数的起源和发展

［摘要］文章讨论了新旧石器时代数的起源问题以及数的发展及其进化史，重点介绍了数的四次扩张及由数引起的第一、二次数学危机。 [关键词]数字；混凝土摘要序列数学危机；符号数字系统

数是人类日常生活中不可缺少的内容，是我们表示数量关系的尺度。从远古时期以绳打结、刻痕的记数方式到近现代四元数的产生，经历了漫长而复杂的历史进程，可以说数的起源和发展已成为人类文明的一个重要组成部分。一、数的起源

探究数的起源，不仅是对对数起源的理性思维和简单直观的类比判断的一般描述，而且是对数起源的每一步进行追溯，研究数的概念是如何从模糊走向纯粹的。人类创造的自然数以1和2开头。因此，为了理解解数的起源，我们必须追溯1和2是如何在人们的思维中产生的。

旧石器时代早期的人类尚未完成由猿到人的转变，谈不上数的观念。要追溯数的起源，必须从旧石器时代晚期的二元对立观念的产生说起。因为只有对立观念产生，数才能起源，单个的事物是不能形成数的观念的。在对立统一规律中，一方相对于另一方而存在。数字中的1和2的关系也是如此，它们共存共亡，共生共灭。笔者认为，1和2是同时起源的，并且这一组对立形成之后，按一分为二对立原则不断扩大使用。也就是说，人脑思维的对立运动首先萌生了1和2这样两个基本的数的概念，然后才有可能发展和扩大去滋生更多的数。从这个意义上说数起源于二元对立的出现，二元对立观念是数的起源史上第一个里程碑。然而，此时人们远未产生纯粹的数的概念。

在新石器时代早期和中期，数字概念在继承旧石器时代二元对立概念的同时，向抽象迈出了一大步。在这一时期，彩陶装饰和神话是重要的象征形式，数字的概念也反映在其中。总的来说，在这个时候，数字的抽象程度还没有达到消除所有事物和现象在整个系统中具有相同地位的差异的高度。随着社会的发展，中期仰韶沟文化的彩陶纹样使数字的概念从造型走向抽象，形成了符号的抽象本质。符号的抽象已经完成了数字生成的一个重要步骤，但它尚未决定数字概念的最终生成。只有将无意识和无意识最初的“偶然并置”转化为有意识和有意识的安排，人们才能正式产生序列的概念。

因此，在古代的新、旧石器时代，数的起源历史经过了三个发展阶段，即从具象走向抽象，再从抽象走向序列。在“具象――抽象――序列”的发展过程中，数的观念的形成历史皆是通过艺术符号表达出来的。也就是说，数的发展还有待于外化为固定的符号表达方式，这就是数的观念起源历史的最后一步，它是与文字同步产生的。在许多数学史书中均指出，在文字产生之前，人类已形成数的概念，并开始记载数目，但此时的数并非抽象的数。从所属关系上来讲，数字是字，属于文字，是随着文字产生而形成的。

数字的符号表达从现有的文字资料中可以看出，世界上几个早期文明国家或地区在公元前有一个比较完整的文字体系，相应地也有书写的数字符号，即数字。例如公元前3400

年左右的古埃及象形数字、公元前2400年左右的巴比伦楔形数字、公元前1600年左右的中国甲骨文数字、公元前500年左右的希腊阿提卡数字、公元前500年左右的中国计算数字、公元前300年左右的印度婆罗门数字和年龄未知的玛雅数字等等，随着数字概念的发展，仅仅用数字记录和计算数字是很麻烦的，因此一些特殊的计数符号逐渐出现，形成数字。例如古希腊的阿提卡数和字母计数，罗马数，中国计算计数和密码，以及玛雅人 的符号记数、印度――阿拉伯数码等等。人们最初记数时并没有进位制，当结绳或书契记数时，有多大的数目就结多少个绳结或刻多少道痕迹。随着文明的进步，人们需要记载的数目越来越大。为了更简明地去记数，就产生了进位制。进位的方法是造新的数目符号代替原来同样大的数，数字的进位表示方法主要有三种：简单累数制、逐级命数制、乘法累数制。根据考古学家提供的证据表明，人类在5万年前就采用了一些记数方法，最早采用的进位制有二进制、三进制、五进制、十进制、二十进制、六十进制等。

数字是算术发展的基石，进而影响着整个数学的发展。各种算术知识的读物都有数字，在商业用品中也有很多数字符号，比如账单和账单。此外，在数学发展的萌芽期和初等数学时期，算术、代数、三角学、天文学和物理学都遇到了大量的计算问题。计算方法的优劣直接关系到各学科的发展水平，数字的计算与数字的表示密切相关。因此，计数法也在一定程度上反映了一个国家或地区的数学发展水平。 二、数的发展

纵观数概念的发展历史，人们在理解了自然数之后就知道了正分数。所谓分数是将两个自然数除以一个数所得的商。由于现实生活的需要，正整数不能满足表示某些事物的整体和部分之间关系的要求。例如，七个人分成三个猎物的数量是多少？这个要求不能用正整数表示。为了解决这些问题，会生成分数。中国古代数学著作《周笔算经》已经有了分数运算，而后来的中国古代数学名著《九章算术》第《方天》则给出了完整的分数运算算法和求最大公约数的方法。

为了使减法运算也在数系内通行无阻和表示相反意义的量，人们引进了负数的概念，其具体年代已无从考证，但负数产生的直接原因却是由于解方程的需要。中国人最早提出了负数并深刻地认识它，它大大促进了数学学科的进一步发展。中国的《九章算术》一书中记载了“正负开方术”，魏晋时期的中国古代大数学家

刘晖对负数的出现做出了非常自然的解释：“两种计算的得失是相反的，所以正数和负数应该被命名”，在计算中可以用红筹码表示正数，用黑筹码表示负数。印度数学家直到7世纪才开始使用负数。直到16和17世纪，在欧洲，大多数数学家都不承认它是一个数字，有些人称负数为“谬误”。为了表达没有对象的量，人们引入了零的概念。同时，中国也是最早承认“零”的国家之一。在刘晖的笔记《九章算术》中，“零”是一个数字，在计算中，它被表示为带有空格的“零”。印度人是第一个使用符号“0”的人。“0”是正数和负数的分界点。它也是解析几何中笛卡尔坐标轴上的原点。如果没有“0”，将没

有原点和坐标系，几何体建筑将解体。因此，数字的逐步改进和发展是为了满足人们的生活需要而产生的。

整数、分数统称为有理数。有理数的产生是数学史上数的第一次扩张。

公元前5世纪，古希腊是一个奴隶社会。当时，毕达哥拉斯学派证明了重要的数学定理，如毕达哥拉斯定理、三角形内角和180度。首先，它提出了黄金分割、正多边形和正多面体等概念，对古代数学的发展做出了巨大贡献。然而，毕达哥拉斯学派数学研究的主要目的不是寻找各种具体的数学规律，而是揭示数学规律的“普遍意义”，解释世界上的事物和现象。毕达哥拉斯学派认为，“任何数量都可以表示为两个整数的比率（即有理数）”。然而，该学派的成员希帕苏在公元前470年左右首次发现了不能用整数比率表示的数字。他画了一个边长为1的正方形，将其对角线长度设为X，并从毕达哥拉斯定理中得到X=2，但这个X不能用两个整数的比率来表示。希帕苏提出的问题和这个新数字的出现，使毕达哥拉斯学派陷入恐慌，动摇了当时被视为神圣真理的信念，动摇了这个学派的哲学核心——一切都依赖整数。毕达哥拉斯关于比例和相似性的所有理论都基于这个假设。新数字的出现使大多数已建立的几何理论失效。正方形的对角线不能没有长度，这是任何人都承认的事实，但正是这种直观而具体的对角线的客观存在不同于毕达哥拉斯的对角线 代的数学观念之间发生了短时间内不可调和的矛盾和冲突，这个“逻辑上的丑闻”使得他们对新数的发现严守秘密，这个数后来被叫做“无理数”，它的发现引发了“第一次数学危机”。大约在公元前370年，希腊数学家欧多克索斯以及毕达哥拉斯的学生阿尔希塔斯巧妙地消除了这一危机，但要从理论上彻底克服这一危机还有待于现代实数理论的建立。在实数理论中，无理数可以定义为有理数的极限，从而又恢复了毕达哥拉斯的“万物皆依赖于整数”的思想。无理数的引进，是数学史上数的第二次扩张，它的引入，排除了第一次数学危机，使无理数登上数学的舞台。这充分说明了科学是批判的、疑问的、创造的、严谨的和求实的。第一次数学危机表明，希腊的数学已由经验科学变为演绎科学。 十七世纪中旬，牛顿和莱布尼发明了微积分，但由于实数理论不完善，微积分学不能严格标准化，导致了“第二次数学危机”。直到19世纪中叶，当魏尔斯特拉斯、坎托和达德金建立实数理论时，第一次和第二次数学危机才完全消除。

在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度。许多数学家认为数学成就已经登峰造极，数的形式不会有什么新的发现了，但在解方程时，常遇到负数开平方的问题，为了解决这一问题，引入了虚数，虚数的出现是数学史上的一件大事，这是数的第三次扩张，此次扩张放弃了实数的大小顺序关系，这是非常有意义的。因为复数不仅能表示量的大小，还能表明方位，有极大的实用价值。大约到了19世纪初叶，数学家们考虑能不能再进一步地扩充数系？确切地说，是不是可以把复数本身作为更广泛的数系的特点，而且这类数系也是从实际出发，但借助了两个以上不同的单位而建立起来的，且还能保持全部的基本运算规律呢？答案是否定的，原则上不可能再进一步扩充数系并且使得算术的全部基本规律仍被保持。但是，若舍去其中几条，那么数的第四次扩张是可能的。在数学史上，出现了两种途径的第四次扩张。第一种扩张大约在1843年，由英国数

学家哈密顿提出了四元数。四元数的发现具有十分重大的意义，其转变了人们关于运算的传统观念，开阔了思路，促使数学家们离开实数和复数固有的性质去开拓新的数学领域，导致了线性代数和线性结合代数的诞生。后来数学家凯莱在1845年又提出了八元数，德国数学家格拉斯曼在1844年提出了一种有几个分量的所谓的超复数。此时，数学家们已从扩大数系的方向转到了对数系内部的研究上去了。第二种扩张是在1960年秋，美国数学家阿伯拉罕鲁宾逊用数理逻辑的方法将“无穷小”和“无穷大”作为“数”深入到实数系中，使得实数域r扩充到了超实数域r＊。人们有趣地发现，曾被柯西从数系中排除出去的无穷小，经过否定之否定又回到数系中来，并占据了合法的席位。 参考

［1］张顺燕.数学的美与理［m］.北京：北京大学出版社，2021.［2］李文林.数学史概论［m］.北京：高等教育出版社，2021.