5．5.2 简单的三角恒等变换
【素养目标】
1．能通过二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式．(逻辑推理) 2．了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题．(数学运算) 3．进一步掌握两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，半角公式，并能灵活利用公式解决求值、化简、证明问题．(逻辑推理、数学运算)
【学法解读】
在本节学习中学生应先复习二倍角公式，利用二倍角公式推导半角公式，并掌握半角适用条件．培养学生数学中的逻辑推理．
必备知识·探新知
基础知识
知识点 半角公式
α
cos＝±2αsin＝±2αtan＝±2
1＋cos α
(Cα)， 2
21－cos α
(Sα)， 2
21－cos α
(Tα)．
1＋cos α
2
思考：(1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的？如何推导的？ (2)半角公式中的正负号能否去掉？该如何选择？ (3)半角公式对α∈R都成立吗？
提示：(1)二倍角的余弦公式．推导如下：在二倍角公式cos2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1中，ααα
以α代替2α，以代替α，即得：cosα＝1－2sin2＝2cos2－1.
222
所以
sin2
α1－cosαα1＋cosα2＝，cos＝， 2222
α1－cosα
tan2＝.开方可得半角公式．
21＋cosα
(2)不能．①若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；②若给出α的αα
具体X围(即某一区间)时，则先求所在X围，然后根据所在X围选用符号．
22
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(3)公式Cα，Sα对α∈R都成立，但公式Tα要求α≠(2k＋1)π(k∈Z)．
222
基础自测
1．下列说法中正确的个数是(＋＋＋＋ A －－－－) α
①sin＝±2②cos20°＝±1＋cosα
. 21＋cos40°
. 2
1＋cosααsinα
③tan＝＝. 21－cosαsinαπ④sin4α＋3cos4α＝2sin(4α＋)．
3A．1 C．3
[解析]①②③错误，④正确，故选A.
α
2．已知180°<α<360°，由cos的值等于(＋＋＋＋ C －－－－)
2A．－C．－1－cosα
21＋cosα
2
B．D．
1－cosα
21＋cosα
2
B．2 D．4
3π4α
，2π，则sin等于(＋＋＋＋ B －－－－) 3．已知cosα＝，α∈252A．－10
10
B．
10 10
3C．3
10
3πα3π
，2π，∴∈，π， [解析]∵α∈224α
∴sin＝2
1－cosα10
＝. 210
3
D．－ 5
4．sinx－cosx等于(＋＋＋＋ C －－－－) A．sin2x πx－ C．2sin4[解析]原式＝2
π
x＋ B．2sin4πx－ D．sin4
π22x－. sinx－cosx＝2sin422
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关键能力·攻重难
题型探究
题型一 应用半角公式求值
45πθθθ
例1 已知sinθ＝，且<θ<3π，求sin，cos，tan.
52222
θ
[分析]已知条件中的角θ与所求角中的成二倍关系，从而选择半角公式求值．
245π
[解析]∵sinθ＝，<θ<3π，
52∴cosθ＝－5πθ3π∵<<， 422θ
∴sin＝－
2θ
cos＝－2
1－cosθ25
＝－， 25
θ1＋cosθ25θ
＝－，tan＝＝2. 252θ
cos2
sin
3
1－sin2θ＝－.
5
θ
[归纳提升] 已知θ的某个三角函数值，求的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函
2数基本关系式求得θ的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可．
θ3
【对点练习】❶ 设π<θ<2π，cos＝－，求：
25θ
(1)sinθ的值；(2)cosθ的值；(3)sin2的值．
4πθ
[解析](1)∵π<θ<2π，∴<<π，
22θ3θ又cos＝－，∴sin＝
252＝
341－－2＝，
55
θ1－cos2 2
θθ3424
∴sinθ＝2sincos＝2×(－)×＝－.
225525θ37
(2)cosθ＝2cos2－1＝2×(－)2－1＝－.
2525
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θ31－cos1－－
254θ
(3)sin2＝＝＝.
4225题型二 三角恒等式的化简与证明
αα
1－sinα－cosαsin＋cos
22
例2 化简：(－π<α<0)．
2－2cosα[证明]原式＝
ααααα2sin2－2sincossin＋cos22222
α2×2sin2
2ααααα2sinsin－cossin＋cos22222＝ α2|sin|2αααsinsin2－cos2222＝
α|sin|2α－sincosα
2
＝. α|sin|2
πα
因为－π<α<0，所以－<<0，
22α
所以sin<0，
2
α－sincosα
2
所以原式＝＝cosα.
α－sin
2[归纳提升] 化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
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1
＝sin2α.
1α4－tanα2tan2cos2α
【对点练习】❷ 求证：
[证明]证法一 左边＝ cos2αcos2α
＝
αααα22cossincos－sin2222－ααααsincossincos2222ααααcos2αsincoscos2αsincos
2222
＝＝
ααcosαcos2－sin2
22
αα11
＝sincoscosα＝sinαcosα＝sin2α＝右边．
2224∴原式成立．
证法二 左边＝
1＋cosα1－cosα
－sinαsinαcos2αsinα11
＝＝sinαcosα＝sin2α＝右边．
2cosα24∴原式成立．
αα
cos2αtan2tan
2122111
证法三： 左边＝＝cosα·＝cos2α·tanα＝cosαsinα＝sin2α＝右边．
α2α224
1－tan21－tan2
22∴原式成立．
题型三 利用辅助角公式研究函数性质
ππ
例3 已知函数f(x)＝3sin(2x－)＋2sin2(x－)(x∈R)．
612(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
ππππ
[解析](1)∵f(x)＝3sin(2x－)＋2sin2(x－)＝3sin[2(x－)]＋1－cos[2(x－)]
6121212＝2{
3π1π
sin[2(x－)]－cos[2(x－)]}＋1 212212
cos2α
ππ
＝2sin[2(x－)－]＋1
126π
＝2sin(2x－)＋1，
3
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2π
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.
2
π
(2)当f(x)取得最大值时，sin(2x－)＝1，
3ππ
有2x－＝2kπ＋(k∈Z)，
325π
即x＝kπ＋(k∈Z)，
12∴所求x的集合为{x|x＝kπ＋
5π
，k∈Z}． 12
a2＋b2sin(α＋φ)(或asinα＋bcosα＝
[归纳提升] (1)公式形式：公式asinα＋bcosα＝
a2＋b2cos(α－φ))将形如asinα＋bcosα(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．
(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．
ππ
【对点练习】❸ (1)2cos＋6sin的值是(＋＋＋＋ B －－－－)
1212A．2 C．22
π
(2)y＝cosx＋cos(x＋)的最大值是！！！ 31π3π
[解析](1)原式＝22(cos＋sin)
212212πππ
＝22sin(＋)＝22sin＝2，故选B.
12641333
(2)y＝cosx＋cosx·－sinx·＝cosx－sinx
2222＝3(
3113
cosx－sinx)＝－3(sinx－cosx) 2222
B．2 D．3 ###. 2
2
π
＝－3sin(x－)，
3
π
当x＝2kπ－时，(k∈Z)，ymax＝3.
6
误区警示
忽略对角的终边所在象限的讨论
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3ααα
例4 已知sinα＝，求sin，cos与tan的值．
522234
[错解] ∵sinα＝，∴cosα＝±.
554α
(1)当cosα＝时，sin＝±521
±. 3
4α
(2)当cosα＝－时，sin＝±52＝±3.
3α
[错因分析] 由sinα＝>0，知角α是第一或第二象限角，从而必为第一或第三象限角，52αα
所以tan的值必然为正．上述解法中忽视了sinα>0，从而为第一或第三象限角这一隐含条件，22α
导致解中的tan有正负两个值．
2
ααα
另外，错解中还有一点不妥，就是解法过于笼统与简单，没有细分sin，cos与tan的值
222ααα
的对应情况，依上述解法，sin，cos与tan的值对应着2×2×2＋2×2×2＝16(组)情况，但
222实际情况却只有4组(见下面正确解法)，这就造成了解的结果混乱，不能体现三个数值的对应情况．
3
[正解] 由sinα＝>0，知角α是第一或第二象限角．
5
4α
(1)当α是第一象限角时，cosα＝，且为第一或第三象限角，于是
52αα
①当为第一象限角时，sin＝221
＝； 3
α21αα10α310α
②当为第三象限角时，sin＝－，cos＝－，tan＝＝. 22102102α3
cos2
sin
4α
(2)当α是第二象限角时，cosα＝－，且为第一或第三象限角，于是
52
1－cosα10α
＝，cos＝2102
α
1＋cosα3102α
＝，tan＝2102α
cos2
sin
1－cosα310α
＝±，cos＝±2102
α
1＋cosα210α
＝±，tan＝2102α
cos2
sin
1－cosα10α
＝±，cos＝±2102
α
sin1＋cosα2310α
＝±，tan＝＝2102α
cos2
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α2αα310α10α
①当为第一象限角时，sin＝，cos＝，tan＝＝3；
22102102α
cos2
sin
α2αα310α10α
②当为第三象限时，sin＝－，cos＝－，tan＝＝3.
22102102α
cos2
sin
α
[方法点拨] (1)应用公式sin＝±
2±
1－cosαα
，cos＝±22
1＋cosαα
以及tan＝22
1－cosαα
时，一定要注意根号前的符号是由的终边所在的象限来确定这一原则，充分挖
21＋cosα
掘题设中的隐含条件，利用隐含条件，判断解的符号，缩小解的X围，减少解答中的失误．另外，在解答过程中也要充分注意解题格式的规X性，规X表述，不要给出模糊不清的过程与结果．(2)注意等号两边表达式的定义域是否一致．
学科素养
三角恒等变换的综合应用
三角恒等变换就是熟练运用所学公式将三角函数式进行化简，在综合讨论三角函数性质时，通常先要将三角函数式化简成某一个角的三角函数式，再去研究其图象与性质是考试的重点．
1ππ
例5 已知f(x)＝(1＋)sin2x－2sin(x＋)·sin(x－)．
tanx44(1)若tanα＝2，求f(α)的值；
ππ
(2)若x∈[，]，求f(x)的取值X围．
122
[分析](1)将函数f(x)转化为只含有sin2x与cos2x的式子，由tanα＝2，求出sin2α与cos2α的值，代入f(x)求f(α)．
(2)将f(x)化为Asin(ωx＋φ)＋B的形式，利用正弦函数的图象与性质求解． [解析](1)f(x)＝(sin2x＋sinxcosx)＋2sin(x＋11
＝＋(sin2x－cos2x)＋cos2x 2211＝(sin2x＋cos2x)＋. 22
2sinαcosα2tanα4由tanα＝2，得sin2α＝＝＝.
sin2α＋cos2αtan2α＋15
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ππ1－cos2x1π)·cos(x＋)＝＋sin2x＋sin(2x＋) 44222
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cos2α－sin2α1－tan2α3
cos2α＝＝＝－.
5sin2α＋cos2α1＋tan2α113
所以，f(α)＝(sin2α＋cos2α)＋＝.
225
112π1ππ5ππ5π
(2)由(1)得f(x)＝(sin2x＋cos2x)＋＝sin(2x＋)＋.由x∈[，]，得≤2x＋≤.
2224212212442＋12π
所以－≤sin(2x＋)≤1,0≤f(x)≤.
2422＋1
所以f(x)的取值X围是[0，]．
2[归纳提升] 利用三角恒等变换的解题技巧
(1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin2α，cos2α化为正切tanα，为第(1)问铺平道路．
(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝最值与对称性．
课堂检测·固双基
α1＋tan
24
1．若cosα＝－，α是第三象限角，则＝(＋＋＋＋ A －－－－)
5α
1－tan
21A．－ 2C．2
4
[解析]∵α是第三象限角，cosα＝－，
53
∴sinα＝－.
5
α21＋
αααααααα3cos1＋tancos＋sincos＋sincos＋sin1－222222221＋sinα51
∴＝＝＝·＝＝＝－.故选A.
ααααααααcosα421－tansincos－sincos－sincos＋sin－
222222225
1－
αcos2
sin
ππ37
2．若θ∈[，]，且sin2θ＝，则sinθ＝(＋＋＋＋ D －－－－)
428
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1
B．
2D．－2
a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、
word
3A．
5C．
7 4
4B．
53D． 4
ππ
[解析]本题主要考查简单的三角恒等变换、倍角公式及同角三角函数关系式．∵θ∈[，]，
42π
∴2θ∈[，π]，
2
∴sinθ>0，cos2θ<0，∴cos2θ＝－
1
1－sin22θ＝－，
8
1－cos2θ93
又sin2θ＝，∴sin2θ＝，∴sinθ＝，故选D.
21645π
3．设－3π<α<－，则化简2αA．sin 2α
C．－cos
2
53α5
[解析]∵－3π<α<－π，∴－π<<－π，
2224α
∴cos<0，
2∴原式＝
1＋cosααα
＝|cos|＝－cos. 222
1－cos50°
，则有(＋＋＋＋C－－－2
1－cosα－π
的结果是(＋＋＋＋ C －－－－)
2
αB．cos 2α
D．－sin 2
13
4．设a＝cos6°－sin6°，b＝2sin13°cos13°，c＝
22－)
A．c [解析]a＝sin30°cos6°－cos30°sin6°＝sin(30°－6°)＝sin24°，b＝sin26°，c＝sin25°，∴b>c>a.故选C. 1θθ5．已知cos θ＝，且270°<θ<360°，试求sin和cos的值． 322θ [解析]∵270°<θ<360°，∴135°<<180°， 2θθ∴sin>0，cos<0. 22θ∴sin＝2 1－cosθ ＝2 11－33＝； 23 - 10 - / 11 word θ cos＝－2 1＋cos θ ＝－2 11＋36＝－. 23 - 11 - / 11 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容