对数函数测试题及答案

对数与对数函数测试题

一、选择题。 1．

log89的值是 log23A．

（ ）

23 B．1 C． D．2 322．若log2[log1(log2x)]log3[log1(log3y)]log5[log1(log5z)]=0，则x、y、z的大小

235关系是 A．z＜x＜y

B．x＜y＜z 3

C．y＜z＜x D.

D．z＜y＜x

（ ）

3．已知x=2+1,则log4(x－x－6)等于

A.

%

（ ）

3 2B.

5 41 2

4．已知lg2=a，lg3=b，则

lg12等于 lg15 （ ）

A．

2ab

1abB．

a2b

1abC．

2ab

1abD．

a2b

1ab（ ）

5．已知2lg(x－2y)=lgx＋lgy，则x的值为

yA．1

B．4

C．1或4 C．(

D．4或16

（ ）

6.函数y=log1(2x1)的定义域为

2A．(

1，＋∞) 22

B．［1，＋∞)

1，1] 2D．(－∞，1)

（ ）

7．已知函数y=log1(ax＋2x＋1)的值域为R，则实数a的取值范围是

2A．a＞1

\"

B．0≤a＜1 C．0＜a＜1 D．0≤a≤1

x8.已知f(e)=x，则f(5)等于

A．e5

C．ln5

D．log5e （ ）

（ ）

B．5

e

9．若f(x)logax(a0且a1),且f1(2)1,则f(x)的图像是

, y x

O x

y x

O y x

yO O !

A B C D

210．若ylog2(xaxa)在区间(,13)上是增函数，则a的取值范围是（ ）

A．[223,2]

B．223,2 C．223,2

D．223,2

11．设集合A{x|x210},B{x|log2x0|},则AB等于 （ A．{x|x1} B．{x|x0}

C．{x|x1}

D．{x|x1或x1}

，

12．函数ylnx1x1,x(1,)的反函数为 （

A．yex1ex1,x(0,) B．yex1ex1,x(0,) exx C．y1D．ye1ex1,x(,0) ex1,x(,0)

二、填空题.

13．计算：log6.25＋lg12.5100＋lne＋21log23=．

14．函数y=log2

4(x－1)(x＜1＝的反函数为__________． 15．已知m＞1，试比较(lgm)与(lgm)的大小．

16．函数y=(log2

1x)－log1x2

＋5在2≤x≤4时的值域为______．

44<

三、解答题.

17．已知y=loga(2－ax)在区间{0，1}上是x的减函数，求a的取值范围．

））

-

18．已知函数f(x)=lg[(a－1)x＋(a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为R

求实数a的取值范围．

…

2

2

19．已知f(x)=x＋(lga＋2)x＋lgb，f(－1)=－2，当x∈R时f(x)≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f(x)的最小值

[

2

20．设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．

）

>

21．已知函数f(x)=loga(a－a)且a＞1，

（1）求函数的定义域和值域；

（2）讨论f(x)在其定义域上的单调性； （3）证明函数图象关于y=x对称．

》

x

【

22．在对数函数y=log2x的图象上(如图)，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a、a＋1、

a＋2，其中a≥1，求△ABC面积的最大值．

/

对数与对数函数测试题

参考答案

一、选择题：ADBCB CDCBA AB 二、填空题：13.三、解答题：

、

2513x，=1－2(x∈R)，15.(lgm)≤(lgm)，16.y8 24

17.解析：先求函数定义域：由2－ax＞0，得ax＜2

又a是对数的底数， ∴a＞0且a≠1，∴x＜

2 a2＞1，∴a＜2 a由递减区间[0，1]应在定义域内可得又2－ax在x∈[0，1]是减函数

∴y=loga(2－ax)在区间[0，1]也是减函数，由复合函数单调性可知：a＞1 ∴1＜a＜2

18、解：依题意(a－1)x＋(a＋1)x＋1＞0对一切x∈R恒成立．

2

2

）

当a－1≠0时，其充要条件是：

25a10解得a＜－1或a＞ 223(a1)4(a1)02

又a=－1，f(x)=0满足题意，a=1，不合题意． 所以a的取值范围是：(－∞，－1]∪(

5，＋∞) 319、解析：由f(－1)=－2，得：f(－1)=1－(lga＋2)＋lgb=－2，解之lga－lgb=1，

∴

a=10，a=10b． b2

2

又由x∈R，f(x)≥2x恒成立．知：x＋(lga＋2)x＋lgb≥2x，即x＋xlga＋lgb≥0，对x∈R恒成立，

由Δ=lga－4lgb≤0，整理得(1＋lgb)－4lgb≤0

…

2

2

即(lgb－1)≤0，只有lgb=1，不等式成立． 即b=10，∴a=100．

∴f(x)=x＋4x＋1=(2＋x)－3 当x=－2时，f(x)min=－3．

2

2

2

20.解法一：作差法

|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=|＋x)|)

∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＜1＋x

，

lg(1x)lg(1x)1|－||=(|lg(1－x)|－|lg(1lgalga|lga|

∴上式=－

112

[(lg(1－x)＋lg(1＋x)]=－·lg(1－x)[来源:]

|lga||lga|2

由0＜x＜1，得，lg(1－x)＜0，∴－∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)| 解法二：作商法

12

·lg(1－x)＞0， |lga||loga(1x)|=|log(1－x)(1＋x)|

|loga(1x)|∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＋x，∴|log(1－x)(1＋x)|=－log(1－x)(1＋x)=log(1－x)由0＜x＜1，∴1＋x＞1，0＜1－x＜1 ∴0＜(1－x)(1＋x)＜1，∴

》

2

1 1x1＞1－x＞0 1x

∴0＜log(1－x)

1＜log(1－x)(1－x)=1

1x∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)| 解法三：平方后比较大小

∵loga(1－x)－loga(1＋x)=[loga(1－x)＋loga(1＋x)][loga(1－x)－loga(1＋x)] =loga(1－x)·loga2

2

2

11x1x2

=·lg(1－x)·lg

1x1x|lg2a|2

∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1，0＜∴lg(1－x)＜0，lg

2

2

1x＜1 1x1x＜0 1x2

∴loga(1－x)＞loga(1＋x)，即|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|

。

解法四：分类讨论去掉绝对值

当a＞1时，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=－loga(1－x)－loga(1＋x)=－loga(1－x) ∵0＜1－x＜1＜1＋x，∴0＜1－x＜1 ∴loga(1－x)＜0，∴－loga(1－x)＞0

当0＜a＜1时，由0＜x＜1，则有loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0

∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=|loga(1－x)＋loga(1＋x)|=loga(1－x)＞0 ∴当a＞0且a≠1时，总有|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|

2

2

22

2

21.解析：(1)定义域为(－∞，1)，值域为(－∞，1)

(2)设1＞x2＞x1 ∵a＞1，∴ax2ax1，于是a－ax2＜a－ax1

x则loga(a－aax2)＜loga(a－a1)

即f(x2)＜f(x1)

∴f(x)在定义域(－∞，1)上是减函数

(3)证明：令y=loga(a－a)(x＜1)，则a－a=a，x=loga(a－a) ∴f(x)=loga(a－a)(x＜1)

故f(x)的反函数是其自身，得函数f(x)=loga(a－a)(x＜1＝图象关于y=x对称． 22.

解析：根据已知条件，A、B、C三点坐标分别为(a，log2a)，(a＋1，log2(a＋1))，(a＋2，log2(a＋2))，则△ABC的面积

S=

x－1

xxyyx[log2alog2(a1)][log2(a1)log2(a2)][log2alog2(a2)]

221a(a2)(a1)21(a1)2log2log2 22[a(a2)]2a(a2)1a22a111log22log2(12) 2a2a2a2a因为a1,所以Smax1114log2(1)log2 2323