基于压缩感知的时频分析方法

基于压缩感知的时频分析方法

基于压缩感知的时频分析方法以时频表示的稀疏性为前提。通过构造压缩感知的欠定方程和重构算法，它达到了了高度的聚集性，低计算量和对时频表示丢失数据的考虑。大多数现有工作仅限于基本欠定方程构造阶段和传统重构算法的使用。信号模型，重构算法设计和信号自适应稀疏表示都缺乏深入的研究。为了解决上述问题，建立了非平稳信号的时频表示的一般先验模型。在信噪比低，缺乏先验知识的情况下，设计了性能好，复杂度低的时频表示重构算法，以获得一种时频聚集度高，计算量小，自适应和有对缺失数据的考虑的时频分析方法。1.前言

信号采集，信号描述和信号处理是现代科学研究和实际应用中不可或缺的重要组成部分。在信号处理中，时频分析是非平稳信号的有力工具（Boashash,Boualem,Azemi,Ghasem,O’Toole,John M.Time-Frequency Processing of Nonstationary Signals:IEEE Signal Processing Magazine,2013；张傲.基于稀疏快速傅里叶变换的时频分析技术研究:西南交通大学,2018），因此引起了广泛的关注。时频分析将一维时域信号映射到二维频率平面，构建时间和频率的联合函数。它不仅可以表示时频域中信号能量的局部变化，还可以用于提取信号的频率特性。它已被广泛应用于许多研究领域。频谱分析研究对于有效分析地震波和导波信号，生物信号，机械信号，雷达信号和语音信号等非平稳信号具有重要意义。

随着时频分析技术和相关信号分析方法的发展，传统的时频表示有了很多改进和新的时频表示方法。根据它们的不同具体表现形式，它们可以分为线性信号时域变换和非线性信号时频表示，自适应时频分析和基于经验模式分解的时频分析方法。线性时频变换使用基函数实现信号的分解。它的基函数具有特定的时频局部特征，因此会产生不同的时频表示。目前线性时频变换的发展主要体现在窗函数的构造和时频基函数的设计和尺度变换上（P.Balazs,Senior Member.Adapted and Adaptive Linear Time-Frequency Representations:A Synthesis Point of View:IEEE Signal Processing Magazine,2013）。与线性时频表示相比，非线性时频表示具有较高的频率聚集性，但在这种时频表示的多分量信号分析中会出现交叉项干扰。为了在特定应用的背景下损害时频聚集性和交叉抑制，大多数修改的二次时频分布致力于减少交叉

• 200 •

南京邮电大学  孙新新

项的影响（Ram Bilas Pachori,Pradip Sircar.A new technique to reduce cross terms in the Wigner distribution:Digital Signal Process,2007）。根据先前知识的积累，针对特定信号类型和应用背景的自适应时频分析，自适应地调整基函数，内核参数或设计模型的参数并确定频率参数设计（Yang Yang,Zhike Peng,Xingjian Dong.Application of Parameterized Time-Frequency Analysis on Multicomponent Frequency Modulated Signals:IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement,2014）。尽管时频分析技术的发展最近大大改进了传统时频方法的技术，但仍存在许多问题：

缺乏对数据缺失的考虑：在某些应用中，频率特性非平稳信号将错过采样点的部分信道衰减，干扰或脉冲噪声的影响。这些丢失的数据将导致在整个频域中出现噪声点。因此，有必要研究如何在没有数据缺失的情况下进行有效的时频信号分析；

在时频聚集性和交叉抑制之间存在着困难平衡：现有的交叉项抑制方法对于特定的应用背景是有效的，一旦分析对象发生变化，错误消除和过度抑制交叉点会导致时频聚集性的下降；

高分辨率时频分析方法的计算过高：现有的时频方法为了获得更高频率的聚集度，往往会引入更多由信号决定的参数，并且参数估计过程通常是复杂的。通过特定的优化标准很难满足选择计算内核量的实时要求。自适应基函数信号分解中也存在同样的问题。这种技术通过特定的基函数处理信号来实现在一定范围的参数中实现处理迭代匹配搜索，但它的即时性表现不佳。

为了解决上述问题，迫切需要一种新的信号处理框架。本文将压缩感知理论引入信号时频分析，得到一种具有高时频聚合度，计算量小，适应性强，对缺失数据有考虑的时频分析方法。2.基于压缩感知的时频分析的理论框架

2006年，David Donoho、Emmanuel Candes和陶哲轩提出了一种新的信息获取理论：压缩感知，也称为压缩采样，稀疏采样。压缩感知理论指出，只要信号是稀疏的或可压缩的，就可以以比奈奎斯特频率低得多的采样频率对信号进行采样，并通过非线性信号重建算法精确地恢复原始信号。该理论突破了奈奎斯特采样定理的局限性，为信号处理理论和工程应用提供了一种新的方法。压缩传感技术由三部分组成：稀疏字典设计，欠定方程构造，恢复算法设

ELECTRONICS WORLD・技术交流计。其中，欠定方程是：

y=Φχ (1)在这个等式中：Φ是M×N测量矩阵，y表示测量值，X表示对象的重建。由于M图1 基于压缩感知的时频分析

3.两种基于压缩感知的时频表示

3.1 时频表示结合时频干扰消除法和压缩感知理论

根据时频分析和压缩感知的结合，现有研究大致可分为两类，基本思想如图2所示。文献（L.Stankovic,S.Stankovic,I.Orovic,M.G.Amin.Compressive Sensing Based Separation of Non-Stationary and Stationary Signals Overlapping in Time-Frequency:IEEE Transactions on Signal Processing,2013）研究了窄带信号与非平稳干扰信号在时频平面上的分离，提出了一种L统计方法来去除干扰信号的短时傅里叶变换时频点。基于信号的短时傅里叶变换和离散傅里叶变换之间的线性关系，可以从信号的相位信息构造和恢复欠定方程。在处理脉冲噪声的过程中，文献（Irena Orovi,Srdjan Stankovi,Moeness Amin.Compressive Sensing for Sparse Time-Frequency Representation of Nonstationary Signals in the Presence of Impulsive Noise:SPIE Defense,Security and Sensing,2013）利用L统计方法去除了模糊函数域中被脉冲噪声污染的时频点，利用模糊函数的傅里叶变换和Wigner-Ville分布构造了欠定方程，并重建稀疏的Wigner-Ville分布。在文献（L.Stankovic,I.Orovic,S.

Stankovic,M.G.Amin.Robust Time-Frequency Analysis based on the L-estimation and Compressive Sensing:IEEE Signal Processing Letters,2013）中使用相同的处理框架，其中给出了统一的欠定方程，并且测量结果来自L统计方法的结果。虽然L统计方法可以消除由脉冲噪声污染的高阶自相关函数点，但是由此方法引起的信息缺乏会导致新的误差和噪声。在文献（Orovic,S.Stankovic.Improved Higher Order Robust Distributions based on Compressive Sensing Reconstruction:LET Signal Processing,2014）中，我们将最大似然估计与L统计方法相结合，并提出基于高阶时频表示中的脉冲噪声问题的高阶自相关函数的稀疏性来恢复缺失信息。

图2 基于超参数的分层结构

基于压缩感知的时频方法也用于处理缺失数据。在文献（W.Qisong,YD.Zhang,M.G.Amin.Continuous structure based Bayesian compressive sensing for sparse reconstruction of time-frequency distributions:19th International Conference on Digital Signal Processing(DSP),2014）中，通过丢失数据信号的信号结构改进了重建算法。缺失数据对时频表示和模糊函数的影响等效于文献（Y.D.Zhang,M.G.Amin,and B.Himed.Reduced interference time-frequency representations and sparse reconstruction of undersampled data:in Proc.European Signal Proc,2013）中的加性脉冲噪声。为了消除加性脉冲噪声的影响，时频表示的稀疏性用于设计缺失数据的核函数（B.Jokanovic,M.G.Amin,and Y.D.Zhang.Reducing noise in the time-frequency representation using sparsity promoting kernel design:Proceedings of the SPIE Symposium on Defense,Security,and Sensing,Compressive Sensing III Conference,Baltimore,2014）。

3.2 基于模糊域抽样和压缩感知理论的估计或时间频率表示

• 201 •

ELECTRONICS WORLD・技术交流在文献（A.lung,G.Tauback,and F.Hlawatsch.Compressive nonstationary spectral estimation using parsimonious random sampling of the ambiguity function:in Proc.IEEE 15th Workshop StatJst.Signal Process,2009）中，利用压缩感知算法估计稀疏，非扩散和非平稳随机过程的Rihaczek谱。首先，通过最小方差无偏估计器在模糊函数中截取以原点为中心的矩形区域。然后将在该地区进行随机抽样。通过将采样值作为CS的测量值来重建Rihaczek分布。在文献（A.Jung,G.Tauback,and F.Hlawatsch.Compressive spectral estimation for nonstationary random processes:IEEE Trans.Information Theory,2013）中，通过组合最小方差无偏估计和压缩感知技术来估计非扩散随机过程的稀疏Rihaczek谱。Tt提出应对模糊函数估计及其共轭进行平均以提高精度。仿真结果表明，仅使用一半模糊函数测量的Rihaczek谱估计结果与那些不使用压缩感知方法的谱相等，这证明了压缩传感技术的引入确实可以在保证准确性的前提下减少测量次数。

4.非平稳信号一般时频表示的稀疏结构模型

基本思想是构建基本的全局稀疏模型。在本文中，我们使用分层稀疏先验结构模型来代替常见的稀疏拉普拉斯先例分布，然后表示重构对象的全局稀疏性。然后我们扩展此模型：为支持域添加独立的非各向同性分布模型，以便它可以为支持区域和零值区域提供具有不同分布的先验建模。并且非零值将较大概率的出现在非零值区域中。为了反映非零值元素时频表示的连续性，本文将分析时频平面中零值元素和非零元素的不同组合，合理设置概率参数，连续性的组合将以更高的概率出现。根据压缩感知的基本概念，我们从一个包含加性噪声的简单观察模型开始：

y = Φx + n (2)x表示重建对象-时间-频率表示，n是高斯噪声，其平均值为0且方差为1，并且它们是相互独立的。

根据线性贝叶斯估计理论，观测y遵循高斯分布，相应的似然函数为：

(3)

时频表示x的最简单的先验分布是高斯随机分布。假设x的最大后验概率估计函数是：

∧xMAP=argxmaxPDF(y|x)PDF(x)=ΦT(λI+ΦΦT)−1y (4)在上面的等式中，基于该假设。有效地降低了高斯白噪声对系统的影响。并且由于先验假设中涉及的参数数量少，的计算复

杂度很低。从上述估计表达式可以看出，中估计的非零值的数

量很多，并且稀疏性不明显。为了使时频表示具有更好的稀疏性，

我们可以假设x遵循A的拉普拉斯先验分布。

• 202 •

PDF(x|λ)=(λN2)Nexp(−λ∑|xi1i|) (5)

=然而，该假设不是由等式3给出的高斯似然函数的共轭，并且贝叶斯推导不能得到闭式表达式。为了解决这个问题，使用图3所示的分层先验模型结构用多层结构的先验假设的叠加代替拉普拉斯先验分布，然后表征时频表示的稀疏性。在第一组中，每个元素服从高斯先验分布，均值为零，方差为αi−1。

PDF(x|α)N=∏N(x (6)

i|0,αi−1)i=1假设超参数α和噪声参数α0服从参数a，b和c，d的Gamma分

布：

PDF(α|a,b)N=∏Γ(αi|a,b) (7)

i=1PDF(α0|c,d)=Γ(α0|c,d) (8)

在上面的等式中，α0=1/σ2将(6)带入(7)，我们就可以得到：

PDF(x|a,b)=∏N∫∞N(x1i|0,α−i)Γ(αi|a,b)dαi (9)

i=10由于伽马分布是高斯分布的先验共轭，因此等式(9)中的积分可以得到满足T分布的解析解。根据T分布的特点，只要参数a，b的值可以正确选择，T分布在xi=0处得到极值的概率就会大大增加，然后时频表示的稀疏性可有效保证。

在全局稀疏性的建模中，假设x中的每个元素遵循相同的分布。但是，这个简单的假设并不满足实际应用。通常，实际的时频表示具有能量累积的特性。支持域的非零元素值倾向于以块出现并且集中在相对固定的区域中。在基于相同分布假设的分层先验模型的全局稀疏模型中，不考虑支持域的稀疏结构和位置的先验信息。这些功能将用于未来的研究中。可以认为将不同的参数分配给零值和非零区域，增加非零区域中出现大值的概率，并抑制零值区域中大值的出现。此外，我们将进一步研究非零值连续性的建模，并设计零和非零位置模式的组合，使得能够表示连续性的组合模式以更高的概率出现，以提高后续重构算法的性能。5.结论

在本文中，我们重点研究了基于压缩感知的时频分析的关键问题，并研究了使用稀疏重构和稀疏表示的有效信号时频分析。建立了非平稳信号的一般先验时频表示模型，以克服目标的具体局限性，提高其实用性。在低信噪比和缺乏稀疏先验知识的情况下，该设计具有良好的性能和低复杂度的时频表示重构算法。研究结果有助于促进新的时频分析方法的发展，并增强对新兴应用需求的支持。

作者简介：孙新新（1993—），山东聊城人，硕士，现就读于南京邮电大学，研究方向：时频分析方法的研究。