工程测试作业

第2章 信号分析基础习题

1． 求信号x(t)ecos22t(t)的周期，并绘出时域图形。

2解： 2cos1cos2

x(t)ecos22te1cos4t2ee12cos4t2

cos4t是一频率为2，周期为12的周期函数X(t)也是一频率为2，周期为12的周期函数，幅值e12

3x(n)cos(n)78是不是周期性的，如果是，求出其周期，并给出波形图。 2． 确定序列解：

因为ω=3π/7

T=2π/3π/7=14/3，其周期为14。

所以是周期函数。

3． 已知余弦信号x1(t)cos(0t)，x2(t)cos(0t)，试给出其幅值谱与相位谱，并作比较。

解：x1(t)cos(0)cos0tcossin0tsin

22A1cossin1;幅值是

相位谱是

1arctansincos

x2(t)cos(0)cos0tcossin0tsin

22A2cossin1; 幅值是

相位谱是

2arctansincos

x1(t)与x2(t)幅值相等，相位相反。

4． 如习题图1所示，已知周期矩形脉冲信号在一个周期内的表达式为：

Ax(t)0(t(t2)2，试求其幅值谱与相位谱，并研究在时移τ0情况下的相位谱。 )x(t)Ax(t-t0)AT0-T-τ/20τ/2Tt习题4-T0-τ/2+t0τ/2+t0Tt

解：1)．取x(t)的一个周期[-τ/2，T-τ/2]，表达式为：

Ax(t)0((2t2)tT)22

根据傅里叶级数有

21a02T2x(t)dtA2，

02T

an1T22x(t)cosn0tdt122Asinn02sinn02)Acosn0tdt(n0A2sinn022Ansinn0n21

bnT22x(t)sinn0tdt0

2A2An22Ananbn|an|sinnn20幅值谱：

n1,3,奇数n2,4,偶数

相位谱：

narctgbn0an

0.70.60.50.4An0.30.20.10123456w7891011

2)．在时移τ0情况下取x(t)的一个周期[-τ+t0，τ+t0]，表达式为：

0x(t)A0(t0t(22t0)t0)2t0t(t0tt0)2

根据傅里叶级数有

1a02A202，T

t0t0x(t)dt

an1t0t0x(t)cosn0tdt1t022t0Acosn0tdtAsinn0(2t0)sinn0(2t0)()n0bn1n02Asincosn0t0n02t0t0x(t)sinn0tdt21t0t02Asinn0tdt

n0A2At0)cosn0(t0)sinsinn0t0cosn0(n022n20

2A2An22anbnsinnn20Ann1,3,奇数n2,4,偶数幅值谱：

相位谱：

narctansinn0t0bnarctancosntarctan(tann0t0)n0t0an00

Ax(t)05． 如习题图2所示，矩形脉冲信号(t其它2)，求其频谱，并研究当时移t=τ0时的频谱特征。

f(t)Af(t-t0)A-τ/2τ/2tt0-τ/2+t0τ/2+t0t

解：1). 无时移：

F()f(t)esinjtdt22Aejtdt22AcostdtAsin2Asin22AASa()222

幅值谱：

X()Re2Im2ASa()

相位谱：

()arctanIm()0Re()

2). 在时移t0情况下，利用傅立叶变换的时移性，若：x(t) ←→ X(f)，则：

j2ft0x(tt0)eXf：

2F()F(f(tt0))ej2ft0X(f)Aejt0Sa()ASa(2)(cost0jsint0)

ReASa(2)cost0,ImASa(2)sint0

幅值谱：

X()Re2Im2ASa(2)

相位谱：

()arctansint0Im()arctant0Re()cost0

6． 已知矩形单脉冲信号x0(t)的频谱为x0()Asinc(/2)，试求习题图3所示的矩形信

号的频谱。

f(t)A-T解：根据频谱叠加和时移定理：

-τ/2τ/2Tt

若，f(x1) F(ω1), f(x2) F(ω2), 则有：f(x1)+f(x2) F(ω1)+F(ω2)

F[f(t)]F[x0(t)]F[x0(tT)]F[x0(tT)]Asinc(/2)Asinc(/2)ejTAsinc(/2)ejTAsinc(/2)(1ejTejT)Asinc(/2)(12cosT)

7． 已知信号x(t)1sin0t2cos30t，试用Fourier级数展开式求其复数形式的幅值谱与相位谱，并绘出图形作比较。

解：根据Fourier级数展开式，有：a0=1, b1=1 (n=1)，a3=2 (n=3)

另：Cn=(an-jbn)/2,

cnRe2CnIm2Cn(an2)2(bn2)2

c1(a12)2(b12)21/2

c3(a32)2(b32)21

1arctanImC11arctan02ReC1

3arctanImC30arctan02ReC3

420-2-4-6-4-2024621.510.50-6-4-20246810

8． 已知信号x(t)Acos(2f0t)4，试绘图表示：(1) Fourier级数实数形式的幅值谱、相位谱；(2) Fourier级数复数形式的幅值谱、相位谱；(3) 幅值谱密度、能量谱密度；(4) 功率谱密度。

4解：(1).

x(t)Acos(0t)Acos0tcos4Asin0tsin4

anAcos4,AnbnAsin4A2cos24A2sin24A;narctanAsin4Acos44

Aj(0tA)j(0t)j0tjj0tj44)44)x(t)(e(eeee 22e(2).

AjFne4,2FnAje42

复数形式的幅值谱：A/2，相位谱：-/4

(3). （题目有问题！）

(4). 功率谱：An2=|Fn|2=A2/4

常用公式

 牛顿-莱布尼兹定理：若函数f(x)在区间[a, b]连续，且已知F(x)是它的一个原函数，则有：

baf(x)dxF(b)F(a)

sinax,acosaxa

 根据三角函数不定积分公式：

cosaxdxsinaxdx 根据三角函数和差化积公式：sin()sincoscossin

cos()coscossinsin

sinsin2sin2cos2

coscos2sin2sin2

 欧拉公式：

ejcosjsin

ejcosjsin

cosn0t(ejn0tejn0t)/2sinn0t(ejn0tejn0tjjn0t)/2j(eejn0t)2