复杂网络上具有多感染阶段的传染病传播模型

复杂网络上具有多感染阶段的传染病传播模型

作者：廖列法 孟祥茂

来源：《计算机应用》2014年第11期

摘要：针对传染病传播模型缺乏多感染阶段的不足，结合SIR和SEIR两种传播模型的特性，提出了一种改进的具有多感染阶段的SIR传染病传播模型（即SInR模型）。该模型充分考虑了不同感染阶段的非均匀感染力对不同网络结构上传染病传播及传播阈值的影响；同时引入相对感染力及传播时间尺度的概念，从网络结构、网络规模及相对感染力方面进行了仿真研究。仿真中无标度网络采用BA模型的生成算法，而小世界网络采用WS模型的生成算法。由仿真可知，感染节点在整个感染过程中大致服从泊松分布，因此在SInR模型下无标度网络的传播速度更快，范围更广；相对感染力对于传染病的大规模爆发存在着一个阈值，当感染力大于阈值时传染病才能大范围地爆发传播，而小于阈值时传染病只会局域小范围传播直至消失，无标度网络的感染力阈值为0.2，小世界网络的感染力阈值为0.24；随着网络规模的增大，传播时间尺度也在增大，相应的传播速度就会降低。仿真结果表明：该模型下无标度网络传染病传播速度更快且影响范围更大；无标度网络的相对传染力的传播阈值小于小世界网络，设置合理阈值有利于降低传染病的传播影响力。

关键词：传染病；传播模型；SInR模型；复杂网络；相对感染力 中图分类号： TP391.9； O231.5文献标志码：A 0引言

长期以来，传染病一直在不断地困扰着人们和社会，从天花、西班牙流感到AIDS病毒、SARS病毒再到H7N9流感病毒，每一次的传染病的大爆发都严重影响了社会的发展，造成人们的恐慌以及巨大的经济财富损失。因此，深刻理解并掌握传染病在人群中的传播规则以及相关的影响因素，对于政府相关部门制定有效的预防控制策略十分有价值[1-2]。

近年来，复杂网络成为各学科研究热点，为研究传染病传播规律提供了新的视角。现实世界中包含大量的组成单元的复杂系统都可以当作复杂网络来研究，把构成单元抽象为节点，单元之间的相互作用抽象为边[3-5]。传染病在人群中的传播可以看成是服从某种规律的网络传播行为，可以通过建立数学模型加以分析研究，目前研究并应用最多的为易感感染易感（Susceptible-Infected-Susceptible，SIS）、易感感染恢复（Susceptible-Infected-Recovered，SIR）、易感暴露感染恢复（Susceptible-Exposed-Infected-Recovered， SEIR）等模型[6-10]，这些模型研究都得出了各种传染病存在临界行为和传播阈值的特性。然而这些模型都是理想化的

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仓库模型[11]，自身有两个缺陷：1）均匀混合假设，未考虑个体差异，等概率接触、传染； 2）未结合实际一些传播特性（如多病程）以及网络结构的影响。像AIDS病毒感染患者，会经历多个感染阶段：急性阶段、无症状阶段和艾滋病阶段，且不同感染阶段患者的传染性存在较大差异[12]。文献[13]分析了具有多感染阶段的SEIRS模型，通过设置标准感染函数来表示不同阶段的感染力。而文献[14]在同质和异质网络上研究了具有多染病期的SIS模型的传播特性，考虑了传染力为节点度的非线性函数，得到了基本再生数。文献[15]提出了一个新的SIR模型，同时考虑了感染延迟和非均匀传播因素。

基于此，本文提出了具有多感染阶段的SInR模型，感染个体在不同阶段具有非均匀的感染力。同时引入相对感染力及传播时间尺度的概念，从网络结构、网络规模及相对感染力方面进行了仿真研究。该模型更符合实际一些传染病的特性，对于深入理解真实复杂系统中传染病传播机理及内在规律提供了新的视角。 1基本复杂网络模型 1.1小世界网络

小世界效应和无标度特性是目前被广泛研究的复杂网络特征。小世界效应是对“六度分割理论”的推广，在生活中表现为朋友的朋友往往也是相识的。1998年Watts等[16]首次冲破随机网络框架，构建了小世界网络模型。小世界网络具有较短平均距离和较大的聚集系数。 1.2无标度网络

大量研究发现许多网络中大部分节点只有少数链路，而某些节点（hub节点）却拥有与其他节点大量的链接，表现在度上就是幂律分布而不是小世界网络中的泊松分布。1999年，Barabási等[17]建立了BA无标度网络模型。该模型考虑了现实网络的增长特性，以及新节点更倾向于与那些具有高度的“大”节点相连的优先链接特性。 2传播模型 2.1SIR模型

如图1所示在SIR模型中，种群中的个体被分为三类[18-19]：

1）易染者（或易染个体）S（Susceptible），如果一个个体可能被感染，那么他就是易染的；

2）感染者（或染病个体）I（Infected），如果个体已经接触传染源，那么他就是感染的；

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3）恢复者（或免疫个体）R（Recovered），如果个体是从感染中恢复并且获得免疫力的个体或者是因感染已经死亡的个体，他们不会感染其他个体，也不会被其他个体感染，那么他就是恢复的。

通常情况下：易染者S表现为健康状态，他以速率β通过与染病者直接接触而变为染病者I。染病者I以λ的概率恢复为健康状态并获得免疫性，从而变为恢复者R。 2.2SEIR模型

在SIR模型的基础上，考虑到有疾病潜伏期的传染病，在S、I、R三种状态基础上增加了暴露E（Exposed）状态，构建了SEIR传播模型[9]，如图2所示。

在SIR模型中未考虑个体间的差异性，个体与邻居接触的概率不同而且被感染概率可能也不同，同时个体自身的免疫力不同也会导致被感染概率有所不同的情况。另外，一些病毒（如HIV）在彻底发病前都会经历一系列不同的感染阶段（如SEIR模型中潜伏期），在每一个阶段都具有不同的感染概率，基于此，本文提出了一种改进的具有多感染阶段的SIR模型，即SIn

3实验与分析 3.1实验环境

实验是在Intel Core、CPU T6500， 2.1GHz的主频、2GB的内存，Windows XP的操作系统环境下，采用Matlab R2012b平台仿真。 3.2网络结构的影响

实验主要在无标度网络和小世界网络两种网络模型中研究SInR模型的传播行为规律，无标度网络采用BA模型的生成算法，而小世界网络采用WS模型的生成算法。便于仿真模拟，初始网络节点N=1000；网络节点平均度d=6（主要依据“六度分离”原理）；相对感染力k=0.5，感染向量设为V=（0， 0， 0.025， 0.075， 0.225， 0.250， 0.250），感染向量V的设置依据是传染力随时间有一个适合的潜伏期，开始阶段渐渐增加，末期就会稳定不变；网络S、I、R三种初始状态为：inistates（1，1）=-1；inistates（6，1）=-1；inistates（18，1）=-1；inistates（23，1）=-1；inistates（34，1）=-1；inistates（3，1）=1；inistates（8，1）=2；inistates（14，1）=4；inistates（19，1）=2；inistates（39，1）=1；初始状态为0的表示S状态，-1为R状态，其他表示I态的对应阶段（如initstates（19，1）=2对应于I2状态），所得仿真结果如图4所示。

由图4和表1可看出：感染节点在整个感染过程中大致服从泊松分布，感染个体数量在刚开始阶段增长较为缓慢，之后在某个时间步迅速增加达到峰值后又缓慢下降，峰值的大小在一

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定程度上代表了传染病最终的影响力。在时间步依次为20，35时无标度网络、小世界网络的感染个体达到最大分别为361，284，感染比例分别为36.1%、28.4%。因此在SInR模型下无标度网络的传播速度更快，而且范围更广，这是因为无标度网络中存在度比较大的核心节点，一旦这些节点被感染，其传播速度就会明显加快。同时无标度网络异质性（表现为各节点之间的连接状况（度数）具有严重的不均匀分布性：网络中少数称之为Hub点的节点拥有极其多的连接，而大多数节点只有很少量的连接）更大，进一步得出，异质性越大，越有益于传染病的传播。图5为两种网络中每一个时间步内感染个体数量比例的对比，其结果与图4分析一致。

图6反映了在不同相对感染力k值下的感染个体所占比例的大小。 3.3相对感染力的影响研究 3.4网络规模的影响

前面实验都是在网络节点不变的情况下，进行的对比实验原文“试验”，这里考虑在不同网络规模下传播的情况。三种网络规模的节点数目分别从200，400，600，800，1000，1200，1400，1600增加，在每一个网络节点数目下仿真了500次实验，所得结果如图8所示。从图8可看出：随着网络规模的增大，传播时间尺度也在增大，相应的传播速度就会降低。为了更清楚地观察两者变化规律，在每一个网络节点的500次实验中取一个平均值，然后做出不同网络节点数目的曲线（见图9）。从图9可看出：随网络规模增大，传播时间尺度呈现类似对数函数式的增加。 4结语

掌握传染病在网络中的传播行为对于指导制定传染病的预防和控制措施具有十分重大作用，结合传统的SIR和SEIR两种传播模型的特性，提出了一种改进的SIR传播模型——SInR模型，该模型中感染个体会经历n个具有非均匀感染力的感染阶段，更符合实际一些传染病的多病程的传播特性。通过在无标度网络和小世界网络两种基本复杂网络模型上，在不同影响因素条件下仿真研究了SInR传播模型的传播规律。实验结果表明：网络结构和网络规模对该模型上传染病的传播有较大影响，另外两种网络都存在相对传染力的传播阈值kc，设置合理阈值kc有助于降低传染病的最终影响力，这一新的模型有助于更深入了解真实复杂系统中传染病的传播行为。 参考文献：

[1]KEELING M J， ROHANI P. Modeling infectious diseases in humans and animals[M]. Princeton： Princeton University Press， 2008.

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[2]EPSTEIN J M， ROHANI P. Modeling to contain pandemics[J].Nature，2009， 460（7256）： 687-687.

[3]PAN W， LI B， MA Y， et al. Multi-granularity evolution analysis of software using complex network theory[J]. Journal of Systems Science and Complexity， 2011， 24（6）： 1068-1082.

[4]MA Y， HE K， LI B， et al. Empirical study on the characteristics of complex networks in networked software[J]. Journal of Software， 2011，22（3）：381-407.（马于涛，何克清，李兵，等.网络化软件的复杂网络特性实证[J].软件学报，2011，22（3）：381-407.）

[5]YANG B， HU Y. The application of statistical inference in complex networks[J]. Complex Systems and Complexity Science， 2014，11（1）：67-76.（杨宝莹，胡延庆.统计推断方法在复杂网络中的应用[J].复杂系统与复杂性科学，2014，11（1）：67-76.）