2.剪应力、剪力流理论

剪应力、剪力流理论和剪切中心

一、梁的剪应力计算公式

VSIb，可求得梁竖向受弯时截面的竖向剪应力（图6－7）。

由梁的剪应力计算公式

这在实体式截面（例如矩形截面）时为正确，但对薄壁构件则存在一些不合理现象。

例如在工形截面梁（图6－7c）中，按式（6－7）所得腹板剪应力顺着腹板中轴线方向，是合理的；而翼线剪应力则有不合理处，主要是在翼缘与腹板的交接处发生翼缘剪应力很小而腹板剪应力大的剧烈突变。这是由于计算翼缘剪应力时假定为沿翼缘全宽b均匀分布，实际上翼缘内表面cd和ef段为自由表面，不存在水平剪应力，因而也不会有成对相等产生的垂直于表面方向的翼缘竖向剪应力，亦即剪应力不会在翼缘全宽内均匀分布。

另外．取梁翼线的dz微段a11a（图 6－13a）考察其平衡，仿式（6－7）的推导，可知在翼缘内主要将有水平剪应力，其计算公式为：

VSIt （6－20）

ydA公式形式与式（6－7）相同，但A1取计算剪应力处（l点）以外翼缘部分A1（图6

－13b）对中和轴的面积矩， t取计算剪应力处的冀缘厚度。

这样，整个工形截面梁在竖向受弯时的剪应力分布将如图6－13b，具体公式为：

翼缘水平剪应力（s自0的翼缘自由端即角点算起，对c、d点为s＝0，b／2）：

sthVSxV2VhsIxtIxt2Ix （6－20）

c0 ，

dBbh4Ix

腹板竖向剪应力（s自腹板端点即腹板与翼缘中线交点算起，对d、O点为s＝0，h／2）：

VSxVbth2stw(hs)2Vtbhtws(hs)IxtIxtw2Ixtw （6－20）

qBVbhtVhbthqD()2Ixtw ， 2Ixtw4

注意所有剪应力都在顺着薄壁截面的中轴线S方向，并为同一流向（图6－13b）。容易证明：截面全部剪应力的总合力等于竖向剪力V，水平合力则互相抵消平衡。

二、薄壁构件的剪力流理论

根据上面的推论，可得到薄壁构件受弯时的剪应力分布规律：无论是竖向、水平或双向受弯，截面各点剪应力均为顺着薄壁截面的中轴线S方向（图6－13b、6－14，示竖向弯曲情况），在与之垂直即壁厚方向的剪应力则很小而可忽略不计；且由于壁薄可假定剪应力τ沿厚度t为均匀分布，其大小为：

VSVSqtIt ， I （6－23）

上面左式τ即式（6－20）的剪应力，右式qt则是沿薄壁截面s轴单位长度上的剪力（N／mm）。除了需要验算剪应力的情况外，用qt一般更为方便实用。

VySyIy竖向弯曲时上式用

VStxxIx，水平弯曲时则用

t。因二者τ的方向均为沿S铀，

故双向弯曲时二者可直接叠加（考虑正负号）。

将qt按其方向用箭头线画在薄壁截面中轴线S轴上时，将成为自下向上或自上向

下的连续射线（图6－13b、6－14）；qt称为薄壁构件竖向（或水平）弯曲产生的剪力流。这种剪力流在任意截面上都是连续的，在板件交点处流入的与流出的剪力流相等；并且在截面端点处为零，中和轴处最大。

三、剪切中心

由对称关系可以知道，对于双轴对称截面的梁（例如图6－13的工形截面梁），当横向荷载作用在形心轴上时，梁只产生弯曲，不产生扭转。这时，截面上三角形分布弯曲应力的合力等于弯矩 M ，截面上剪力流的合力是通过形心轴的剪力V，正好平衡。

对于槽形、T形、L形等非双轴对称截面，当横向荷载作用在非对称轴的形心轴上时，梁除产生弯曲外，还伴随有扭转。现以图6－15糟形截面梁为例来说明。

如图6－15所示，当横向荷载 F不通过截面的某一特定点S时，梁将产生弯曲并同时有扭转变形，其外扭矩为Fe。若荷载逐渐平行地向腹板一侧移动，外扭矩和扭转变形就逐渐减小；直到荷载移到通过S点时，梁将只产生平面弯曲而不产生扭转，亦即S点正是梁弯曲产生的剪力流的合力作用线通过点（下段再详述）。因此，S点称为截面的剪切中心。荷载通过S点时梁只受弯曲而无扭转，故也称为弯曲中心。根据位移互等定理，既然荷载通过S点时截面不发生扭转即扭转角为零，则构件承受扭矩作用而扭转时，S点将无线位移，亦即截面将绕S点发生扭转变形，同时扭转荷载的扭矩也是以S点为中心取矩计算（图 6－15C）；故 S点也称为扭转中心。

现根据截面内力的平衡来求剪切中心S的位置：

——当梁承受通过S的横向荷载时，梁只产生三角形分布的弯曲应力和按剪力流理论的剪应力。截面弯曲应力的合力正好等于弯矩M；截面剪力流的合力正好等于剪力V，而且合力作用线必然通过S才能正好与横向荷载平衡。因此，求出剪力流合力的作用线位置也就是确定了剪切中心S的位置。

槽形截面剪力流的计算公式与工形截面的式（6－21、6－22）相同，即（图6－15a）：

翼缘剪力流（S自中线自由端算起，对A、B点为S＝0，b）：

qtVSxV(sth2)VhtIxIx2Ix （6－24）

Vbht2Ix

qA0，

qB腹板剪力流（S自腹板与翼缘中线交点算起，对B、D点为S＝0，h／2）：

VSxVbth2stw(hs)2(sth2)Vtbhtws(hs)IxIx2Ixqtw （6－25）

VbhtVbhtVh2twqBq2Ix， D2Ix8Ix

槽形截面惯性矩为：

h3twbh2tIw122 （概算公式）

上翼缘或下翼缘剪力流的合力P（图6－15b）可按式（6－24）取S＝0～b积分，或按图6－15a该部分剪力流图的面积：

qBbVb2htP24Ix （6－26）

腹板剪力流的合力可按式（6－25）取S＝0～h积分，或按图6－15a腹板部分剪力

流图（抛物线形）的面积；应正好等于竖向剪力V（图6－15b），现于复核如下：

2Vbh2tVh3twVqBh(qDqB)hV32Ix12Ix

上、下翼缘和腹板部分剪力流合力P、P、V的总会力仍是V，但其作用线位置偏离腹板轴线一个距离a（图6－15b）：

Phb2h2t3b2taV4Ix6bthtwb21htw16bt （6－27）

剪切中心S的纵坐标位置可同样按水平弯曲时剪力流的合力点位置来确定；但利用槽形截面的对称关系可知剪切中心S必在对称轴上（图6－15C）。

梁的横向荷载通过S点时，梁只受弯曲而无扭转；当不通过S点时，梁除弯曲外还承受扭矩Fe（图 6－15C）。

关于剪切中心 S位置的一些简单规律如下：（a）有对称轴的截面，S在对称轴上； （b）双轴对称截面和点对称截面（如Z形截面），S与截面形心重合；（c）由矩形薄板相交于一点组成的截面，S在交点处（图6－16），这是由于该种截面受弯时的全部剪力流都通过此交点，故总合力也必通过此交点。

一些常用开口薄壁截面的剪切中心位置见表6－2，