人教版
八年级数学
试题
四川省宜宾市2017-2018学年八年级（下）期末数学预测
试卷（解析版）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（注意：在试题卷上作答无效） 1．下列各式中，分式的个数有（ ）
．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果分母中含有字母则是分式，如果分母中不含有字母则不是分式． 【解答】解：式．
其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式． 故选：C．
【点评】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有字母． 2．化简
的结果是（ ） ，
，
，
这4个式子分母中含有字母，因此是分
A． B． C． D．
【分析】首先将分子、分母进行因式分解，然后根据分式的基本性质约分． 【解答】解：故选D．
【点评】本题考查因式分解及分式的约分，因式分解是约分的基础．
=
=
，
3．在一次科技知识竞赛中，两组学生成绩统计如下表，通过计算可知两组的方差为
=256．下列说法： 分数
甲组
人数
乙组
4
4
16
2
12
12
①两组的平均数相同；
②甲组学生成绩比乙组学生成绩稳定； ③甲组成绩的众数＞乙组成绩的众数；
④两组成绩的中位数均为80，但成绩≥80的人数甲组比乙组多，从中位数来看，甲组成绩总体比乙组好；
⑤成绩高于或等于90分的人数乙组比甲组多，高分段乙组成绩比甲组好． 其中正确的共有（ ） A．2种B．3种C．4种D．5种
【分析】分别利用平均数公式以及方差的意义和众数的定义以及中位数的定义分别分析得出即可．
【解答】解：①∵
=
=
（50×2+60×5+70×10+80×13+90×14+100×6）=80，
50 2
60 5
70 10
80 13
90 14
100 6
=172，
（50×4+60×4+70×16+80×2+90×12+100×12）=80，
∴两组的平均数相同，（故①选项正确）； ②∵
=172，
=256，
∴甲组学生成绩比乙组学生成绩稳定，（故②选项正确）； ③由甲组成绩的众数是90，乙组成绩的众数是70，
因此甲组成绩的众数＞乙组成绩的众数，（故③选项正确）； ④由中位数的定义可得：
两组成绩的中位数均为80，从中位数来看，甲组与乙组成绩一样好，（故④选项错误）； ⑤成绩高于或等于90分的人数乙组比甲组多，高分段乙组成绩比甲组好，（故⑤选项正确）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了方差以及平均数的求法和众数以及中位数的定义等知识，正确把握相关定义是解题关键． 4．若式子
+（k﹣1）0有意义，则一次函数y=（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据二次根式中的被开方数是非负数，以及a0=1（a≠0），判断出k的取值范围，然后判断出k﹣1、1﹣k的正负，再根据一次函数的图象与系数的关系，判断出一次函数y=（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是哪个即可． 【解答】解：∵式子∴
解得k＞1，
∴k﹣1＞0，1﹣k＜0，
∴一次函数y=（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是：
+（k﹣1）0有意义，
．
故选：A．
【点评】（1）此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①a0=1（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（a≠0）；②00≠1．
（3）此题还考查了二次根式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
5．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．②④
【分析】利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， 当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意． 故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法，正确掌握正方形的判定方法是解题关键．
6．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使得点A和点C重合，折痕是EF，连结EC．若AB=2，BC=4，则CE的长为（ ）
A．3B．3.5C．2.5D．2.8
【分析】由四边形ABCD是矩形，得到CD=AB=2，AD=BC=4，∠D=90°，根据折叠的性质得到AE=CE，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=2，AD=BC=4，∠D=90°，
∵将矩形纸片ABCD折叠，使得点A和点C重合， ∴AE=CE，
∴DE=AD﹣AE=4﹣CE， ∵CE2=DE2+CD2， 即CE2=（4﹣CE）2+22， ∴CE=2.5， 故选C．
【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题，矩形的性质，灵活运用翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
7．解关于x的方程A．﹣1B．﹣2C．1D．2
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．本题的增根是x=1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值． 【解答】解；方程两边都乘（x﹣1），得 x﹣3=m， ∵方程有增根，
∴最简公分母x﹣1=0，即增根是x=1， 把x=1代入整式方程，得m=﹣2． 故选：B．
产生增根，则常数m的值等于（ ）
【点评】增根问题可按如下步骤进行： ①确定增根的值； ②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
8．在平面直角坐标系中，任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），规定运算：
①A⊕B=（x1+x2，y1+y2）；②A⊗B=x1x2+y1y2；③当x1=x2且y1=y2时，A=B，有下列四个命题：
（1）若A（1，2），B（2，﹣1），则A⊕B=（3，1），A⊗B=0； （2）若A⊕B=B⊕C，则A=C； （3）若A⊗B=B⊗C，则A=C；
（4）对任意点A、B、C，均有（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）成立，其中正确命题的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】（1）根据新定义可计算出A⊕B=（3，1），A⊗B=0；
（2）设C（x3，y3），根据新定义得A⊕B=（x1+x2，y1+y2），B⊕C=（x2+x3，y2+y3），则x1+x2=x2+x3，y1+y2=y2+y3，于是得到x1=x3，y1=y3，然后根据新定义即可得到A=C； （3）由于A⊗B=x1x2+y1y2，B⊗C=x2x3+y2y3，则x1x2+y1y2=x2x3+y2y3，不能得到x1=x3，y1=y3，所以A≠C；
（4）根据新定义可得（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）=（x1+x2+x3，y1+y2+y3）．
【解答】解：（1）A⊕B=（1+2，2﹣1）=（3，1），A⊗B=1×2+2×（﹣1）=0，所以（1）正确；
（2）设C（x3，y3），A⊕B=（x1+x2，y1+y2），B⊕C=（x2+x3，y2+y3）， 而A⊕B=B⊕C，
所以x1+x2=x2+x3，y1+y2=y2+y3，则x1=x3，y1=y3， 所以A=C，所以（2）正确；
（3）A⊗B=x1x2+y1y2，B⊗C=x2x3+y2y3， 而A⊗B=B⊗C，则x1x2+y1y2=x2x3+y2y3，
不能得到x1=x3，y1=y3，所以A≠C，所以（3）不正确；
（4）因为（A⊕B）⊕C=（x1+x2+x3，y1+y2+y3），A⊕（B⊕C）=（x1+x2+x3，y1+y2+y3），所以（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C），所以（4）正确． 故选C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了阅读理解能力．
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请把答案直接填在答题卡对应题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）
9．某种禽流感病毒的直径为0.000000012米，将这个数用科学记数法表示为 1.2×10﹣8 米．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000012=1.2×10﹣8米， 故答案为：1.2×10﹣8．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．当x= ﹣2 时，分式
的值为0．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题． 【解答】解：∵∴x=﹣2． 故答案为：﹣2．
=0，
【点评】此题考查的是对分式的值为0的条件，分子等于0，分母不能等于0，题目比较简单．
11．写出一个过点（0，3），且函数值y随自变量x的增大而减小的一次函数关系式： y=﹣x+3 ．．根据已知条件确定k，b应满足的关系式，再根据条件进行分析即可． 【解答】解：设此一次函数关系式是：y=kx+b． 把x=0，y=3代入得：b=3，
又根据y随x的增大而减小，知：k＜0．
故此题只要给定k一个负数，代入解出b值即可．如y=﹣x+3．（答案不唯一） 故答案是：y=﹣x+3．
【点评】本题考查了一次函数的性质．掌握待定系数法，首先根据已知条件确定k，b应满足的关系式，再根据条件进行分析即可．
12．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是 32 ．
【分析】过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，先判断出四边形DPBE是矩形，再根据等角的余角相等求出∠ADP=∠CDE，再利用“角角边”证明△ADP和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DP，然后判断出四边形DPBE是正方形，再根据正方形的面积公式解答即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E， ∵∠ADC=∠ABC=90°， ∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP=90°，∠ADC=90°， ∴∠ADP+∠CDP=90°， ∴∠ADP=∠CDE，
∵DP⊥AB， ∴∠APD=90°， ∴∠APD=∠E=90°， 在△ADP和△CDE中，
，
∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE=DP，四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18， ∴矩形DPBE是正方形， ∴DP=
=3
． ．
故答案为：3
【点评】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和正方形是解题的关键．
13．已知双曲线y=经过点（﹣1，3），如果A（a1，b1），B（a2，b2）两点在该双曲线上，且a1＜a2＜0，那么b1 ＜ b2（选填“＞”、“=”、“＜”）． 【分析】根据反比例函数的增减性解答． 【解答】解：把点（﹣1，3）代入双曲线y= 得k=﹣3＜0，
故反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， ∵A（a1，b1），B（a2，b2）两点在该双曲线上，且a1＜a2＜0， ∴A、B在同一象限， ∴b1＜b2． 故答案为：＜．
【点评】本题考查利用反比例函数的增减性质判断图象上点的坐标特征．
14．如图，在四边形ABCD中AB∥CD，若加上AD∥BC，则四边形ABCD为平行四边形．现在请你添加一个适当的条件： BE=DF ，使得四边形AECF为平行四边形．（图中不再添加点和线）
【分析】添加条件是BE=DF，根据三角形全等的性质和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明．
【解答】解：添加的条件：BE=DF． 证明：∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB=CD，∠ABE=∠CDF 又∵BE=DF ∴△ABE≌△CDF ∴AE=CF，∠AEB=∠CFD ∴∠AEF=∠EFC ∴AE∥FC
∴四边形AECF为平行四边形． 故答案为：BE=DF．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
15．（3分）（2015甘南州）如图，点A在双曲线
上，点B在双曲线y=上，且AB∥x
轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 2 ．
【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S=|k|即可判断．
【解答】解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E， ∵点A在双曲线
上，
∴四边形AEOD的面积为1，
∵点B在双曲线y=上，且AB∥x轴， ∴四边形BEOC的面积为3，
∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3﹣1=2． 故答案为：2．
【点评】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、
y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
16．如图，已知在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，给出下列结论：
①BE=DF；②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF． 其中结论正确的有 ①②③ ．（只填番号）
【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，由勾股定理表示出EF、CG，再通过比较可以得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°． ∵△AEF等边三角形， ∴AE=EF=AF，∠EAF=60°． ∴∠BAE+∠DAF=30°． 在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF（故①正确）． ∠BAE=∠DAF， ∴∠DAF+∠DAF=30°， 即∠DAF=15°（故②正确）， ∵BC=CD，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF， ∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．（故③正确）． 设EC=x，由勾股定理，得 EF=
x，CG=
x，
x，
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=∴AC=
，
∴AB=∴BE=∴BE+DF=
， ﹣x=x﹣x≠
，
x．（故④错误）．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．
三、解答题：本大题共8个题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（15分）（2016春宜宾期末）（1）计算：（﹣1）2013+
0
﹣|﹣2|+（2013﹣π）
﹣（）﹣1﹣
． +
=3
（2）解方程：
（3）先化简，再求值：﹣÷（1﹣）．请选一个你喜欢的数求解．
【分析】（1）先根据有理数乘方的法则、数的开方法则及绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）先去分母，把分式方程化为整式方程，求出x的值，代入最简公分母进行检验即可； （3）先算括号里面的，再算除法，最后算减法，选取合适的x的值代入进行计算即可． 【解答】解：（1）原式=﹣1+3﹣2+1﹣3+4 =2；
（2）方程两边同时乘以x﹣1得，2﹣（x+2）=3（x﹣1），解得x=， 把x=代入x﹣1得，﹣1=﹣≠0， 故x=是原分式方程的根；
（3）原式=
﹣
÷
=﹣
==
﹣
=，
当m=2时，原式=．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．
18．（6分）（2011济宁）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．
OB=OD，【分析】由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD∥BC，易证得△OED≌△OFB，可得DE=BF，即可证得四边形BEDF是平行四边形，又由EF⊥BD，即可证得平行四边形BEDF是菱形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OB=OD，
∵∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB， ∴△OED≌△OFB（AAS）， ∴DE=BF， 又∵ED∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴▱BEDF是菱形．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
19．（9分）（2013天津）四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1900名学生发起了“心系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题： （Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 50 ，图①中m的值是 32 ； （Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
【分析】（1）根据条形统计图即可得出样本容量根据扇形统计图得出m的值即可； （2）利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可；
（3）根据样本中捐款10元的人数，进而得出该校本次活动捐款金额为10元的学生人数． 【解答】解：（1）根据条形图4+16+12+10+8=50（人）， m=100﹣20﹣24﹣16﹣8=32；
（2）∵=
（5×4+10×16+15×12+20×10+30×8）=16，
∴这组数据的平均数为：16，
∵在这组样本数据中，10出现次数最多为16次， ∴这组数据的众数为：10，
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15， ∴这组数据的中位数为：（15+15）=15；
（3）∵在50名学生中，捐款金额为10元的学生人数比例为32%，
∴由样本数据，估计该校1900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%，有1900×32%=608，
∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名． 故答案为：50，32．
【点评】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
20．（6分）（2010襄阳）为了扶持农民发展农业生产，国家对购买农机的农户给予农机售价13%的政府补贴．某市农机公司筹集到资金130万元，用于一次性购进A，B两种型号的收割机30台．根据市场需求，这些收割机可以全部销售，全部销售后利润不少于15万元．其中，收割机的进价和售价见下表：
A型收割机 B型收割机
3.6 4
进价（万元/台） 5.3 售价（万元/台） 6
设公司计划购进A型收割机x台，收割机全部销售后公司获得的利润为y万元． （1）试写出y与x的函数关系式；
（2）市农机公司有哪几种购进收割机的方案可供选择？
（3）选择哪种购进收割机的方案，农机公司获利最大？最大利润是多少？此种情况下，购买这30台收割机的所有农户获得的政府补贴总额W为多少万元？
【分析】（1）y=（A型收割机售价﹣A型收割机进价）x+（B型收割机售价﹣B型收割机进价）×（30﹣x）；
（2）购买收割机总台数为30台，用于购买收割机的总资金为130万元，总的销售后利润不少于15万元．可得到两个一元一次不等式．
（3）利用y与x的函数关系式y=0.3x+12来求最大利润． 【解答】解：（1）y=（6﹣5.3）x+（4﹣3.6）（30﹣x）=0.3x+12
（2）依题意，有
即∴
∵x为整数，∴x=10，11，12，
即农机公司有三种购进收割机的方案可供选择：
方案1：购进A型收割机10台，购进B型收割机20台； 方案2：购A型收割机11台，购B型收割机19台； 方案3：购进A型收割机12台，购B型收割机18台．
（3）∵0.3＞0，
∴一次函数y随x的增大而增大．
即当x=12时，y有最大值，y最大值=0.3×12+12=15.6（万元）， 此时，W=6×13%×12+4×13%×18=18.72（万元）．
答：选择第三种方案获利最大，最大利润为15.6万元，获得的政府补贴为18.72万元 【点评】解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．
21．（8分）（2005四川）制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃． （1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
【分析】（1）首先根据题意，材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系；将题中数据代入用待定系数法可得两个函数的关系式；
（2）把y=15代入y=
中，进一步求解可得答案．
【解答】解：（1）材料加热时，设y=ax+15（a≠0）， 由题意得60=5a+15， 解得a=9，
则材料加热时，y与x的函数关系式为y=9x+15（0≤x≤5）． 停止加热时，设y=（k≠0）， 由题意得60=， 解得k=300，
则停止加热进行操作时y与x的函数关系式为y=
（2）把y=15代入y=
，得x=20，
（x≥5）；
因此从开始加热到停止操作，共经历了20分钟． 答：从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
22．AD平分∠EAC，∠CAE是△ABC的外角，（8分）（2016春宜宾期末）如图，且AD∥BC．过点C作CG⊥AD，垂足为G，AF是BC边上的中线，连接FG． （1）求证：AC=FG．
（2）当AC⊥FG时，△ABC应是怎样的三角形？为什么？
【分析】先根据题意推理出四边形AFCG是矩形，然后根据矩形的性质得到对角线相等；由第一问的结论和AC⊥FG得到四边形AFCG是正方形，然后即可得到△ABC是等腰直角三角形．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠EAC，且AD∥BC， ∴∠ABC=∠EAD=∠CAD=∠ACB， ∴AB=AC；
AF是BC边上的中线， ∴AF⊥BC，
∵CG⊥AD，AD∥BC， ∴CG⊥BC， ∴AF∥CG，
∴四边形AFCG是平行四边形， ∵∠AFC=90°，
∴四边形AFCG是矩形； ∴AC=FG．
（2）解：当AC⊥FG时，△ABC是等腰直角三角形．理由如下： ∵四边形AFCG是矩形，
∴四边形AFCG是正方形，∠ACB=45°， ∵AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
【点评】该题目考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、等腰三角形的性质，知识点比较多，注意解答的思路要清晰．
23．（10分）（2016春宜宾期末）如图，直线y=2x﹣6与反比例函数y=（k＞0）的图象交于点A（4，2），与x轴交于点B． （1）求k的值及点B的坐标；
（2）当x ﹣1＜x＜0或x＞4 时，2x﹣6＞（k＞0）；
（3）在x轴上是否存在点C，使得△ABC为等腰三角形，且AC=AB？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，再令直线y=2x﹣6中y=0求出x的值，即可得出点B的坐标；
（2）联立一次函数与反比例函数解析式成方程组，求出另一交点坐标，补充完整函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可得出结论；
（3）假设存在，设点C的坐标为（m，0），由两点间的距离公式分别表示出AB、AC的长度，令AC=AB，即可得出关于m的无理方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：（1）∵反比例函数y=（k＞0）的图象过点A（4，2）， ∴k=4×2=8，
∴反比例函数的解析式为y=． 令y=2x﹣6中y=0，则2x﹣6=0， 解得：x=3，
∴点B的坐标为（3，0）．
（2）联立两函数的解析式成方程组， 得：
，解得：
，或
．
补充完整函数图象，如图所示．
观察两函数图象可发现：当﹣1＜x＜0或x＞4时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，∴不等式2x﹣6＞（k＞0）的解集为﹣1＜x＜0或x＞4． 故答案为：﹣1＜x＜0或x＞4．
（3）假设存在，设点C的坐标为（m，0）， 则AB=
=
，AC=
，BC=|m﹣3|．
∵△ABC为等腰三角形，且AC=AB， ∴
=
，即（4﹣m）2=1，
解得：m=5，或m=3（舍去）， ∴点C的坐标为（5，0）．
故在x轴上存在点C，使得△ABC为等腰三角形，且AC=AB，点C的坐标为（5，0）． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象、两点间的距离公式以及解无理方程，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值；（2）求出两函数另一交点坐标；（3）得出关于m的方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，联立两函数解析式求出另一交点坐标，根据两函数图象的上下位置关系解出不等式的解集是难点．
24．（10分）（2016春宜宾期末）如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形：△ABD，△BCE，△ACF，请解答下列问题： （1）求证：四边形AFED是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？ （3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？ （4）对于任意△ABC，▱AFED是否总存在？
【分析】（1）当一个图中出现2个等边三角形时就可以找出一对全等三角形，可得出一对对边相等，进而往四边形ADEF是平行四边形方面进行证明．
（2）四边形ADEF是矩形，那么它的每个内角是90°，那么可利用在点A处组成的周角算出∠BAC的度数．
（3）AB=AC，根据菱形的判定推出即可； （4）当∠BAC=60°时四边形不存在．
【解答】（1）证明：四边形ADEF是平行四边形． 理由：∵△ABD，△BEC都是等边三角形， ∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°， ∴∠DBE=60°﹣∠EBA，∠ABC=60°﹣∠EBA， ∴∠DBE=∠ABC， ∴△DBE≌△ABC， ∴DE=AC，
又∵△ACF是等边三角形， ∴AC=AF， ∴DE=AF．
同理可得：△ABC≌△FEC，即EF=AB=DA． ∵DE=AF，DA=EF，
∴四边形ADEF为平行四边形；
（2）解：若四边形ADEF为矩形，则∠DAF=90°， ∵∠DAB=∠FAC=60°，
∴∠BAC=360°﹣∠DAB﹣∠FAC﹣∠DAF=360°﹣60°﹣60°﹣90°=150°， ∴当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；
（3）解：当∠BAC≠60°且AB=AC时，四边形AFED是菱形， ∵此时AB=AC=AF=AD，四边形AFED是平行四边形， ∴四边形AFED是菱形；
（4）解：当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，等边三角形的性质的应用，本题主要应用的知识点为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一个角是直角的平行四边形是矩形．
习题试解预习法
检验预习效果的最佳途径
数学学科有别于其他学科的一大特点就是直接用数学知识解决问题。因此,预习数学的关键是先看书,进而尝试做题。学生经过自己的努力,初步理解和掌握了新的数学知识,还要通过做练习或解决简单的问题来检验自己预习的效果。
教材中每一小节后的思考练习题,是编者根据教学大纲的要求,对教材中要点和重点的概述,是对学生理解书本内容的具体评估。因此,我们可以利用这些题目来检查自己的预习效果。通过试解练习题,哪些知识点已知已会,哪些难懂不会,一下子就检验出来了。对试解出来的习题,通过听课以加深理解;对试解不出来的习题,课堂上应格外留心听讲,力求政克,为提高课堂学习质量打下坚实的基础。 如何应用习题试解预习法?同学们可以采用以下的步骤：
第一步:先阅读教材,然后合上书本,围绕课后几个思考题想一想:这课讲了什么新问题,自己弄懂了没有?这些新知识与旧知识之间有什么联系,自己是否已经掌握?还有什么不懂的问题需要上课时听老师讲解?通过这样的回忆,初步检查自己的预习效果。
第二步:大致理解了教材的内容后,可以按照由易到难的顺序,对本节后面的练习题尝试作答。
第三步:遇到疑难的问题做不出就停下来想一想,分析一下原因,或重新再预习一遍,再尝试作答。实在做不出也不要紧,可以先做好记号,留待上课时去解决。要注意,尝试作答,不是钻牛角尖。试解习题的关键是要检验出自己在知识或技巧方面的欠缺,及时调整和改进预习的方法,以及发现的疑难之处,明确自己听课时的重点。是否全部解答出问题并不是最重要的,真正进行独立思考,发现问题才是关键。 数学学科有别于其他学科的一大特点就是直接用数学知识解决问题。因此,预习数学的关键是先看书,进而尝试做题。学生经过自己的努力,初步理解和掌握了新的数学知识,还要通过做练习或解决简单的问题来检验自己预习的效果。 因科制宣法
抓住不同学科的特点预习
预习的一般方法,各门功课都可采用。但是,各门课程都有各自的特点和规律,因而预习方法也不尽相同。若是在预习前就根据各学科的特点选择方法,那么预习的效果也就会更好,这种预习方法就叫作因科制宜法。
预习数理化的方法
数学、物理、化学等课程的学科特点是:知识的连续性特别强。所以数理化课程虽然也可以做一般预习,但要集中时间做阶段预习、学期预习。这样,学习效率会更高一些。预习数理化课程时可按以下步骤进行:
1.首先阅读课文,理解定理、定律、公式等;
2.扫除绊脚石。数理化的知识连续性强,前面的概念不理解,后面的课程就无法学下去。预习的时候发现学过的概念有不明白的,一定要在课前弄清楚。
3.最后,试做练习。数理化课本上的练习题都是为巩固所学的知识而出的,用来检验自己预习的效果是再恰当不过的。
万能预习法：你一定能用到的四个预习步骤：对于预习,我们可以归纳出一个万能的方法。一般来说,不论同学们预习哪一门课,也不管你学习水平如何,通常都可以运用这种方法来预习。 第一步:准备阶段
相读要预习的内容,领会教材的大意。阅读过程中可以做一些标注,比如用红笔标出重点知识,用其他颜色的笔标出疑难问题 第二步:查缺补漏
针对自己理解不透彻或遗忘了的旧知识,及时查阅有关学习材料,进行必要的复习,为学习新课打好基础;对于查阅到的对理解教材有用的资料可以补充在教材的空白处,也可以另加一张专门用于加批注用的纸贴在书中对应的地方,方便以后学习时查看。
第三步:复查阶段
解决完学习障碍后,回过头来再看教材。如果里面还有不清楚的问题,可以记下来或标记为听课重点,等上课时听老师讲解或在适当的时机提问。
验收阶段：这时,请合上书本,把刚才看过的内容再梳理一遍:本章节讲了哪几问题?重点概念是什么?主要思路是什么?还有哪几个问题不清楚等。这样做可以加强你对预习内容的理解和记忆,并起到验收预习效果的作用。因此,最后这一环节必不可少。
在预习的过程中,看例题也可以分成四步:
1.分清解题成每步必问步骤,指出关键所在;2.弄清各步骤的依据为什么、步步有依据的习惯;3.比较同一节例题的特点,尽量去体会选例意图;4分析例题的解题思路,并按例题的解释思路做练习题。
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