霍尔效应在金属杨氏模量测定中的应用 (孟庆云)

固体材料杨氏模量是综合性大学和工科院校物理实验中必做的实验之一。该实验可以学习和掌握基本长度和微小位移量测量的方法和手段，提高学生的实验技能。杨氏模量实验仪仪器是在弯曲法测量固体材料杨氏模量的基础上，加装霍尔位置传感器而成的。通过霍尔位置传感器的输出电压与位移量线形关系的定标和微小位移量的测量。

随着科学技术的发展，微位移测量技术也越来越先进。本实验介绍一种近年来发展的先进的霍尔位置传感器，利用磁铁和集成霍尔元件间位置的变化输出信号来测量微小位移，该项技术已被用于梁的弯曲法测杨氏模量的实验中。

实验目的

1. 熟悉霍尔位置传感器的特性以及学会对霍尔位置传感器定标； 2. 通过微小位移测量并使用弯曲法测量黄铜和可锻铸铁的杨氏模量；

实验仪器

读数显微镜、SS495A型集成霍尔位置传感器、磁铁两块、砝码等

图 1 实验装置

a.铜刀口上的基线 b.读数显微镜 c.刀口 d.横梁 e.铜杠杆（顶端装有SS495A型集成霍尔传感器） f.磁铁盒 g.磁铁（N极相对放置） h.三维调节架 i.砝码

实验原理

1、霍尔元件置于磁感强度为B的磁场中，在垂直于磁场方向通以电流I，则与这二者垂直的方向上将产生霍尔电势差UH：

I  B （1） U H  K 

(1) 式中K为元件的霍尔灵敏度。如果保持霍尔元件的电流I不变，而使其在一个均匀梯度的磁场中移动时，则输出的霍尔电势差变化量为：

dBZ (2) UHKIdZdB(2) 式中Z为位移量，此式说明若为常数时，UH与Z成正比。即UHK'Z。

dZ 为实现均匀梯度的磁场，可以如图2所示两块相同的磁铁（磁铁截面积及表面感应强度相同）相对位置，即N极与N极相对，两磁铁之间留一等间距间隙，霍尔元件平行于磁铁放在该间隙的中轴上。间隙大小要根据测量范围和测量灵敏度要求而定，间隙越小，磁场梯度就越大，灵敏度就越高。磁铁截面要远大于霍尔元件，以尽可能的减小边缘效应的影响，提高测量精确度。

图 2

若磁铁间隙内中心截面处的磁感应强度为零，霍尔元件处于该处时，输出的霍尔电势差应该为零。当霍尔元件偏离中心沿Z轴发生位移时，由于磁感应强度不再为零，霍尔元件也就产生相应的电势差输出,其大小可以用数字电压表测量。由此可以将霍尔电势差为零时元件所处的位置作为位移参考零点。

霍尔电势差与位移量之间存在一一对应关系，当位移量较小（<2mm），这一一对应关系具有良好的线性。

2. 在横梁弯曲的情况下，杨氏模量E可以用下式表示：

d3Mg E  3 （3）

4abZ其中：d为两刀口之间的距离；M为所加砝码的质量；a为梁的厚度；b为梁的宽度；Z为

梁中心由于外力作用而下降的距离；g为重力加速度。

实验内容：

1、基本内容：测量黄铜样品的杨氏模量和霍尔位置传感器的定标。

（1）调节三维调节架的上下前后位置的调节螺丝，使集成霍尔位置传感器探测元件处于磁铁中间的位置。

（2）用水准器观察是否在水平位置，若偏离时用底座螺丝调节到水平位置。

（3）调节霍尔位置传感器的毫伏表。磁铁盒上可上下调节螺丝使磁铁上下移动，当毫伏表读数值很小时，停止调节固定螺丝，最后调节调零电位器使毫伏表读数为零。

（4）调节读数显微镜，使眼睛观察十字线及分划板刻度线和数字清晰。然后移动读数显微镜前后距离，使能清晰看到铜刀上的基线。转动读数显微镜的鼓轮使刀口架的基线与读数

2

显微镜内十字刻度线吻合，记下初始读数值。

（5）逐次增加砝码Mi（每次增加10g砝码），相应从读数显微镜上读出梁的弯曲位移Zi 及数字电压表相应的读数值Ui（单位mV），将其记录在表1中。然后再计算出相应的弯曲位移变化量Zi及相应电压值变化量Ui填写在表2中，最后计算出霍尔位置传感器的系数

K'iUiZi，取其平均值确定K'，从而进行定标。

0 0 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 M/g Z/mm U/mV 表1

M/g 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 Zi/mm Ui/mV 表2

（6）测量横梁两刀口间的长度d及测量不同位置横梁宽度b和横梁厚度a，横梁宽度b和横梁厚度a各测量五次取平均值。

d3Mg（7）将所测数值与Zi按公式E3进行计算，结果取平均值为黄铜材料的杨

4abZ氏模量。

（8）把测量结果与公认值进行比较（标准值E黄铜1.061011Nm2），并写出结果表达式。

2、用霍尔位置传感器测量可锻铸铁的杨氏模量。

K'i（1）逐次增加砝码Mi，相应读出数字电压表读数值。由霍尔传感器的灵敏度计算出位移的变化量Zi。

UiZi，

（2）测量不同位置横梁宽度b和横梁厚度a，横梁宽度b和横梁厚度a各测量五次取平

d3Mg均值。将测量数据与Zi按公式E3计算可锻铸铁的杨氏模量，最后结果取平均值。

4abZ

3

（3）按照测量黄铜杨氏模量的方法测量铸铁的杨氏模量，并将结果与用霍尔传感器所计算的结果进行比较。

注意事项：

（1）用千分尺待测样品厚度必须不同位置多点测量取平均值。测量黄铜样品时，因黄铜比钢软，旋紧千分尺时，用力适度，不宜过猛。

（2）用读数显微镜测量砝码的刀口架基线位置时，刀口架不能晃动。

思考题：

（1）弯曲法测杨氏模量实验，主要测量误差有哪些？请估算各因素的不确定度。 （2）用霍尔位置传感器法测位移有什么优点？

实验数据例（仅供参考）

1、霍尔位置传感器的定标

在进行测量之前，检查杠杆的水平、刀口的垂直、挂砝码的刀口处于梁中间，杠杆安放在磁铁的中间，注意不要与金属外壳接触，一切正常后加砝码，使梁产生位移Z；精确测量传感器信号输出端的数值与固定砝码架的位置Z的关系，也就是用读数显微镜对传感器输出量进行定标，测量数据如表1所示，可以看出，U—Z之间呈良好的线形关系：

表1 霍尔位置传感器静态特性测量 M/g Z/mm 10.00 3.120 36 20.00 3.240 73 30.00 3.370 109 40.00 3.490 145 50.00 3.610 181 60.00 3.730 216 70.00 3.860 253 80.00 3.990 290 U/mV 2、杨氏模量的测量

用直尺测量横梁的长度d，游标卡尺测其宽度b，千分尺测其厚度a，测量数据分别为d= 23.00cm，b=2.300cm，a=0.995mm。

利用已经标定的数值，测出黄铜样品在重物作用下的位移，测量数据见下表：

用逐差法对表1的数据算出样品在M=60.00g的作用下产生的位移量Z。

例如：（以下为实际测量的数据）：当加60g砝码时产生的电压为216mV；用显微镜观察横梁产生的位移Z为0.730mm , 代入下面公式得到黄铜的杨氏模量E黄铜：

E黄铜

3（23.00102）60.001039.79410.811010N/m2 33234（0.99510）2.300100.73104

将表1数据对U～Z进行最小二乘法直线拟合。 霍尔位置传感器的灵敏度为： KU2162.92102mv/mm Z0.73相关系数r= 0.99994

对照该黄铜材料特性标准数据E010.551010N/m2，百分误差为2.4%，测量结果较好；在此基础上，霍尔位置传感器还测得了可铸锻铁的杨氏模量。得：

U Z铁0.440mm;

KE铁3（23.00102）60.001039.79410218.5110N/m 33234（1.00110）2.30100.44010查得该材料杨氏模量的标准数据E018.151010N/m2，误差小于2%，所测结果符合要求。

附录：

固体、液体及气体在受外力作用时，形状会发生或大或小的改变，这统称为形变。当外力不太大，因而引起的形变也不太大时，撤掉外力，形变就会消失，这种形变称之为弹性形变。弹性形变分为长变、切变和体变三种。

一段固体棒，在其两端沿轴方向施加大小相等、方向相反的外力F，其长度l发生改变

l ，以S表示横截面面积，称

Fl为应力，相对长变为应变。在弹性限度内，根据胡克定Sl律有：

FlYSl

3dMgY称为杨氏模量，其数值与材料性质有关。 以下具体推导式子： Y4a3bZ在横梁发生微小弯曲时，梁中存在一个中性面，面上部分发生压缩，面下部分发生拉伸，

所以整体来说，可以理解横梁发生长变，即可以用杨氏模量来描写材料的性质。

附 图 1

如附图1所示，虚线表示弯曲梁的中性面，易知其既不拉伸也不压缩，取弯曲梁长为dx的一小段,设其曲率半径为

R(x)，所以对应的张角为d,再取中性面上部距为y厚为dy

的一层面为研究对象，那么，梁弯曲后其长变为(R(x)y)d，

(R(x)y)ddx所以，变化量为：

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又因为 ddxR(x)； 所以 (R(x)y)ddx(R(x)y)dxR(x)dxyR(x)dx； 所以应变为： yR(x)； 根据胡克定律有：

dFdSYyR(x)； 又因为 dSbdy； 所以 dF(x)YbyR(x)dy； 对中性面的转矩为：d(x)dFyYbR(x)y2dy； a积分得： (x)Yb2Yba3a2R(x)ydy12R(x)； （附1） 2对梁上各点，有：

1yn(x)R(x)；

1y'(x)232因梁的弯曲微小： y'(x)0； 所以有： R(x)1y\"(x)； (附2) 梁平衡时，梁在x处的转距应与梁右端支撑力Mg2对x处的力矩平衡， 所以有： (x)Mg2(d2x)； (附3) 根据（1）、（2）、（3）式可以得到： y\"(x)6MgYba3(d2x)； 据所讨论问题的性质有边界条件： y(0)0;y'(0)0； 解上面的微分方程得到： y(x)3MgYba3(d2x2133x)； 将xd2代入上式，得右端点的y值： yMgd34Yba3；又因为 yZ；

6

d3Mg所以，杨氏模量为：Y3

4abZ

参考文献：

[1] 漆安慎 杜婵英〈〈力学〉〉 高等教育出版社

[2] 方佩敏 〈〈新编传感器原理、应用、电路详解〉〉 电子工业出版社

[3] 游海洋 第8期

[4] 龚镇雄 赵在忠 陆申龙 〈〈霍尔位置传感器测量固体材料的杨氏模量〉〉〈普通物理实验〉〉 沈元华 陆申龙 〈〈基础物理实验〉〉 北京〈物理实验〉〉第20卷

高等教育出版社 2003

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