2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．（4分）计算
的结果是 ．
2．（4分）已知集合A={1，2，m}，B={3，4}，若A∩B={3}，则实数m= ． 3．（4分）已知4．（4分）若行列式
，则
= ．
，则x= ．
，则
5．（4分）已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是x+y= ． 6．（4分）在
的二项展开式中，常数项等于 ．
7．（5分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ． 8．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，若点（n，Sn）（n∈N*）在函数y=log2（x+1）的反函数的图象上，则an= ．
9．（5分）在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为 ． 10．（5分）抛物线y2=﹣8x的焦点与双曲线曲线的两条渐近线的夹角为 ． 11．（5分）已知函数
（x）=f（x+α）为奇函数，则α的值为 ． 12．（5分）已知点C、D是椭圆则实数λ的取值范围为 ．
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）在复平面内，复数A．第一象限
﹣y2=1的左焦点重合，则这条双
，x∈R，设a＞0，若函数g
上的两个动点，且点M（0，2），若，
对应的点位于（ ） C．第三象限
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B．第二象限 D．第四象限
14．（5分）给出下列函数：①y=log2x；②y=x2；③y=2|x|；④y=arcsinx．其中图象关于y轴对称的函数的序号是（ ） A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
15．（5分）“t≥0”是“函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
•
=0，
16．（5分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•
=0，
•
=0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积，则
S1+S2+S3的最大值是（ ）
A． B．2
C．4 D．8
三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．（14分）如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．
（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；
（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？
18．（14分）如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点． （1）求圆锥的体积；
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（2）求异面直线SO与PA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
19．（14分）已知函数⊆A．
（1）求实数a的取值范围；
的定义域为集合A，集合B=（a，a+1），且B
（2）求证：函数f（x）是奇函数但不是偶函数．
20．（16分）设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点． （1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；
（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程； （3）若
，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．
（1≤i≤n）且对任意
21．（18分）若数列A：a1，a2，…，an（n≥3）中
的2≤k≤n﹣1，ak+1+ak﹣1＞2ak恒成立，则称数列A为“U﹣数列”． （1）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；
（2）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，an中，a1=1，an=2017，求n的最大值； （3）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，
，记
，其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs这s
个数中最大的数，求M的最小值．
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2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．（4分）计算
的结果是 1 ．
=1． =1，
【分析】由n→+∞，→0，即可求得【解答】解：当n→+∞，→0，∴故答案为：1．
【点评】本题考查极限的运算，考查计算能力，属于基础题．
2．（4分）已知集合A={1，2，m}，B={3，4}，若A∩B={3}，则实数m= 3 ． 【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A={1，2，m}，B={3，4}，A∩B={3}， ∴实数m=3． 故答案为：3．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
3．（4分）已知
，则
= ﹣ ．
【分析】由已知利用诱导公式即可化简求值得解． 【解答】解：∵∴
=
， ．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
4．（4分）若行列式
，则x= 2 ．
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【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值． 【解答】解：∵
∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1 ∴x=2 故答案为：2
【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．
5．（4分）已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是6 ．
【分析】由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式 由此能求出x+y．
【解答】解：∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式 解得 x=4，y=2， ∴x+y=6． 故答案为：6．
【点评】本题考查两数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意增广矩阵的合理运用．
6．（4分）在
的二项展开式中，常数项等于 ﹣160 ．
， ，
，
，则x+y=
，
【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项． 【解答】解：展开式的通项为Tr+1=令6﹣2r=0可得r=3 常数项为（﹣2）3故答案为：﹣160
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x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r
=﹣160
【点评】本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题．
7．（5分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是
．
【分析】分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可． 【解答】解：基本事件共6×6个，
点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个， 故P=
=
． ．
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题．
8．（5分）数列{an}的前n项和为Sn，若点（n，Sn）（n∈N*）在函数y=log2（x+1）的反函数的图象上，则an= 2n﹣1 ．
【分析】先利用点（n，Sn）都在f（x）的反函数图象上即点（Sn，n）都在f（x）的原函数图象上，得到关于Sn的表达式；再利用已知前n项和为Sn求数列{an}的通项公式的方法即可求数列{an}的通项公式； 【解答】解：由题意得n=log2（Sn+1）⇒sn=2n﹣1． n≥2时，an=sn﹣sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1， 当n=1时，a1=s1=21﹣1=1也适合上式， ∴数列{an}的通项公式为an=2n﹣1； 故答案为：2n﹣1
【点评】本小题主要考查反函数、利用已知前n项和为Sn求数列{an}的通项公式的方法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
9．（5分）在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为 ．
【分析】由sinA、sinB、sinC依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosB，把得出关系式代入并利用基
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本不等式求出cosB的范围，利用余弦函数的性质可求B的最大值． 【解答】解：∵在△ABC中，sinA、sinB、sinC依次成等比数列， ∴sin2B=sinAsinC，
利用正弦定理化简得：b2=ac， 由余弦定理得：cosB=号），
则B的范围为（0，故答案为：
．
]，即角B的最大值为
．
=
≥
=（当且仅当a=c时取等
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．
10．（5分）抛物线y2=﹣8x的焦点与双曲线曲线的两条渐近线的夹角为
．
，
﹣y2=1的左焦点重合，则这条双
【分析】由已知条件推导出a2+1=4，从而得到双曲线的渐近线方程为y=由此能求出这条双曲线的两条渐近线的夹角．
【解答】解：∵抛物线y2=﹣8x的焦点F（﹣2，0）与双曲线重合，
∴a2+1=4，解得a=
，
，
，
﹣y2=1的左焦点
∴双曲线的渐近线方程为y=
∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为故答案为：
．
【点评】本题考查双曲线的两条渐近线的夹角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．
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11．（5分）已知函数
（x）=f（x+α）为奇函数，则α的值为
，x∈R，设a＞0，若函数g
．
【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出结果． 【解答】解：函数==s
，
为奇函数，
，
，
函数g（x）=f（x+α）=则：解得：故答案为：
（k∈Z），
，
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．
12．（5分）已知点C、D是椭圆则实数λ的取值范围为
上的两个动点，且点M（0，2），若 ．
，
【分析】设直线CD的方程，代入椭圆方程，由△≥0，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得λ的取值范围．
【解答】解：假设CD的斜率存在时，设过点M（0，2）得直线方程为y=kx+2， 联立方程
，整理可得（1+4k2）x2+16kx+12=0，
设C（x1，y1），N（x2，y2），则△=（16k）2﹣4×（1+4k2）×12≥0，整理得k2≥， x1+x2=﹣
，x1x2=
，（*）
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由
，可得，x1=λx2代入到（*）式整理可得
==，
由k2≥，可得4≤当M和N点重合时，λ=1，
≤，解可得＜λ＜3且λ≠1，
当斜率不存在时，则D（0，1），C（0，﹣1），或D（0，1），C（0，﹣1），则λ=或λ=3
∴实数λ的取值范围故答案为：
．
．
【点评】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）在复平面内，复数A．第一象限
B．第二象限
对应的点位于（ ） C．第三象限
D．第四象限
对应的点的坐标，则答案可
【分析】直接由复数的除法运算化简，求出复数求．
【解答】解：∵∴复数故选：C．
=
，
对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），位于第三象限．
【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
14．（5分）给出下列函数：①y=log2x；②y=x2；③y=2|x|；④y=arcsinx．其中图象关于y轴对称的函数的序号是（ ） A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
【解答】解：①y=log2x的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数
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为非奇非偶函数；
②y=x2；是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件． ③y=2|x|是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．
④y=arcsinx是奇函数，图象关于y轴不对称，不满足条件， 故选：B．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键
15．（5分）“t≥0”是“函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【分析】t≥0⇒△=t2+4t≥0⇒函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点，函数（fx）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t2+4t≥0⇒t≥0或t≤﹣4．由此能求出结果．
【解答】解：t≥0⇒△=t2+4t≥0⇒函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点，
函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t2+4t≥0⇒t≥0或t≤﹣4． ∴“t≥0”是“函数f（x）=x2+tx﹣t在（﹣∞，+∞）内存在零点”的充分非必要条件． 故选：A．
【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
16．（5分）设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•
=0，
•
•
=0，
=0，用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积，则
S1+S2+S3的最大值是（ ）
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A． B．2 C．4 D．8
【分析】由题意可知，三棱锥的顶点的三条直线AB，AC，AD两两垂直，可以扩展为长方体，对角线为球的直径，设出三度，表示出面积关系式，然后利用基本不等式，求出最大值．
【解答】解：设AB=a，AC=b，AD=c，
因为AB，AC，AD两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a2+b2+c2=4R2=4
所以S△ABC+S△ACD+S△ADB=（ab+ac+bc ）≤（a2+b2+c2）=2 即最大值为：2 故选：B．
【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体，基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解题的关键．
三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．（14分）如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．
（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；
（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？
【分析】（1）由题意设长方形场地的宽为x，则长为L﹣3x，表示出面积y；由x＞0，且l﹣3x＞0，可得函数的定义域；
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（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的面积最大值，从而求解． 【解答】解：（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x， 它的面积y=x（l﹣3x）；
由x＞0，且l﹣3x＞0，可得函数的定义域为（0，l）； （2）y=x（l﹣3x）=×3x（1﹣3x）≤×（当x=时，这块长方形场地的面积最大， 这时的长为l﹣3x=l，最大面积为
．
）2=
，
【点评】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．
18．（14分）如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点． （1）求圆锥的体积；
（2）求异面直线SO与PA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
【分析】（1）推导出BS=5，从而SO=4，由此能求出圆锥的体积．
（2）取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角，由此能求出异面直线SO与PA所成角． 【解答】（本题满分（14分），第1小题满分（7分），第2小题满分7分） 解：（1）由题意，π•OA•SB=15π， 解得BS=5，…（2分） 故从而体积
…（4分）
．…（7分）
第12页（共18页）
（2）如图，取OB中点H，连结PH、AH． 由P是SB的中点知PH∥SO，
则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角．…（10分） ∵SO⊥平面OAB，∴PH⊥平面OAB，∴PH⊥AH． 在△OAH中，由OA⊥OB，得在Rt△APH中，∠AHP=90 O，则
，
．…（14分）
，
，…（11分） …（12分）
∴异面直线SO与PA所成角的大小
【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
19．（14分）已知函数⊆A．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：函数f（x）是奇函数但不是偶函数．
【分析】（1）由对数的真数大于0，可得集合A，再由集合的包含关系，可得a的不等式组，解不等式即可得到所求范围；
（2）求得f（x）的定义域，计算f（﹣x）与f（x）比较，即可得到所求结论． 【解答】解：（1）令因为B⊆A，所以解得﹣1≤a≤0，
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的定义域为集合A，集合B=（a，a+1），且B
，解得﹣1＜x＜1，所以A=（﹣1，1）， ，
即实数a的取值范围是[﹣1，0]；
（2）证明：函数f（x）的定义域A=（﹣1，1），定义域关于原点对称， f（﹣x）=ln而
，=ln（
）﹣1=﹣ln，所以
=﹣f（x），
，
所以函数f（x）是奇函数但不是偶函数．
【点评】本题考查函数的定义域和集合的包含关系，考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法，考查运算能力，属于基础题．
20．（16分）设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点． （1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；
（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程； （3）若
，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．
【分析】（1）根据题意，由抛物线的方程分析可得p的值，即可得答案； （2）根据题意，设直线的方程为x=my+b，分m=0与m≠0两种情况讨论，分析m的取值，综合可得m可取的值，将m的值代入直线的方程即可得答案； （3）设直线AB：x=my+b，将直线的方程与抛物线方程联立，结合OQ⊥AB，由根与系数的关系分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，抛物线Ω的方程为y2=4x， 则p=2，
故抛物线Ω的焦点到准线的距离为2； （2）设直线l：x=my+b
当m=0时，x=1和x=9符合题意；
当m≠0时，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2． △=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m， 所以
，
第14页（共18页）
，
所以线段AB的中点M（2m2+b，2m） 因为kAB•kCM=﹣1，所以
，
，得b=3﹣2m2
所以△=16（m2+b）=16（3﹣m2）＞0，得0＜m2＜3 因为
，所以m2=3（舍去）
综上所述，直线l的方程为：x=1，x=9
（3）设直线AB：x=my+b，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2 △=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4b 所以
b=0时，直线AB过原点，所以Q（0，0）； b=4时，直线AB过定点P（4，0） 设Q（x，y），因为OQ⊥AB， 所以
综上，点Q的轨迹方程为x2﹣4x+y2=0
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，（2）中注意设出直线的方程，并讨论m的值．
21．（18分）若数列A：a1，a2，…，an（n≥3）中
（1≤i≤n）且对任意
（x≠0），
，得b=0或b=4
，
的2≤k≤n﹣1，ak+1+ak﹣1＞2ak恒成立，则称数列A为“U﹣数列”． （1）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；
（2）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，an中，a1=1，an=2017，求n的最大值； （3）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，
，记
，其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs这s
第15页（共18页）
个数中最大的数，求M的最小值．
【分析】（1）根据“U﹣数列”的定义可得：x=1时，
；x=2时，
；
x≥3时，，解出即可得出．
（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：ak+1+ak﹣1＞2ak⇔ak+1﹣ak＞ak﹣ak﹣1．对任意的1≤i≤n﹣1，令bi=ai+1﹣ai，可得bi∈Z且bk＞bk﹣1（2≤k≤n﹣1），故bk≥bk﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．当a1=1，an=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，利用裂项求和方法可得bi≥i﹣1．（2≤i≤n﹣1）．即bi≥i﹣1，此时an﹣a1=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）=bn﹣1+bn﹣2+…+b1≥
，即
，解得n≤65．另一方面，取bi=i﹣1（1
≤i≤64），可得对任意的2≤k≤64，bk＞bk﹣1，故数列{an}为“U﹣数列”，进而得出．
（3）M的最小值为
，分析如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，一
方面：由（*）式，bk+1﹣bk≥1，bm+k﹣bk=（bm+k﹣bm+k﹣1）+（bm+k﹣1﹣bm+k﹣2）+…+（bk+1﹣bk）≥m．此时有：a1+a2m﹣（am+am+1）≥m（m﹣1），即（a1+a2m）≥（am+am+1）+m（m﹣1）可得M≥
．又
，可得
，
另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，bm﹣1=﹣1，bm=0，bm+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，ak+1+ak﹣1﹣2ak=（ak+1﹣ak）﹣（ak﹣ak﹣1）=bk﹣bk﹣1=1＞0，取am=1，则am+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞am，am+1＜am+2＜…＜a2m，且a1=am﹣（b1+b2+…+bm﹣1）=m（m﹣1）+1．此时
．即可得出．
【解答】解：（1）x=1时，，所以y=2或3；
x=2时，，所以y=4；
第16页（共18页）
x≥3时，，无整数解；
，
或
．
所以所有可能的x，y为
（2）n的最大值为65，理由如下：
一方面，注意到：ak+1+ak﹣1＞2ak⇔ak+1﹣ak＞ak﹣ak﹣1．
对任意的1≤i≤n﹣1，令bi=ai+1﹣ai，则bi∈Z且bk＞bk﹣1（2≤k≤n﹣1），故bk≥bk﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．（*） 当
a1=1，an=2017
时，注意到
b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，得
（2≤i≤n﹣1）
即bi≥i﹣1，此时an﹣a1=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）=bn﹣1+bn﹣2+…+b1≥0+1+2+…+（n﹣2）=即
，（**）
，解得：﹣62≤n≤65，故n≤65．
另一方面，为使（**）取到等号，所以取bi=i﹣1（1≤i≤64），则对任意的2≤k≤64，bk＞bk﹣1，故数列{an}为“U﹣数列”， 此时由（**）式得
，
所以a65=2017，即n=65符合题意． 综上，n的最大值为65． （3）M的最小值为
，证明如下：
当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，
一方面：由（*）式，bk+1﹣bk≥1，bm+k﹣bk=（bm+k﹣bm+k﹣1）+（bm+k﹣1﹣bm+k﹣2）+…+（bk+1﹣bk）≥m．此时有：
（a1+a2m）﹣（am+am+1）=（a2m﹣am+1）﹣（am﹣a1） =（bm+1+bm+2+…+b2m﹣1）﹣（b1+b2+…+bm﹣1） =（bm+1﹣b1）+（bm+2﹣b2）+…+（b2m+1﹣bm﹣1） ≥m+m+…+m=m（m﹣1）．
即（a1+a2m）≥（am+am+1）+m（m﹣1） 故
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因为，所以，
另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，bm﹣1=﹣1，bm=0，bm+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，ak+1+ak﹣1﹣2ak=（ak+1﹣ak）﹣（ak﹣ak﹣1）=bk﹣bk﹣1=1＞0 取am=1，则am+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞am，am+1＜am+2＜…＜a2m， 且
此时．
综上，M的最小值为．
【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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