ>0，ωn>0）,2系统是稳定的。

例3-6：设线性系统的开环传递函数为：

G(s)H(s)K(s1)s(Ts1)(2s1)

试判断系统稳定时K,T应满足的条件。 解：系统特征方程式为 1+G(s)H(s)=0

s(Ts1)(2s1)K(s1)02Ts3(2T)s2(1K)sK0

根据李纳德-戚帕特判据，K>0,T>0且

2TK202T1K0(2T)(1K)2TK0 2(1K)T(K1)系统稳定时，要求：T0,K02(1K)T(K1)

3：劳斯稳定判据

设线性系统的特征方程为：

D(s)a0sna1sn1an1san0(a00)

根据特征方程式的系数，可建立劳斯表如下：

sna0a2a4sn1aaasn2ba1a12a0a13405abaa3aa21abaa56a0a317a1sn3cb1a31a1b12bcba1ab215131b1s2p1p2s1q10s0r1a6a7

线性系统稳定的充分必要条件是：劳斯表中第一列系数全部为正。劳斯判据指出，若劳斯表中第一列系数全部为正，则所有闭环极点均位于左半s平面；若劳斯表第一列系数有负数，则系统是不稳定的，说明有闭环极点位于右半s平面，位于右半s平面的闭环极点数正好等于劳斯表第一列系数符号改变的次数。 例3-7：设线性系统特征方程式为：

D(s)s42s33s34s50

试判断系统的稳定性。 解：建立劳斯表：

s41s32s21s16s05354050

劳斯表中第一列系数符号改变2次，系统是不稳定的。 4：劳斯判据中的特殊情况

1）劳斯表第一列出现系数为零。 例3-8：设线性系统特征方程式为：

D(s)s42s32s34s50

试判断系统的稳定性。 解：建立劳斯表：

s4125s3240s205s1s0

若劳斯表某行第一列系数为零，则劳斯表无法计算下去，可以用无穷小的正数ε代替0，接着进行计算，劳斯判据结论不变。

s4s3s2s1s01241025405

5由于劳斯表中第一列系数有负，系统是不稳定的。 2）劳斯表中出现某行系数全为零 例3-9：设线性系统特征方程式为：

D(s)s62s58s412s320s216s160

试判断系统的稳定性。

解：建立劳斯表：

s6s5s4s3s212208201612160 12160劳斯表中出现某行系数全为零，这是因为在系统的特征方程中出现了对称于原点的根（如大小相等，符号相反的实数根；一对共轭纯虚根；对称于原点的两对共轭复数根），对称于原点的根可由全零行上面一行的系数构造一个辅助方程式F(s)=0求得，而全零行的系数则由全零行上面一行的系数构造一个辅助多项式F(s)对s求导后所得的多项式系数来代替，劳斯表可以继续计算下去。 需要指出的是，一旦劳斯表中出现某行系数全为零，则系统的特征方程中出现了对称于原点的根，系统必是不稳定的。劳斯表中第一列系数符号改变的次数等于系统特征方程式根中位于右半s平面的根的数目。对于本例：

s6182016s5212160s421216s3824s261616s16s0162s412s216 8s324s结论：系统是不稳定的。由辅助方程式可以求得系统对称于原点的根:

s46s280(s22)(s24)0s1,2j2s3,4j2利用长除法，可以求出特征方程其余的根s5,61j1

根据劳斯判据的计算方法以及稳定性结论，可知在劳斯表的计算过程中，允许某行各系数同时乘以一个正数，而不影响稳定性结论。 例3-10：设线性系统特征方程式为：

D(s)s6s52s43s37s24s40

试判断系统的稳定性。 解：建立劳斯表：

s61274s51340s4134s346s2616s1100s016

s43s244s36s系统是不稳定的。特征方程共有6个根：s1,22s3,4js5,65：稳定判据的应用

1）利用稳定判据，可以判断系统的稳定性。

2）利用稳定判据，可以判断系统稳定时，参数的取值范围。 例3-11：设单位负反馈系统，开环传递函数为：

1j32

G(s)K 2s(0.05s0.4s1)试确定系统稳定时K的取值范围。 解：系统的特征方程式为：

0.05s30.4s2sK0

建立劳斯表：

s30.051s20.4Ks10.40.05Ks0K

系统稳定时，要求03）利用稳定判据，也可以判断系统的稳定裕度。

系统稳定时，要求所有闭环极点在s平面的左边，闭环极点离虚轴越远，系统稳定性越好，闭环极点离开虚轴的距离，可以作为衡量系统的稳定裕度。 在系统的特征方程D(s)=0中，令s=s1-a，得到D(s1)=0，利用稳定判据，若D(s1)=0的所有解都在s1平面左边，则原系统的特征根在s=-a左边。 例3-12：设单位负反馈系统，开环传递函数为：

G(s)K 2s(0.05s0.4s1)若要求闭环极点在s=-1左边，试确定K的取值范围。 解：系统的特征方程式为：

0.05s30.4s2sK0

令s=s1-1

0.05(s11)30.4(s11)2s11K00.05s10.25s10.35s1K0.25032

s13s12s11s100.050.250.10.05KK0.250.10.05K0.35K0.25

0.253-6 线性系统的稳态误差计算 一：误差与稳态误差 C(s) E(s) R(s) G(s)众所周知，误差可以定义为：

- 误差=希望值-实际值，

B(s) H(s)对于图示一般线性控制系统，若按输入端定

义：

e(t)=r(t)-b(t)，E(s)=R(s)-B(s) 若按输出端定义： E(s)=R(s)/H(s)-C(s)

对于单位负反馈系统，两种定义方法是一致的。在系统分析和设计中，一般采用按输入端定义误差。

稳态误差是指误差信号的稳态值，即：esslime(t)

t若系统的误差传递函数为Φe(s)，则E(s)=Φe(s)R(s)，若E(s)满足拉氏变换终值定理的条件（要求系统稳定，且R(s)的所有极点在左半s开区间），可以利用终值定理来求稳态误差，即esslimsE(s)

s0例3-13：设单位负反馈系统的开环传递函数为：G(s)r(t)=1(t),r(t)=t,r(t)=t2/2以及r(t)=sinωt时系统的稳态误差。 解：误差传递函数为：e(s)1求Ts1Ts

1G(s)Ts11s系统是稳定的。r(t)1(t)R(s)

esslimsE(s)limss0s0Ts10 Ts1sTs12T Ts1sr(t)tR(s)s01 s2s0esslimsE(s)lims1r(t)t22s0R(s)1 s3Ts13 Ts1sesslimsE(s)limss0若输入信号为正弦信号，则不能应用拉氏变换终值定理。

r(t)sintR(s)

s22Ts2Ts1s2

T1Ts(T)2222222(T)1s1/T(T)1s(T)1s2E(s)TT(T)2t/Te(t)ecostsint

(T)21(T)21(T)21T(T)2稳态误差为：ess(t)costsint 22(T)1(T)1二：系统类型

设控制系统的开环传递函数为：

G(s)H(s)K(is1)s(Tjs1)j1i1nm

其中K称为系统的开环增益。υ=0，系统称为0型系统，υ=1，系统称为1型系统，υ=2，系统称为2型系统，„。 三：单位阶跃信号作用下系统的稳态误差 对于稳定的系统，可用终值定理来求：

E(s)1R(s)1G(s)H(s)esslimsE(s)lims1R(s)

s0s01G(s)H(s)111limslims01G(s)H(s)ss01G(s)H(s)s0定义系统静态位置误差系数KplimG(s)H(s)

0型系统K有Kp

1，2，型系统110型系统

系统的稳态误差为：ess1K1Kp01，2，型系统四：单位斜坡信号作用下系统的稳态误差 对于稳定的系统，可用终值定理来求：

E(s)1R(s)1G(s)H(s)esslimsE(s)lims1R(s)

s0s01G(s)H(s)111limslims01G(s)H(s)s2s0sG(s)H(s)s0定义系统静态速度误差系数KvlimsG(s)H(s)

00型系统有KvK1型系统

2,3型系统0型系统111型系统系统的稳态误差为：ess KKv02,3型系统五：单位加速度信号作用下系统的稳态误差

对于稳定的系统，可用终值定理来求：

E(s)1R(s)1G(s)H(s)esslimsE(s)lims1R(s)

s0s01G(s)H(s)111limslims01G(s)H(s)s3s0s2G(s)H(s)s0定义系统静态速度误差系数Kalims2G(s)H(s)

00,1型系统有KvK2型系统

3,4型系统0,1型系统112型系统系统的稳态误差为：ess KKa03,4型系统当系统输入信号为：r(t)R01(t)R1tR2t2时，系统的稳态误差为：

12essR0RR12 1KpKvKa六：动态误差系数 设e(s)1e(0)s1e(0)s2 e(0)1G(s)H(s)2!e(0)sR(s)1e(0)s2R(s)E(s)e(s)R(s)e(0)R(s)则 2!c0R(s)c1sR(s)c2s2R(s)该级数收敛于s→0的邻域，相当于t→∞时成立。或者说，在t→∞时有：

(t)c2(t) ess(t)c0r(t)c1rr上式即为稳态误差的计算公式，需要注意，上式中的输入信号，是指t→∞时的

表达式，在输入信号中，那些随时间增长而趋于0的分量应予以舍去。 定义c0为动态位置误差系数，c1为动态速度误差系数，c2为动态加速度误差系数，可以用下式计算：

1ci(i)(0)

i!实际计算时，常采用长除法计算，即令：

b0b1sb2s2bmsme(s)c0c1sc2s2 2n1na0a1sa2san1ss例3-14：设单位负反馈系统的开环传递函数为：G(s)r(t)=t2，r(t)=sin5t时系统的稳态误差。 解：误差传递函数为：

100求r(t)=t，

s(0.1s1)e(s)1s(0.1s1)24253010s910s1.910s 21G(s)0.1ss100可求得系统的稳态误差为：

(t)9104(t)1.9105(t) ess(t)102rrr(t)1(t)0， r(t)0rr(t)=t时，ress(t)102

(t)2t(t)0， r(t)2rr(t)=t2时，ress(t)2102t1.8103

(t)5cos5t(t)125sin5t， r(t)25sin5trr(t)=sin5t时，ress(t)1025cos5t910425sin5t1.9105125sin5t0.055cos(5t24.9)

七：扰动作用下的稳态误差 对于图示系统，设r(t)=0系统在扰动信号作用下的理想输出应为0，若按输入端定义扰动作用下的误差：

N(s) R(s) E(s) - G1(s)G2(s)C(s) H(s)En(s)G2(s)H(s)N(s)

1G1(s)G2(s)H(s)G2(s)N(s)

1G1(s)G2(s)H(s)若按输出端定义误差：

En(s)0C(s)若En(s)满足拉氏变换终值定理条件，可利用终值定理求稳态误差:

esnlimsEn(s)

s0令en(s)En(s)c0nc1nsc2ns2 N(s)则可用动态误差系数法求扰动作用下的稳态误差：

(t)c2nn(t) esn(t)c0nn(t)c1nn例3-15：对于图示系统，试求r(t)=t，n(t)=1(t)时系统的稳态误差。

解：系统的开环传递函数为

N(s) KKK2C(s) E(s) G(s)12R(s) K1s(Ts1)s(Ts1) - 为1型二阶系统，系统是稳定的,在r(t)=t，稳态误差

ess111 KvK1K2在扰动信号作用下的误差表达式为：

K2K2s(Ts1)En(s)N(s)N(s)

K2s(Ts1)K1K21K1s(Ts1)n(t)=1(t)时，稳态误差为：

系统总的稳态误差为 八：减小或消除稳态误差的措施

系统总的稳态误差包括输入作用下的稳态误差和扰动作用下的稳态误差两部分。要减小或消除稳态误差应从分别减小或消除这两部分稳态误差入手。 结合例3-15，可采取以下措施：

1：增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道增益。 在输入信号作用下的稳态误差与系统开环增益成反比，增大系统开环增益，有利于减小在输入信号作用下的稳态误差，扰动信号作用下的稳态误差与扰动作用点之前系统的前向通道增益成反比，增大该增益，有利于减小扰动信号作用下的稳态误差，应当注意，在大多数情况下，对于高阶系统，系统开环增益的增加有可能使系统不稳定。

2：在系统前向通道或主反馈通道中设置串联积分环节。 在系统前向通道中设置串联积分环节，提高了系统型别，有利于减小或消除输入信号作用下的稳态误差。为了减小或消除扰动作用下的稳态误差，串联积分环节的位置应加在扰动作用点之前的前向通道或反馈通道中，对于例3-15的系统，增加积分环节后系统如

N(s) 图所示。

E(s) K(s1)K2经过计算，可以发现在扰R(s) C(s) 1s(Ts1)动信号作用下，稳态误差sM(s) U(s) 为0。实际上，由于扰动- 作用点之后有积分环节，

在扰动信号作用下系统进入平衡状态后，u(t)=0，m(t)=-1，故e(t)=0。若把积分环节添加在反馈通道中，在扰动信号作用下，系统进入平衡状态后，u(t)=0，m(t)=-1，故c(t)=0，即输出端稳态误差为0。 应当注意，在系统前向通道或主反馈通道中设置串联积分环节，有可能使系统不稳定，对于本例，为保持系统的稳定性，在增加积分环节时又给系统增加了一个零点。

3：采用复合控制的方法。

采用复合控制，也可以减小或消除稳态误差，详细内容在第六章中进行介绍。