第三章 水轮机调节系统数学模型的建立

为使水轮机调节系统具备优良的动态性能，需要运用自动控制理论对水轮机调节系统进行分析研究。水轮机调节系统是由调速器和调节对象组成的闭环控制系统，两者相互作用、相互影响。调节对象不仅包括水轮机和发电机，还包括水轮机的引水系统和发电机带的负荷。为分析水轮机调节系统的动态特性，需建立各部分的数学模型。

3.1 水轮机调节系统基本概念

3.1.1 水轮机调节系统任务

水电厂是生产电能的场所，由于电能不能大量储存，必然要求电能的生产与消费同时进行，否则将引起电能品质指标的变化。衡量电能质量的指标主要是频率和电压偏差。频率偏差过大，会导致以电动机为动力的机床、纺织机械等运转不平稳，造成次品或废品，严重的会影响发电机组及电网自身的稳定运行，甚至造成电网解列或崩溃，因此，保持电力系统频率稳定相当重要。电压过高会烧毁各种电气设备，电压过低会影响电动机的正常启动，所以，维持一定的电压水平是保证电网正常运行的前提。

为保证电能质量，电力部门对频率有着严格的要求。我国电力部门规定频率应严格保持在50Hz，其偏差不得超过0.5Hz，对于大容量系统频率偏差不得超过0.2Hz。电力系统频率稳定主要取决于系统内有功功率的平衡，然而，电力系统的负荷是不断变化的，负荷的变化必然导致系统频率的变化。水轮机调节系统的基本任务是不断调整水轮发电机组有功功率输出，以维持机组转速在规定范围内，满足发电机正常发电及电力系统安全运行的需要。

由于电力系统的负荷是不断变化的，必然导致系统频率发生变化。水轮发电机一般是三相交流同步电机，由电机学知交流电频率和发电机转速间有以下关系

pn (3.1) f60式中，f为交流电频率，p为发电机磁极对数，n为发电机转速。

发电机磁极对数与结构有关，一般是不能改变的，可见，交流电频率与发电机转速成正比，与改变频率，只需改变发电机转速。

水轮机和发电机通过主轴连成一个整体，其转动部分可视为绕定轴转动的刚性系统，运动由下式描述

dJMtMg (3.2) dt2n式中，J为机组转动部分惯性力矩，为机组转动角速度，，Mt为

60水轮机动力矩，Mg为发电机阻力矩。

发电机阻力矩Mg随用电负荷变化而变化，当MtMg时，转速就会发生变化，从而，交流电频率发生改变。

d0，发电机dtd0，机组转速上升，交流电频率升高，此dtd时，需降低水轮机动力矩Mt；当MtMg时，0，机组转速下降，交流电

dt频率降低，此时，需增加水轮机动力矩Mt。

具体来说，当MtMg时，

由水轮机原理知，水轮机出力

PQHt

PMt

结合以上两式，得水轮机动力矩

(3.3) (3.4)

MtQHt (3.5)

式中，为水的密度，Q为过水轮机的流量，H为工作水头，t为水轮机效率。

一般的，工作水头H和效率t是不能改变的，为改变水轮机力矩Mt，只有改变过水轮机的流量Q。所以，水轮机调节系统根据负荷变化引起的机组转速偏差，利用调速器调整导叶或喷针开度，使水轮机动力矩和发电机阻力矩尽快达到平衡，从而使频率保持在规定范围内。 3.1.2 水轮机调节系统组成

水轮机调节系统由水力系统、水轮发电机组、电力系统和调速器组成，如图3.1所示。其中，调速器包括测量元件、比较元件、放大元件、执行元件和反馈元件等。

水力系统导水机构水能Q,H水轮发电机组电能U,I,f电力系统转速给定+执行元件放大元件-+-测量元件反馈元件 图3.1 水轮机调节系统框图

由自动控制理论知，调节系统有调节对象和调节器两部分组成，是一种闭环控制系统，根据给定值与被控量信号偏差工作的。当调节系统收到扰动偏离平衡状态时，调节器根据偏差信号的大小、方向、变化趋势等采取相应的控制策略，发出控制执行量对调节对象施加影响，以使被控量趋于给定值。 3.1.3 水轮机调节系统特点

（1）受河流条件限制，一般水电站水头在几十米到一百米之间，工作压力在零点几兆帕到一点几兆帕之间，与汽轮机在相同处理情况下，水轮机引用流量比汽轮机进汽量大几十倍到百倍。为控制如此大的流量，必须在调速器中设置很大的放大执行元件，通常需要二级或三级液压放大。

（2）由于工作介质不同，水流运动较气流惯性大很多，长引水管道水流惯

性尤为明显。当发电机负荷减小时，机组转速升高，调速器关小导叶开度以减小流量。但是，在流量减小的同时，由于水流惯性作用，在压力管道内产生水锤压力升高，可能使水轮机出力增加，产生与控制作用相反的效果。为减小水锤对调节的影响，需要适当降低导叶关闭或开启的速度并改变其运动规律。

（3）一些水轮机具有双重调节机构，如轴流转桨式水轮机不仅需调整导叶开度，同时需调整桨叶转角，从而增加了调节系统的复杂性。

（4）水电机组在电力系统中承担调频、调峰和事故备用等任务，随着电力系统容量及结构复杂程度的增加，要求水轮机调速器必须具备较高的控制性能和自动化水平，以适应电力系统更高的调频控制要求，保证机组具有快速的开机过程和负荷调整。

3.1.4 水轮机调节系统过渡过程品质指标

对一个控制系统，其性能可用稳定性、准确性和快速性衡量。下面讨论水轮机调节系统过渡过程品质指标。

（1）调节时间Tp，是指从阶跃扰动发生时刻开始到调节系统进入新的平衡状态位置经历的时间，新的平衡状态指以理论稳态值为中心的一个很小区域。

（2）最大偏差nmax，是第一个波峰与理论稳态值之差。 （3）超调量，以第一个波谷值占最大偏差的百分数表示，即n1100%。

nmax（4）振荡次数X，以调节时间范围内出现的波峰及波谷次数之和的一半表示。

（5）衰减度，以第二个波峰与第一个波峰幅值之差的相对值表示，即nn2max。

nmax3.2 水轮机调节系统数学模型

3.2.1 机械液压系统数学模型

机械液压系统主要由电气-位移转换部分和液压放大部分组成，其作用是将电器信号转换并放大为具有一定操作力的机械位移信号，具有功率放大系数大、负载力大的特点。

考虑调节系统处于小波动情况，配压阀开口较小，油路中油的流速比较小，此时，可认为整个油路中压力损失全部集中在配压阀开口处的局部阻力损失，其他部分压力损失忽略不计。设阀口处流速为v，局部损失系数为，得油路压力损失

2pv (3.6)

2g设配压阀开口形状为矩形窗口， 阀芯向下位移量为S，窗口宽度为w，根据不可压缩流体的连续性方程，流过该窗口的油流量等于通过接力器的油流量，即

dY(3.7) vwS

dtdY式中，A为接力器活塞油压作用面积，为接力器运动速度，v为油的流

dt速，w为窗口宽度，S为阀芯位移量。

接力器位移Y可表示为初始平衡点位移Y0加上偏移量Y，即YY0Y，

dYd(Y0Y)dY接力器运动速度，有 dtdtdtdYvw (3.8) S

dtA取接力器最大位移Ymax作为Y的基准值，配压阀最大开口Smax作为S的基

A准值，将式（3.8）写为相对值形式

dy1s dtTy式（3.9）为接力器的运动方程，式中，y(3.9)

YSAYmax，s，Ty。YmaxSmaxvwSmaxTy称为接力器反应时间常数，可理解为配压阀开口为1时，接力器走完全行程所

经历的时间。

由接力器的运动方程式（3.9）得主接力器传递函数

Y(s)1GyA(s)A

SA(s)TyAsyA式中，

(3.10)

YASAsA为主接力器相对位移，为主配压阀开口相对位移，

YAmaxSAmaxAYAmax为主接力器反应时间常数，YAmax、SAmax分别为主接力器最大位vwSAmax移和主配压阀最大开口，A、v、w分别为主接力器活塞面积、主配压阀窗口流速和宽度。

主接力器方块图如图3.2所示。

YA(s)SA(s)1TyATyAs图3.2 主接力器方块图

同样的，得辅助接力器的传递函数

Y(s)1GyB(s)B

SB(s)TyBsyB式中，

(3.11)

YBSBsB为辅主接力器相对位移，为引导阀开口相对位移，

YBmaxSBmaxYABBmax为辅助接力器反应时间常数，YBmax、SBmax分别为辅助接力器vBwBSBmax最大位移和引导阀最大开口，AB、vB、wB分别为辅助接力器活塞面积、引导阀TyA窗口流速和宽度。

辅助接力器方块图如图3.3所示。

SB(s)1TyBsYB(s)图3.3 辅助接力器方块图

机械液压系统由主接力器和辅助接力器组成,，其方块图如图3.4所示。

u(s)y(s)11TyAsTyBs

图3.4 机械液压系统方块图

TyB一般很小，所以，机械液压系统的传递函数可写为

Gy(s)1

TyAs1(3.12)

3.2.2 调速器数学模型

调节器型调速器一般采用并联PID控制规律，如图3.5所示。

Cf(s)KPX(s)KIs1KDsTns1kTyAs1Y(s)bp图3.5 并联PID调节器型调速器方块图

Tn为微分环节时间常数，由于TnKD，取Tn0，得调节器型调速器在频率调节模式下的传递函数为

KDs2KPsKIY(s)k Gr(s)2X(s)bpKDs(bpKP1)sbpKITyAs1(3.13)

由于电网频率基本保持不变，机组并入大电网后，在人工频率死区范围内，

机组不参与频率调节，调速器接受人为给定的开度值控制机组开度，得调节器型调速器在开度调节模式下的传递函数为

KDs2KPsKIY(s)k (3.14) Gy(s)bpCy(s)bpKDs2(bpKP1)sbpKITyAs13.2.3 引水系统数学模型

当转速变化时，调速器自动调节水轮机导叶关闭或开启，导致引水管道中的流量及流速发生变化。由于水流存在惯性，考虑到水体和管壁存在弹性，开始先是引起阀门处压力上升或下降，然后压力以波的形式向上游传播，经过水库反射后又向下游传播，从而造成管道内水压力上升或下降，这种现象称为水击。水击压力不仅直接影响水轮机出力，更重要的是水击作用效果恰好与导叶调节作用相反，严重恶化水轮机调节系统动态性能。因此，调节系统动态特性与引水系统特性密切相关。水轮机引水系统如图3.6所示。

图3.6 水电站机组引水系统

在调节系统小波动情况下，压力管道长度L600~800m时，采用刚性水击模型的误差是满足工程要求的。刚性水击模型假设水和管壁没有弹性，都是刚性的，水击压力波瞬间传播到整个压力引水管道，水击压力可描述为

LdQH (3.15)

gAdt式中，H为水击压力，Q为管道中流量，L为管道长度，A为管道截面面积。

考虑到流量Q可表示为初始流量Q0与流量变化值Q之和，于是dQd(Q0Q)dQ，对式（3.15）取相对值得 dtdtdtdqhTw (3.16)

dtLQrQH式中，h，q，Tw。其中，Hr为额定水头，Qr为额定

HrQrgAHr流量。对式（3.16）两边取拉氏变换得

H(s)TwsQ(s)

于是引水系统传递函数为

(3.17)

H(s)Tws (3.18) Q(s)式中，Tw为水流惯性时间常数，可理解为以额定水头Hr加速管道中水流到

Gh(s)额定流量Qr所需要的时间。Tw越大，水击压力越大，对调节过程影响越大。

刚性水击引水系统方块图如图3.7所示。

q(s)Twsh(s)

图3.7 刚性水击引水系统方块图

3.2.4 水轮机数学模型

在水轮机工况缓慢变化时可近似用稳态特性描述其动态特性，实践表明，当

1水轮机工况变化时，理论分析结果与实测结果的误差是允许的。水轮机动

s态特性常采用水轮机稳态工况下的力矩特性和流量特性表示，

MtMt(,n,H) (3.19)

(3.20) QQ(,n,H)

式中，Mt为水轮机力矩，Q为水轮机流量，为导叶开度，n为机组转速，

H为水轮机工作水头。

在小波动情况下，设水轮机的初始工况点为0，nn0，HH0。进入动态过程后，0，nn0n，HH0H。将式（3.19）、（3.20）隐函数表示的力矩特性和流量特性在工况点(0,n0,H0)展开为泰勒级数，并忽略二阶及以上高阶微量，得

MtMtMt MtMt(,n,H)Mt(0,n0,H0)nH (3.21)

nHQQQ (3.22) QQ(,n,H)Q(0,n0,H0)nH

nH取相对值，有

MMMtttMrMrMr (3.23) mtyxh

nHmaxnrHrQQQttQrQrQr (3.24) qyxh

nHmaxnrHrMtQ式中，mt为力矩偏差相对值，q为流量偏差相对值，y为

MrQemaxnH导叶开度偏差相对值，x为转速偏差相对值，h为水头偏差相对值。

nrHr令

MMMtttMrMrMr (3.25) ey,ex,ehnHmaxnrHrQQqrQr (3.26) eqy,eqx,eqhnHmaxnrHr式中，ey为水轮机力矩对导叶开度传递系数，ex为水轮机力矩对转速传递系

eqy为水轮机流量对导叶开度传递系数，eqxeh为水轮机力矩对水头传递系数，数，

QQr为水轮机流量对转速传递系数，eqh为水轮机流量对水头传递系数。

于是，式（3.23）、（3.24）可写为

mteyyexxehh

(3.27) (3.28) (3.29) (3.30)

qeqyyeqxxeqhh

经拉氏变换得水轮机传递函数为

Mt(s)eyY(s)exX(s)ehH(s)

Q(s)eqyY(s)eqxX(s)eqhH(s)

3.2.5 发电机负载数学模型

K1K2KmMg1Mgg21MgmGKm1KnMgm1Mgn图3.8 发电机负载力矩简化模型

在图3.8中，G表示发电机，Mg1~Mgn表示负载力矩，K1~Kn表示断路器。 初始稳定工况时，设0，K1~Kn全部闭合，发电机负载力矩

MgMg0Mgi0。在t0时刻断开Km1~Kn，切除Mgm1~Mgn，发电机负

i1n

荷减少。当t0时，调节系统进入到动态过程，0，

MgMgi(0)，于是有

i1m

MgMgMg0[Mgi(0)Mgi(0)]i1mim1Mngi(0)

(3.31)

式（3.31）第一项可写成

[Mgi(0)Mgi(0)]i1i1mmdMgid

(3.32)

令式（3.31）第二项Mgi(0)Mg0，于是式（3.31）变为

im1n

Mgi1mdMgidMg0

(3.33)

对式（3.33）取相对值，得

mgegxmg0

(3.34)

式中，mgMgMr，xr，egi1mdMgiMr，mg0Mg0Mrdr。

eg表示发电机负载力矩随转速的变化率，egx其数值大于零。当转速升高时，

这部分负载力矩增加，从而抑制了转速的进一步升高；当转速下降时，egx这部分负载力矩减小，从而抑制了转速的进一步降低，因而eg也称为发电机负载自调节系数。

由式（3.34）知，发电机负载力矩可分为两部分，第一项egx表示调节系统进入动态过程时随转速变化的力矩，第二项mg0表示在t0切除或投入的0时刻负载力矩，这部分力矩不随转速变化，是调节系统的负荷扰动力矩。 3.2.6 水轮发电机组数学模型

水轮发电机组转动部分可视为绕顶轴转动的刚体，其运动方程为

d (3.35) JMtMg

dt式中，J为机组转动部分转动惯量，为机组的角速度，Mt为水轮机主动力矩，Mg为发电机阻力矩。

设初始稳定工况t0时，0，MtMt0Mg0Mg。在t0时，调节系统进入动态过程，0，MtMt0Mt，MgMg0Mg，代入式（3.35），得

d(3.36) MtMg

dt以额定角速度r作为的基准值，额定力矩Mr作为Mt和Mg的基准

JMgMt，mg分别表示转速、主动力矩、负载力矩MrrMr偏差相对值，式（3.36）变换为

dxTamtmg (3.37) dtJr其中，Ta，称机组惯性时间常数，可理解为以额定力矩加速机组，转

Mr值，并用x，mt速从零到额定转速所经历的时间。

将式（3.34）代入式（3.37），得

dx Tamtmg0egx

dt取拉氏变换，得

1X(s)[Mt(s)Mg0(s)egX(s)]

Tas(3.38)

(3.39)

结合水轮机力矩方程、流量方程和引水系统传递函数，得水轮发电机组整体方块图如图3.9所示。

eyeqhY(s)Mg0(s)heqyeqxqTwsehmtegex1TasX(s)

图3.9 水轮发电机组整体方块图

考虑到混流式水轮机eqx较小，令eqx0，并将水轮机自调节系数ex与发电机负载自调节系数eg合并，令enegex，图3.9变换为图3.10，左边虚线框内为水轮机传递函数，用Gt(s)表示，右边虚线框内为发电机传递函数，用Gg(s)表示。

eyeqhY(s)Mg0(s)eneqyhqTwsehMt(s)1TasX(s)Gt(s)Gg(s)图3.10 水轮发电机组方块图

水轮机传递函数

Gt(s)ey1eTws

1eqhTws(3.40)

其中，eeqyeyeheqh。

在额定工况时，一般有ey1.0，eh1.5，eqy1.0，eqh0.5，水轮机传递函数为

Gt(s)ey1Tws

10.5Tws(3.41)

式（3.41）称为理想水轮机模型，其反映了水轮机的基本特征。由自动控制理论可知，由于水轮机传递函数中有一个正零点，所以水轮机是非最小相位系统。

发电机及负载传递函数

X(s)1Gg(s) (3.42)

Mt(s)Mg0(s)Tasen由式（3.42）知，发电机及负载传递函数为一阶惯性环节，其中，Ta为机组

enegex为水轮发电机组综合自调节系数。0eg1.0，惯性时间常数，一般的，

1ex0，所以，0en2.0。

机组惯性不仅包含发电机转子及大轴GDg2，还包含水轮机转轮GDt2及转轮区水流机械惯性GDw2。而且应注意到，许多发电机负载是旋转机械，它们同样存在机械惯性，若用GDi2nri2表示它们的转动惯量，Pr表示发电机额定出力，则负载惯性时间常数Tb可用下式计算，即

3580Pr考虑负载惯性时间常数Tb后，水轮发电机组传递函数为

X(s)1Gg(s)

Mt(s)Mg0(s)(TaTb)sen3.2.7 水轮机调节系统数学模型

TbGD2inri2 (3.43)

(3.44)

由水轮机调速器和水轮机及其引水系统构成的水轮机调节系统如图3.11所

示，这是一个定值调节系统，其中，cx为转速给定信号，e为给定与输出比较后的误差信号，y为接力器位移，mt为水轮机输出转矩，mg0为负荷扰动，x为发电机转速。

Cxemg0调速器Gr(s)y水轮机及引水系统Gt(s)mt发电机及负载Gg(s)x

图3.11 水轮机调节系统示意图

具有加速度环节的软反馈型调速器的传递函数为

(Tns1)(Tds1)Y(s)Gr(s)'

E(s)(Tns1)[TyTds2(TybTbT)sb]tdpdp一般的，TybTtd

(3.45)

bpTd，故式（3.45）可简写成

Gr(s)Y(s)E(s)(Tns1)(Tds1)

TbT(Tn's1)(tds1)(ys1)bpbpbt(3.46)

如果忽略小时间常数和bp，即进一步假定bp0，Ty0，Tn'0，则

Gr(s)TY(s)TnTd1ns E(s)bTbTbttdtds(3.47)

即具有PID调节规律。对于并联型调速器而言，其参数对应关系为

TTT1KPnd,KI,KDn (3.48)

bTbTbttdtd设控制对象为混流式水轮机，且机组转速对流量的影响可以忽略，即eqx0，按刚性水击考虑水流的惯性作用，则水轮机及其有压引水系统的传递函数为

M(s)ey(eqyeheyeqh)Tws (3.49) Gt(s)tY(s)1eqhTws令e

eqyeheyeqh，则上式可简写为

Mt(s)ey(1eTws) Gt(s)Y(s)1eqhTws(3.50)

如果仅考虑单机带负荷情况，发电机及负载的传递函数为

1Gg(s)

Tasen如果使用PID调节规律，可得整个系统的开环传递函数为

ey(Tns1)(Tds1)(eTws1)X(s) Go(s)TbTTE(s)enbp(Tn's1)(tds1)(ys1)(eqhTws1)(as1)bpbten(3.51)

(3.52)

由控制原理知，调节系统闭环传递函数由其开环传递函数和系统结构确定。

当系统作为随动系统时，系统的转速输出x将跟随转速给定信号Cx，这时其闭环传递函数为

Gc(s)Co(s)X(s) Cx(s)1Co(s)(3.53)

当系统作为恒值调节系统时，考察系统的转速输出x在负荷扰动mg0作用下的变化规律，这时其闭环传递函数为

Gg(s)X(s) Gc(s)Mg0(s)1Co(s)(3.54)

比较式（3.53）和式（3.54）易看出，水轮机调速系统的输出对于转速给定

信号和负荷扰动信号的传递函数分子是不同的，因此，其动态相应过程和稳态误差也是有区别的。前者主要用于考察系统在机组空载状态下的性能，后者则主要用于考察系统在机组的负荷扰动或甩负荷情形下的特性。

3.3 本章小结

本章介绍了水轮机调节系统的组成、任务和特点，并分别建立了机械液压系统、调速器、引水系统、水轮机、发电机负载和水轮发电机组的数学模型，得到其传递函数，在此基础上，推导出整个调节系统在小波动情况下的数学模型，为水轮机调节系统参数分析做好准备。