参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．（4分）（2014•上海）函数y=1﹣2cos（2x）的最小正周期是 考点： 二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法． 专题： 三角函数的求值． 分析： 由二倍角的余弦公式化简，可得其周期． 解答： 解：y=1﹣2cos2（2x） =﹣[2cos（2x）﹣1] =﹣cos4x， ∴函数的最小正周期为T=故答案为： = 22
．
点评： 本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题． 2．（4分）（2014•上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•= 6 ． 考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数． 分析： 把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可． 解答： 解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位， 则（z+）•= =（1+2i）（1﹣2i）+1 2=1﹣4i+1 =2+4 =6． 故答案为：6 点评： 本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查． 3．（4分）（2014•上海）设常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|，若f（2）=1，则f（1）= 3 ． 考点： 函数的值． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 利用f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，f（2）=1，求出a，然后求解f（1）即可． 解答： 解：常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1， 2∴1=|2﹣1|+|2﹣a|，∴a=4， 2函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣4|， 2∴f（1）=|1﹣1|+|1﹣4|=3， 故答案为：3． 点评： 本题考查函数值的求法，基本知识的考查． 4．（4分）（2014•上海）若抛物线y=2px的焦点与椭圆﹣2 ． 考点： 椭圆的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 2
2+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 x=分析： 由题设中的条件y=2px（p＞0）的焦点与椭圆2+=1的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程 解答： 解：由题意椭圆+=1，故它的右焦点坐标是（2，0）， 又y=2px（p＞0）的焦点与椭圆故得p=4， 2+=1的右焦点重合， ∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2． 故答案为：x=﹣2 点评： 本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题． 5．（4分）（2014•上海）某校高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况
，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 70 ． 考点： 分层抽样方法． 专题： 概率与统计． 分析： 根据分层抽样的定义，建立比例关系，即可得到结论． 解答： 解：∵高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名， ∴若高三抽取20名学生，设共需抽取的学生数为x， 则，解得x=90， 则高一、高二共需抽取的学生数为90﹣20=70， 故答案为：70． 点评： 本题主要考查分层抽样的应用，比较基础． 226．（4分）（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x+2y的最小值为 2考点： 基本不等式． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得． 解答： 解：∵xy=1， ∴y= 222 ． ∴x+2y=x+2≥2=2， 当且仅当x=，即x=±时取等号， 故答案为：2 点评： 本题考查基本不等式，属基础题． 7．（4分）（2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为 arcsin （结果用反三角函数值表示）
考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与轴所成角的正弦值，进而可得母线与轴所成角． 解答： 解：设圆锥母线与轴所成角为θ， ∵圆锥的侧面积是底面积的3倍， ∴==3， 即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍， 故圆锥的轴截面如下图所示： 则sinθ==， ∴θ=arcsin， 故答案为：arcsin 点评： 本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键． 8．（4分）（2014•上海）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 24 ． 考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 由已知中的三视图，分别判断切割前后几何体的形状，并分别计算出切割前后几何体的体积，相减可得答案． 解答： 解：由已知中的三视图，可知： 大长方体的长，宽，高分别为：3，4，5， 故大长方体的体积为：60， 切去两个小长方体后的几何体是一个以主视图为底面，高为3的柱体， 其底面面积为4×5﹣2×2×2×2=12， 故切去两个小长方体后的几何体的体积为：12×3=36， 故切割掉的两个小长方体的体积之和为：60﹣36=24， 故答案为：24 点评： 本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图分析出几何体的形状是解答的关键． 9．（4分）（2014•上海）设f（x）=
，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为 （﹣∞，
2] ． 考点： 分段函数的应用． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 分别由f（0）=a，x≥2，a≤x+综合得出a的取值范围． 解答： 解：当x=0时，f（0）=a， 由题意得：a≤x+， 又∵x+≥2=2， ∴a≤2， 故答案为：（﹣∞，2]． 点评： 本题考察了分段函数的应用，基本不等式的性质，是一道基础题． 10．（4分）（2014•上海）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=考点： 极限及其运算． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 由已知条件推导出a1=解答： 解：∵无穷等比数列{an}的公比为q， a1=（a3+a4+…an） （a3+a4+…an），则q=
．
，由此能求出q的值． =（﹣a1﹣a1q） =∴q+q﹣1=0， 解得q=故答案为：2， 或q=． （舍）． 点评： 本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用． 11．（4分）（2014•上海）若f（x）=
﹣
，则满足f（x）＜0的x的取值范围是 （0，1） ．
考点： 指、对数不等式的解法；其他不等式的解法． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 直接利用已知条件转化不等式求解即可． 解答： 解：f（x）=﹣，若满足f（x）＜0， 即∴∵y=∴＜， ， 是增函数， 的解集为：（0，1）． 故答案为：（0，1）． 点评： 本题考查指数不等式的解法，函数的单调性的应用，考查计算能力． 12．（4分）（2014•上海）方程sinx+
cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于 ．
考点： 两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象． 专题： 三角函数的求值． 分析： 由三角函数公式可得sin（x+）=，可知x+可得x值，求和即可． 解答： 解：∵sinx+cosx=1， =2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，结合x∈[0，2π]，∴sinx+即sin（x+可知x+cosx=， ）=， =2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z， 又∵x∈[0，2π]， ∴x=∴+，或x== ． ， 故答案为：点评： 本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题． 13．（4分）（2014•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是
（结果用最简分数表示）．
考点： 古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计． 分析： 要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况， 再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案． 解答： 解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况， 其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6）， （5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10）， ∴选择的3天恰好为连续3天的概率是故答案为：． ， 点评： 本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题． 14．（4分）（2014•上海）已知曲线C：x=﹣上的Q使得
+
，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l
=，则m的取值范围为 [2，3] ．
考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 直线与圆． 分析： 通过曲线方程判断曲线特征，通过可． 解答： 解：曲线C：x=﹣+=，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且xP∈[﹣2，0]， +=， 对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6， ∴m=∈[2，3]． 故答案为：[2，3]． 点评： 本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想． 二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分 15．（5分）（2014•上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（ ） A． 充分非必要条件 B． 必要非充分条件 C． 充要条件 D． 既非充分又非必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 简易逻辑． 分析： 根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定． 解答： 解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立， 若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立， 故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件， 故选：B． 点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础． 16．（5分）（2014•上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a，b}，则a+b=（ ） A． 2 1 0 B． C． D． ﹣1 考集合的相等． 点： 专集合． 题： 分根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论． 析： 22解解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a，b}， 答： 则 ①或 ②， 22由①得， 点评： ∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件． 2222由②得，若b=a，a=b，则两式相减得a﹣b=b﹣a，即（a﹣b）（a+b）=﹣（a﹣b）， ∵互异的复数a，b， ∴a﹣b≠0，即a+b=﹣1， 故选：D． 本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论． 17．（5分）（2014•上海）如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，Pi（i=1，2，…，7）是小正方形的其余顶点，则
•
（i=1，2，…，7）的不同值的个数为（ ）
A． 7 5 3 1 B． C． D． 考平面向量数量积的运算． 点： 专计算题；平面向量及应用． 题： 分建立适当的平面直角坐标系，利用坐标分别求出数量积，由结果可得答案． 析： 解解：如图建立平面直角坐标系， 答： 则A（0，0），B（0，2），P1（0，1），P2（1，0），P3（1，1），P4（1，2），P5（2，0），P6（2，1），P7（2，2）， ∴，=（2，1），∴∴•=2，=（0，1），=（2，2）， =0，=2，=4，=0，=2，=4， =（1，0），=（1，1），=（1，2），=（2，0），（i=1，2，…，7）的不同值的个数为3， 点评： 故选C． 本题考查平面向量的数量积运算，属基础题． 18．（5分）（2014•上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组 的解的情况是（ ）
A． 无论k，P1，P2如何，总是无解 B． 无论k，P1，P2如何，总有唯一解 C． 存在k，P1，P2，使之恰有两解 D． 存在k，P1，P2，使之有无穷多解 考点： 一次函数的性质与图象． 专题： 函数的性质及应用；直线与圆． 分析： 判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可． 解答： 解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在， ∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1 ， ①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x=b2﹣b1， 即（a1﹣a2）x=b2﹣b1． ∴方程组有唯一解． 故选：B． 点评： 本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解额指数的应用． 三、解答题（共5小题，满分74分） 19．（12分）（2014•上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V． 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 利用侧面展开图三点共线，判断△P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积． 解答： 解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°， ∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°， ∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°， ∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC是正四面体， ∴△P1P2P3的边长为4， VP﹣ABC== 点评： 本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法． 20．（14分）（2014•上海）设常数a≥0，函数f（x）=
﹣1
．
（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f（x）；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由． 考点： 反函数；函数奇偶性的判断． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）根据反函数的定义，即可求出， （2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决． 解答： 解：（1）∵a=4， ∴ ∴∴， ， ，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）． ∴调换x，y的位置可得（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立， ∴x=﹣x，整理可得a（2﹣2）=0． x﹣x∵2﹣2不恒为0， ∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件； 若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立， ∴=﹣，整理可得a﹣1=0， 2∴a=±1， ∵a≥0， ∴a=1， 此时f（x）=，满足条件； 综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数． 点评： 本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题． 21．（14分）（2014•上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β． （1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）． 考点： 解三角形的实际应用． 专题： 解三角形． 分析： （1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论． （2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论． 解答： 解：（1）设CD的长为x米，则tanα=∵0∴tanα≥tan2β＞0， ∴tan， ， ，tanβ=， 即=， 解得0≈28.28， 即CD的长至多为28.28米． （2）设DB=a，DA=b，CD=m， 则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°， 由正弦定理得即a=∴m=， ， ≈26.93， 答：CD的长为26.93米． 点评： 本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键． 22．（16分）（2014•上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线． （1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；
22
（2）若直线y=kx是曲线x﹣4y=1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线． 考点： 直线的一般式方程． 专题： 直线与圆． 分析： （1）把A、B两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据η＜0，得出结论． （2）联立 可得 （1﹣4k）x=1，根据此方程无解，可得1﹣4k≤0，从而求得k的范围． 222222（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为[x+（y﹣2）]x=1 ①．由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×（﹣1）=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线． 解答： 解：（1）把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1可得η=（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0， ∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线 x+y﹣1=0分隔． （2）联立 可得 （1﹣4k）x=1，根据题意，此方程无解，故有1﹣4k≤0， 222222∴|k|≥．当|k|≥时，对于直线y=kx，曲线x﹣4y=1上的点（﹣1，0）和（1，0）满足η=﹣k＜0，即点（﹣1，0）和（1，0）被y=kx分隔． 故实数k的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）． （3）设点M（x，y），则 •|x|=1，故曲线E的方程为[x+（y﹣2）]x=1 ①． 222对任意的y0，（0，y0）不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点． 又曲线E上的点（1，2）、（﹣1，2）对于y轴（x=0）满足η=1×（﹣1）=﹣1＜0，即点（﹣1，2）和（1，2）被y轴分隔，所以y轴为曲线E的分隔线． 点评： 本题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题． 23．（18分）（2014•上海）已知数列{an}满足an≤an+1≤3an，n∈N，a1=1． （1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围； （2）若{an}是等比数列，且am=
，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应{an}的公比；
*
（3）若a1，a2，…a100成等差数列，求数列a1，a2，…a100的公差的取值范围． 考点： 数列的求和；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （1）由题意可得：，，代入解出即可； （2）设公比为q，由已知可得，，可得（3）设公差为d，由已知可得，由于，可得．而，再利用对数的运算法则和性质即可得出． 3[1+（n﹣2）d]，其中2≤n≤100，即，解出即可． 解答： 解；（1）由题意可得：又综上可得：3≤x≤6． （2）设公比为q，由已知可得，∴∴．因此， =1﹣， ，∴3≤x≤27． ，∴； ，又， ∴m=1﹣logq1000==≈7.28． ∴m的最小值是8，因此q=7， ∴=． ≤1+nd≤3[1+（n﹣1）d] （3）设公差为d，由已知可得即， 令n=1，得． ，． 当2≤n≤99时，不等式即∴． 综上可得：公差d的取值范围是． 点评： 本题综合考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的性质、对数的运算法则等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容