自动控制原理(非自动化)1-3章答案

1.2 根据题 1.2 图所示的电动机速度控制系统工作原理图 (1) 将 a，b 与 C，d 用线连接成负反馈系统； (2) 画出系统框图。 解：1）由于要求接成负 反馈系统，且只能构成 串联型负反馈系统，因 此，控制系统的净输入 电压 △U 与 Uab 和 Ucd 之 间满足如下关系：

1 章——第 3 章练习题

U U i U

ab

式中，Uab 意味着 a 点高， b 点低平， 所以，反馈电

题 1.2 图

压 Ucd 的 c 点应与 Uab 的 a 点相连接，反馈电压 Ucd 的 d 点应与 Uab 的 b 点相连接。

2）反馈系统原理框图如图所示。

Ui

Ud

n

电动机

负载

△U

放大电路

- Uab

测速发电机

1.3 题 1.3 图所示为液位自动控制系统原理示意图。在任何情况下，希望液面高度 持不变，说明系统工作原理并画出系统框图。

c 维

题 1.3 图

Hc

-

△h

放大电路

Ud

电动机

θ

阀门

Q1

h

检测电路

第二章

1.4 试求下列函数的拉氏变换，设

习 题

f（1） X s

1 3

2

s s 4 5

2

4 2!

3

2

s

3 8! s

3

s

s 2

s2 4 4

2

s

（2） X s

s

（3）

X s

1 e s

s

s/ T

1 e s

s/

T

（4）

0.4 s

144

X s

s 0.4

1.5 试求下列象函数 x(s)的拉氏反变换 X(t) ：

解：（1） X s

s

s 1 s 2 A 1 s 1

A 2 s 2

其中

m 1

1

A

1

d

X s s 1

s

1

2

m 1

s

1

m 1! ds

m 1

s

s

1

A

2

1

d

s

X s s 2

s

m 1

1

s

2

2

m

1!

ds

s

1

X s

2 s 2

1 s 1

1 2 2 1 2 2e z 1 e z 1 2e e z

s 1 s 2 e z

e

z 1 e z 1 e z 1 e z e z

Z X s

Z

1 （2）

X s

5s 1 2s 2s 2 2

s s s 1

2

1

5

2

s 1 1 2

s s 1 2s 2

s 1 1 5

2

s 1 s

1

s

2

s

x t

1 cost 5sin t

X s

3s 2s 8 3s 2s 8 A1

2

ss 2 2 4 s s 2 s 2s s 1 3 s

2 2

A2 s 2

A3 s 1

A4

j3

A

1

1 d

X s s 1 s 0

m 1

m 1! ds

m 1

2s 8 3s 2

s 2 s 2s 4 s 0

2

2

8

1 8

2

A

2

1 d X s s 1

s 1

m m 1!

ds

m 1

2

3s 2 s s

2s 8

2s 4 s

2

12 4 8

8

1.6 已知系统的微分方程为

d y t

2

2

dt

dy t

2 dt

2y t

r t

式中，系统输入变量 r(f)=6( ￡)，并设，，(O)=) ，(0)=O，求系统的输出 y(￡)。

Y s

2

s

1 R s 2s 2

1.7 列写题 2.4 图所示 RLC 电路的微分方程。其中， ui 为输入变量， uo为输出变量。 解：根据回路电压方程可知

Ri t

u t L u t C u t i

uL t

di L

t

题 2.4 图

dt

i t

C

2

du t C C

dt

du t

C

d u t

C

t

uC t

ui

LC

2

RC

dt

dt

1.8 列写题 2.5 图所示 RLC 电路的微分方程， 其中， u.为输入变量， u。为输出变量。 解：由电路可知

题 2.5 图

i t

L

i t

R

i t

C

u

C

t

i t

C

u t C

R du t C C

dt

R

uL t

L

di t dt

， i t

C

du t C C

dt

2

d u t

C

L du t

C

t

uC t

ui

u t

L

u t

C

LC

2

dt R dt

2.6 图所示运

1.9 设运算放大器放大倍数很大，输入阻抗很大，输出阻抗很小。求题

算放大电路的传递函数。其中， ui 为输入变量， uo 为输出变量。 解：根据运算放大器的特点有

i t

R

u t

i

R

1

iR t

题 2.6 图

i f t

iC t

du t C C

i t

f

i t

C

dt

du t C o

dt

t

u t

o

t 1 i C

C

1

t

u t

i

1

dt

u t dt

i

t dt

C

R

1

R C

1

1.10 简化题 2.7 图所示系统的结构图，并求传递函数 C (s) / R (s)。

题 2.7 图

解：根据梅逊公式得： 前向通道传递函数 PK： G1 回路传递函数 LK： L

1

s G2 s

G s G s H s H s

1

2

1

2

L2

特征方程式：

G1 s H1 s （注意到回路中含有二个负号）

1 G s G s H s H s G s H s

1

2

1

2

1

1

余子式：

1

1

于是闭环传递函数为：

s

C s

R s

s G s G 1 2

1 G s G s s s G s H s

H H 1 2 1 1

1

2

1.11 简化题 2.8 图所示系统的结构图，并求传递函数 C (s) / R (s)。

题 2.8 图

解：根据梅逊公式得： 前向通道传递函数 PK： G1 回路传递函数 LK： L

1

s G2 s

G s G s H s H s

1

2

1

2

L2 G2 s H 2 s

特征方程式：

1 G s G s H s H s G s H s

1

2

1

2

2

2

余子式：

1

1

于是闭环传递函数为：

s

C s

R s

s G 1 s 1 G s G s H 1 2

1

G s

2

H

2

s G s H s

2

2

1.12 简化题 2.9 图所示系统的结构图，并求传递函数 C (s) / R (s)。

题 2.9 图

解：根据梅逊公式得： 前向通道传递函数 PK： P

1

G s G s

1

2

P2 G2 s

回路传递函数 LK： L

1

G s

2

特征方程式：

1 G s

2

余子式：

1

1；

2

1

于是闭环传递函数为：

s

C s R s

s s G s G G 2 1

2

1 s G

2

1.13 简化题 2.10 图所示系统的结构图，并求传递函数 C (s) / R ( s)。

题 2.10 图

解：根据梅逊公式得： 前向通道传递函数 PK： P1

G1 s G3 s G2 s G3 s

回路传递函数 LK： L

1

P2

G s G s

3

4

L2 G4 s

特征方程式：

1 G s G s G s

3

4

4

余子式：

1

1 G4 s ；

2

1 G4 s

于是闭环传递函数为：

s

C s

R s

s G 2

G s G s G s 1 G s

3 1 3 4

G G s 1 3 s G s 4

4

1.14 简化题 2.11 图所示系统的结构图，并求传递函数 C (s) / R ( s)。

解：根据梅逊公式得： 前向通道传递函数 PK： P

1

G s G s G s

1

2

3

P2 G1 s G4 s

回路传递函数 LK： L

1

G s G s H s

1

2

1

L2 L3 L4 L5

G2 s G3 s H 2 s G1 s G2 s G3 s G1 s G4 s G4 s H 2 s

特征方程式：

1 G1 s G2 s G3 s G1 s G2 s H1 s G2 s G3 s H2 s G1 s G4 s G4 s H2 s

1

余子式：

1；

2

1

于是闭环传递函数为：

s

C s

R s

s G s G G s G s

G 1 4

1 2

s

1 G s G s G s G s s s 3 s s s

G H G H 1 2 3 1

2 1 3 2

G

2

G s G s

1

4

G s H 2 s

4

1.15 简化题 2.12 图所示系统的结构图，并求传递函数 C (s) / R ( s)。

题 2.12 图

解：根据梅逊公式得： 前向通道传递函数 PK： P1

G1 s G2 s G1 s G3 s

回路传递函数 LK： L

1

P2

G s G s G s

1

2

4

特征方程式：

1 G s G s G s

1

2

4

余子式：

1

1；

2

1

于是闭环传递函数为：

s

C s G s G s s s R s

1 2 G 1 1 G s G

s

G

3

1

2

G

s

4

1.16 简化题 2.13 图所示系统的结构图，并求传递函数 C (s) / R (s)。

解：根据梅逊公式得： 前向通道传递函数 PK： P

G s G s

1

1

2

回路传递函数 LK： L

G s G s H s

1

1

2

1

L2 G2 s

L3 G1 s

特征方程式： 1 G1 s G2 s G1 s G2 s H1 s

余子式：

1

1

于是闭环传递函数为：

s

C s

G G

s

R s

1 G s s 2 s G s H 1 1 G s

G s 1 2 1 2

第三章

习 题

0.5 已知系统特征方程如下，试用劳斯判据判别系统稳定性，并指出位于右半

和虚轴上的特征根的数目。

s 平面

解：（1）根据劳斯判据的必要条件可知，系统特征方程满足系统稳定的必要条件 满足系统稳定的充分条件，需列劳斯表来判定。

5

1 4 2 S

4

1 4 1 S

3

S

0 1 0 S 2

-1 0 0 1

-1 0

0

S

0

0

S

通过劳斯表的第一列可以看出，系统是不稳定的。

解：（2）根据劳斯判据的必要条件可知，系统特征方程满足系统稳定的必要条件 满足系统稳定的充分条件，需列劳斯表来判定。

6

S

1 5 8 4

S

5 3 9 6

4

S

3

S

2

S

1

S

0

S

解：（3）根据劳斯判据的必要条件可知，系统特征方程满足系统稳定的必要条件 满足系统稳定的充分条件，需列劳斯表来判定。

5

1 12 35 S

4

3

20

25

S

3

S

2

S

1

S

0

S

解：（4）根据劳斯判据的必要条件可知， 系统特征方程不足系统稳定的必要条件

系统不稳定。

1.17 已知单位反馈系统的开环传递函数为

G s

s 2 2

s

s2 s3 3

s

2

9

ai>0。是否

ai>0。是否

ai>0。是否

ai>0。因此，

10

试用劳斯判据判别系统稳定性。 若系统不稳定， 指出位于右半 s 平面和虚轴上的特征根的数

目：

解：（1）由题中单位反馈系统的开环传递函数可知系统的闭环特征方程

D s

s

5

s4 2 s3 s2 9 10

s 2 0

ai >0。是否满足系统

根据劳斯判据的必要条件可知， 系统特征方程满足系统稳定的必要条件

稳定的充分条件，需列劳斯表来判定。

1

9

1

5

S

4

2 8 80 160 0

10 0 0 0

2 0 0 0

S

3

S

2

S

1

S

0

S

通过劳斯表的第一列可以看出，系统是稳定的。

3.3 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为

G s

K 2 n s s v

2

n

2

2 n

s

当 ωn=90/s，阻尼比 ζ=0.2 时，试确定 Kv 为何值时系统是稳定的。

解：由题可知，单位负反馈控制系统的闭环特征方程为

3

s

2 ns

3

2 2 2 n

s

n 2

K

v

0

即

3

s

1

36s 8100s 8100K

v

0

8100 0

S

2

S

1

36

（36- Kv）× 8100

8100Kv

8100Kv 0 0 0

0 0

S

0

S

由劳斯判据可知

36- Kv>0；Kv>0

36> Kv>0

3.4 已知反馈系统的开环传递函数为

G s

K

s 0.6s 1 0.5 s

1

确定系统稳定时的 K 值范围。

解：由题中反馈系统的开环传递函数可知系统的闭环特征方程

D s D s

3

s

2

s K 0 K 0 20

0.5 5s 0.6

s 20

令 s=j ω，则有

s 3

2

s 12

D s

3 j

j

2

12 20

K 0

20

3 2

20 20K 12

0

1

2

0,

2, 3

20

K

120

0 K 0,

0已知反馈控制系统的传递函数为

G s

10

, H s 1 K ns s s 1

，试确定闭环

系统临界稳定时 Kh 的值。

解：由题可知，反馈系统的开环传递函数为

G s H s

10 1 s s

K s n 1

可知系统的闭环特征方程

D s

s

2

K 10

n

s 10 0 1

列劳斯表

2

S

1

1

（10Kn- 1） 10

10 0 0

0 0 0

S

0

S

系统特征方程满足系统稳定的条件是

K

n

- 60t

0.1

c(t)=l+0.2

。试求：

- 1.2 e- 10t 3.6 已知系统的单位阶跃响应为

e

(1) 系统的传递函数；

(2) 系统的阻尼比 ζ 和自然振荡频率 ωn。 解：（1）由单位阶跃响应可知

C s

1 1 1 s 0.7 0.6

s s 60 s 10

600

1

600

2

70s 600 2s 0.2s 1. 2s

s s 60 s 10

R s

2 2

72s

s 60 s 10 s s 60 s 10

C s 600 600 s

2 s R s s 60 s 10

s 70

600

（2）设：

600 24.5/s

n

；

70/2

n

1.43

c(t )=

3.7 在零初始条件下，控制系统在输人信号 t 1(t)，

求系统的传递函数，并确定系统的调节时间 解：由题可知

ts。

r(t)=l( t)+t1( t)的作用下的输出响应为

C s

系统的传递函数为

1

2

R s

s 1 1 s 1

2 2

s s s C s R s

1 s 1

s

由传递函数的参数可知， T=1。所以， ts=(3~4) T= (3~4)秒。

3.8 设单位反馈系统的开环传递函数为

G s

1 s s

1

试求：系统的上升时间 解：由题可知

tr 、超调时间 tP、超调量 σ％和调节时间 ts。

s

2

1 s

1

s

其中， 2

n

1；

n

1， 1/2

n

0.5

t r

arccos

2

n

1

2

0.8

2

1 0.7

0.3 s

P t

n

1

2

2

1 2.

1. 81

3.8 s

1

% e t s

e

16.3%

6 s

5%

3

n

3

0.5

t

s

4

n

4

0.5

8 s 2%

3.9 要求题 3.9 图所示系统具有性能指标： σ％=10％，tP=0.5s。确定系统参数 K 和 A， 并计算 tr ，ts。 解：由题可知

2

ln

2

ln

2

0.1 2

ln 0.1

2.3 0.6

3.895 7.854/s

ln 0.1

n

2

2

t

P

1 0.5 1 0.6

又因为

s

1

K s s 1

K As 1 s s 1

2

s

K 1 KA

s K

2 2

K 其中

n

7.854

61.685/s； 2

n

1 KA， A 2

n

1 /K 0.1366

t r

arccos

2

n

1

0.9 2

1 0.8 1.18

0.4 s

t s

3

n

3

3.9

3.

0.6 s 5%

t

s

4

n

4

0.6

3.10 s 2%

0.2 题 3.10 图所示控制系统，为使闭环极点为

这时系统阶跃响应的超调量。

s1,2=- l± j，试确定 K 和 α的值，并确定

题 3.9 图

(1)求阻尼比 ζ 和自然振荡频率 ωn； (2)画出等效的单位反馈系统结构图； (3)写出相应的开环传递函数。

题 3.10 图

3.11 图所示

0.2l 设典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如题

解：由响应曲线图可知： tP=0.3 秒， σ%=25% ，又因为超调量为阴尼比的单值函数，且

2

1

% e

于是有

2

100%

ln

ln

2

2

2

2.4

ln 0.25

3.896 0.7

0.7

ln

又由于 t

P

2

，得

1

n

n

2

t

P

1 0.3 1

11.426 1/ 0.3 0.92 秒 7.855

2

2 n

（2）

s

2

s

2

2 n

s s 2 n

2

n

s

n

2 n

1

s s 2

n

（3）系统结构框图为

R(s) E (s)

2

n

C (s)

s s 2

-

n

1.19 单位负反馈控制系统的开环传递函数为

G s

100

s s 10

试求：

(1)位置误差系数 KP，速度误差系数 Kv 和加速度误差系数 Ka； (2)当参考输入 r(t)=l+ t +a t。时，系统的稳态误差终值。 解：（1）首先，将传递函数做规范化处理

G s

100 s s 10

10 s 1 s/

10

由系统开环传递函数可知，该系统为一型系统。所以有 k

P

lim G s

s

0

k

v

lim sG s

s 0

10

10 lim

/

s 0 s s

1

10

10 lim s

s s s/

0

10

1

k

a

2

2

10

lim s

s

0

s 0

0

lim s G s

s s

1 /10

2

（2）当

r t 1 t at 1 k

v

时，由该系统为一型系统。所以，系统的稳态误差为

e

ss

e

1

1 k P

2! a 1

k 1

a

1 2! a

10 0

1.20 单位负反馈系统的开环传递函数为

G s

5 s s

1

(1)求输入信号为 r1(t )=0.1 t 时系统的稳态误差终值； 2 时系统的稳态误差终值。 (2)求输入信号为 r2(t )=0.01 t

解：（1）根据系统的开环传递函数，利用终值定理可得

e

ss

lim e t

t

lim sE s

s

0

s s 1 lim s

2

s

0.1 1.21

2

5

s

0

s s

0.9 2! lim s 0 s

结果表明，系统对于斜坡信号是一个有差系统，但仍具有精度较高的跟踪斜坡信号的能力

（2） e

ss

lim e t

t

lim sE s

s 0

s s 1 0.10 2! lim s 2

01 s 0 s 5 s 3

s

结果表明，系统对于抛物线信号是一个跟踪的系统，系统的稳态误差为无穷大。

0.5 单位负反馈系统的开环传递函数为

G s

k s 2 s

5

ess=0.1 时的 k 值。

求在单位阶跃信号的作用下，稳态误差终值

解：根据系统的开环传递函数，利用终值定理可得

e

ss

lim e t

t

lim sE s

s

0

s 2 s 5

lim s

2 s

s 0

1 k s

10 10

k

4.

5 s

k

9

3.10

90

0.6 如题 3.15 图所示控制系统，其中 e(t)为误差信号。

题 3.15 图

(1) 求 r (t)= t，n(t)= 0 时，系统的稳态误差 ess终值； (2) 求 r (t)=0，n(t)= t 时，系统的稳态误差 ess终值； (3) 求 r (t)= t，n(t)= t 时，系统的稳态误差 ess终值； (4) 系统参数 K，r，K，，r。变化时，上述结果有何变化 解：由题中的结构图可知

?

K 1

0

G s G sG s

1

2

KP 1 1/T s

sTs

1

系统的稳态误差传递函数为

系统的稳态误差为

E s ER s EN s

e

ss

lim e t

t

lim sE s

s 0

lim s ER s

s 0

EN s

其中 E s

R

1 1 G s

R s

s Ts 1

s Ts 1 K K P 1 1/T s

0

1

R s

3

T Ts

1

Ts 1 T s K K

1 T s K K P 0 2

2

R s

T s

1

P 1 0

N

E s

G s 1

2

s Ts

s Ts 1 1

K

G

s

N s

K 0 s T1 s

K 1 1/ T s P

1

3

N s

1

2

0

T Ts T s

1

K T s

0 1

K

0

P 1

T s K K P

0

N s

K

（1）当 r t t，n t 0 时，由于系统的误差传递函数 ER(s)具有二阶无差度，所以，系统

的稳态误差 ess 终值为

ss

t

e lim e t

lim sE s

s

0

s 0

s 0

2

T s Ts 1

1

1

2

0

lim s E s

R

E s

N

lim s

3

2

T Ts

1

T s

1

K K T s K K

0

P 1

0

P

s

（2）r(t)=0，n( t)= t 时，由于系统的误差传递函数 差 ess 终值为

e lim e t lim sE s

ss

t

s 0

EN(s)具有一阶无差度，所以系统的稳态误

lim s E s

s 0

R

E s

N

K T s

lim s 0 1

3 2

s 0 T s K K P

T Ts T s K 0 K 0 P 1

1

1

1

2

T 1 K

P

s

（3）当 r (t)= t，n( t)= t 时，根据线性系统的可叠加特性，系统的稳态误差

ess 终值为

T

1

T

1

e

ss

lim e t

t

lim sE s

s 0

lim s E s

R

s 0

E s

N

0

K

K

P

P

(4) 系统参数 K，r，K，，r。变化时，上述结果有何变化 略

?