Matlab求解线性方程组、非线性方程组

A=［5 0 4 2;1 —1 2 1；4 1 2 0；1 1 1 1］； ％矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格 B=［3；1;1;0］

X=zeros（4，1）；%建立一个4元列向量 X=linsolve（A，B)

diff（fun,var，n）:对表达式fun中的变量var求n阶导数。

例如：F=sym（'u（x，y）*v（x,y)’）； %sym(）用来定义一个符号表达式 diff（F); %matlab区分大小写

pretty(ans） ％pretty（）：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式

非线性方程求解 fsolve（fun,x0,options）

其中fun为待解方程或方程组的文件名； x0位求解方程的初始向量或矩阵； option为设置命令参数 建立文件fun.m： function y=fun（x)

y=［x(1）-0。5*sin（x(1）)-0。3*cos（x（2））, .。. x（2) — 0.5*cos（x(1)）+0。3＊sin（x(2)）］；

>〉clear;x0=[0。1,0。1]；fsolve（@fun，x0,optimset（’fsolve'）） 注：

.。。为续行符

m文件必须以function为文件头，调用符为@;文件名必须与定义的函数名相同；fsolve（）主要求解复杂非线性方程和方程组,求解过程是一个逼近过程。

Matlab求解线性方程组 AX=B或XA=B

在MATLAB中,求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\\”。如:

X=A\\B表示求矩阵方程AX＝B的解； X＝B/A表示矩阵方程XA=B的解.

对方程组X＝A\\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理. 如果矩阵A不是方阵,其维数是m×n，则有： m＝n 恰定方程，求解精确解； m〉n 超定方程,寻求最小二乘解;

m〈n 不定方程,寻求基本解，其中至多有m个非零元素。 针对不同的情况,MATLAB将采用不同的算法来求解。

一．恰定方程组

恰定方程组由n个未知数的n个方程构成，方程有唯一的一组解，其一般形式可用矩阵,向量写成如下形式： Ax=b 其中A是方阵，b是一个列向量; 在线性代数教科书中，最常用的方程组解法有： （1）利用cramer公式来求解法； （2）利用矩阵求逆解法，即x=A-1b; （3)利用gaussian消去法; （4）利用lu法求解。

一般来说，对维数不高，条件数不大的矩阵，上面四种解法所得的结果差别不大。前三种解法的真正意义是在其理论上，而不是实际的数值计算。MATLAB中，出于对算法稳定性的考虑，行列式及逆的计算大都在lu分解的基础上进行。 在MATLAB中,求解这类方程组的命令十分简单，直接采用表达式：x=A\\b。 在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后，就对它进行lu分解，并最终

给出解x；若矩阵A的条件数很大，MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性. 如果矩阵A是奇异的，则Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩阵A接近奇异时，MATLAB将给出警告信息；如果发现A是奇异的，则计算结果为inf，并且给出警告信息;如果矩阵A是病态矩阵，也会给出警告信息。 注意：在求解方程时，尽量不要用inv（A)＊b命令，而应采用A\\b的解法。因为后者的计算速度比前者快、精度高，尤其当矩阵A的维数比较大时。另外,除法命令的适用行较强，对于非方阵A，也能给出最小二乘解。 二．超定方程组

对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组.线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB中,利用左除命令(x=A\\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A)，所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快； 【例7】 求解超定方程组

A=[2 —1 3；3 1 —5;4 -1 1；1 3 —13] A= 2 —1 3 3 1 -5 4 -1 1 1 3 —13

b＝［3 0 3 —6］’; rank(A) ans= 3 x1=A\\b x1=

1。0000 2.0000 1。0000 x2=pinv(A)＊b x2= 1。0000 2.0000 1。0000 A＊x1-b ans= 1。0e—014 -0。0888 —0。0888 -0.1332 0

可见x1并不是方程Ax=b的精确解,用x2=pinv(A）*b所得的解与x1相同。 三．欠定方程组

欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。MATLAB将寻求一个基本解，其中最多只能有m个非零元素.特解由列主元qr分解求得。 【例8】 解欠定方程组

A＝[1 —2 1 1；1 -2 1 —1；1 —2 1 5] A= 1 —2 1 1 1 —2 1 -1 1 -2 1 —1 1 -2 1 5 b=［1 —1 5］’ x1=A\\b

Warning:Rank deficient，rank=2 tol=4.6151e-015 x1= 0 -0。0000 0 1。0000 x2=pinv（A）＊b x2= 0 -0。0000 0.0000 1。0000

四．方程组的非负最小二乘解

在某些条件下，所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的.虽然方程组可以得到精确解,但却不能取负值解。在这种情况下，其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义.在MATLAB中，求非负最小二乘解常用函数nnls，其调用格式为： （1)X=nnls(A，b）返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解过程被限制在x 的条件下;

（2）X=nnls（A,b，TOL)指定误差TOL来求解,TOL的默认值为TOL=max(size（A）)＊norm(A,1）＊eps，矩阵的－1范数越大,求解的误差越大；

（3）[X,W]=nnls（A，b） 当x（i)=0时，w(i)<0；当下x（i)>0时,w（i)0，同时返回一个双向量w。

【例9】求方程组的非负最小二乘解 A=[3.4336 —0.5238 0.6710 -0.5238 3.2833 —0。7302 0.6710 -0。7302 4。0261］； b=[—1.000 1.5000 2。5000］； [X,W］=nnls(A，b) X=

0 0.6563 0.6998 W= -3.6820 —0.0000 —0.0000 x1=A\\b x1= —0。3569 0。5744 0。7846 A＊X—b ans= 1.1258 0。1437 -0.1616 A*x1-b ans= 1。0e-0。15 —0。2220 0。4441 0