2009年上海市春季高考数学试卷及答案

2009年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷

1．函数ylog2(x1)的定义域是 . 2．计算：(1i)2 （i为虚数单位）. 3．函数ycosx的最小正周期T . 24．若集合Ax|x|1，集合Bx0x2，则AB . 5．抛物线y2x的准线方程是 .

6．已知a3,b2. 若ab3，则a与b夹角的大小为 .

x2y21右焦点的直线方程为 . 7．过点A(4,1)和双曲线

9168．在△ABC中，若AB3,ABC75,ACB60，则BC等于 . 9．已知对于任意实数x，函数f(x)满足f(x)f(x). 若方程f(x)0有2009个实数解， 则这2009个实数解之和为 .

10．一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘. 若每敲1次在屏幕上出现一个 字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey” 的概率为 （结果用数值表示）.

11．以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数

   1 轴上截取与闭区间[0,1]对应的线段，对折后（坐标1

1 0 2

所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作

（例如在第一次操作完成后，原来的坐标

1311原来的坐标变成1，等等）. 、变成，

4422 那么原闭区间[0,1]上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与

1重合的点所对应的坐标是 ；原闭区间[0,1]上（除两个端点外）的点， 在第n次操作完成后（n1），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为 .

二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 4分，否则一律得零分.

12．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的 [答] ( ) （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.

（C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.

13．过点P(0,1)与圆x2y22x30相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线 方程是 [答] ( ) （A）x0. （B）y1. （C）xy10. （D）xy10.

第 页 共 7 页 1

3x1,x0,14．已知函数f(x)若fx03，则x0的取值范围是 [答] ( )

log2x,x0.0x08. （D）x00或0x08. （A）x08. （B）x00或x08. （C）

15．函数y11x2(1x0)的反函数图像是 [答] ( )

y 1 y 1 y y 1 1 1 O x O 1 x O 1 x （C） （D） O x 1 （A） （B） 三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域

（对应的题号）内写出必要的步骤. 16. (本题满分12分)

如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，A1AC

C1A1CACB角为

2，AA1C6，侧棱BB1与底面所成的

B13，AA143，BC4. 求斜三棱柱ABCA1B1C1

的体积V.

17. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第A2小题满分8分.

已知数列an的前n项和为Sn，a11，且3an12Sn3（n为正整数）. （1）求数列an的通项公式； （2）记Sa1a2an.若

B

n，kSSn恒成立，求实数k的最大

值.

18. (本题满分14分)

我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径R34百公里）的中心F为一个焦点的椭圆. 如图，已知

y探测器的近火星点（轨道上离火星表面

最近的点）A到火星表面的距离为8百公里，远火星点（轨道上离火星表面最

远的点）B到火星表面的距离为800百

第 页 共 7 页 BO FAx | 2

公里. 假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为ab百公里时进行变轨，其中a、b分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到1百公里）.

19. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.

如图，在直角坐标系xOy中，有一组对角线长为an的正方形AnBnCnDn(n1,2,)， ．．．其对角线BnDn依次放置在x轴上（相邻顶点重合）. 设an是首项为a，公差为d(d0)的等差数列，点B1的坐标为(d,0). （1）当a8,d4时，证明：顶点

y A1、A2、A3不在同一条直线上；

（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点

An均落在抛物线y22x上；

（3）为使所有顶点An均落在抛物线

O B1A1A2 B2D1C2B3D2A3C1D3 C3xy2px(p0)上，求a与d之间

2所应满足的关系式.

20. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分.

设函数fn()sinn(1)ncosn,04，其中n为正整数.

（1）判断函数f1()、f3()的单调性，并就f1()的情形证明你的结论； （2）证明：2f6()f4()cos4sin4cos2sin2；

（3）对于任意给定的正整数n，求函数fn()的最大值和最小值.

一．（第1至11题）每一个空格正确的给5分，否则一律得零分.

1.(1,). 2. 2i. 3. 4. 4. x1x2. 5. x6.

1. 425. 7. yx5. 8. 6. 9. 0. 10. 6. 326j1311. ,；n,j为1,2n中的所有奇数.

442 二．（第12至15题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.

第 页 共 7 页

3

题 号 代 号 三．（第16至20题）

12 B 13 C 14 A 15 C C1A1B116. [解] 在Rt△AA1C中，ACAA1tanAA1C

4334. „„ 3分 3作B1H平面ABC，垂足为H，则B1BH3，

CAHB „„ 6分

在Rt△B1BH中，B1HBB1sinB1BH

36. „„ 9分

321 VSABCB1H44648. „„ 12分

2AA1sin4317. [解] （1）3an12Sn3， ①  当n2时，3an2Sn13. ② 由 ① - ②，得3an13an2an0. an11an3(n2). „„ 3分

又 a11，3a22a13，解得 a2  数列an是首项为1，公比为q ana1qn11. „„ 4分 31的等比数列. 313n1（n为正整数）. „„ 6分

（2）由（1）知，Sa113， „„ 8分

121q13n11na11qn313 Sn1. „„ 10分

11q2313nn3311 由题意可知，对于任意的正整数n，恒有k1，解得 k1.

2233n21  数列1单调递增， 当n1时，数列中的最小项为，

33第 页 共 7 页 4

22，即实数k的最大值为. „„ 14分

3322yx18. [解] 设所求轨道方程为221(ab0)，ca2b2.

ab34,ac834，a438,c396. „„ 4分 ac800  必有k 于是 b2a2c235028.

y2x21. „„ 6分  所求轨道方程为

19184435028 设变轨时，探测器位于P(x0,y0)，则

2x02y022x0y01， ，ab8197.1519184435028 解得 x0239.7，y0156.7（由题意）. „„ 10分  探测器在变轨时与火星表面的距离为

2(x0c)2y0R187.3. „„ 13分

答：探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里. „„ 14分 19. [证明]（1）由题意可知，A18,4, kAA1212A218,6,A332,8，

641861,kAA. „„ 3分 1885321872323 kAAkAA，

 顶点A1,A2,A3不在同一条直线上. „„ 4分 （2）由题意可知，顶点An的横坐标xnda1a2an1 顶点An的纵坐标yn1an2(n1)2， 21an2(n1). „„ 7分 2  对任意正整数n，点Anxn,yn的坐标满足方程y22x，

 所有顶点An均落在抛物线y22x上. „„ 9分 （3）[解法一] 由题意可知，顶点An的横、纵坐标分别是

111a(n1)a(n1)2d,yna(n1)d 222a(da)22 消去n1，可得 xnyn. „„ 12分 dd2d 为使得所有顶点An均落在抛物线y22px(p0)上，则有

xnd第 页 共 7 页 5

d22p,  解之，得 d4p,a8p. „„ 14分

a(da)d0.2d  a、d所应满足的关系式是：a2d. „„ 16分 1xda,12 [解法二] 点A1x1,y1的坐标为 1y1a.2  点A1x1,y1在抛物线y22px上，

y12a2  p. „„ 11分 2x14(2da)33xad,222 又点A2x2,y2的坐标为 且点A2x2,y2也在抛物线上，

1y2(ad).2 a0,d0，把点A2x2,y2代入抛物线方程，解得 a2d. „„ 13分

dd 因此，p， 抛物线方程为y2x.

42(n1)2112d,xnd2a(n1)a2(n1)d2 又 

1n1yn[a(n1)d]d.22d  所有顶点Anxn,yn落在抛物线y2x上. „„ 15分

2  a、d所应满足的关系式是：a2d. „„ 16分 20. [解] （1）f1()、f3()在0,上均为单调递增的函数. „„ 2分

4 对于函数f1()sincos，设 12,1、20,，则 41sin2cos2cos1， f1(1)f1(2)sin  sin1sin2,cos2cos1， f11f12,函数f1()在0,上单调递增. „„ 4分 4（2） 原式左边

 2sincossinsincoscossincos

64 2sinco6ssinco4s

22422444222cos2. „„ 6分 1sin 又原式右边cos2sin22cos22.

 2f6()f4()cos4sin4cos2sin2. „„ 8分

6

第 页 共 7 页

（3）当n1时，函数f1()在0,上单调递增，

4  f1()的最大值为f10，最小值为f101.

4 当n2时，f21， 函数f2()的最大、最小值均为1.

 当n3时，函数f3()在0,上为单调递增. 4  f3()的最大值为f30，最小值为f301.

4 当n4时，函数f4()112sin2在0,上单调递减，

421  f4()的最大值为f401，最小值为f4. „„ 11分

42 下面讨论正整数n5的情形：

 当n为奇数时，对任意1、20,且12,4

 fn(1)fn(2)sinn1sinn2cosn2cosn1， 以及 0sin1sin21,0cos2cos11，

 sinn1sinn2,cosn2cosn1，从而 fn(1)fn(2).

  fn()在0,上为单调递增，则

4 fn()的最大值为fn0，最小值为f401. „„ 14分

4 当n为偶数时，一方面有 fn()sinncosnsin2cos21fn(0). 另一方面，由于对任意正整数l2，有

2l22l2 2f2l()f2l2()cossincossin0，

22 fn()111fn2()nf2()nfn. 21142222n1 函数fn()的最大值为fn(0)1，最小值为fn2.

42 综上所述，当n为奇数时，函数fn()的最大值为0，最小值为1.

1 当n为偶数时，函数fn()的最大值为1，最小值为2. „„ 18分

2第 页 共 7 页

7

n