高三第二学期第一次考试文科数学
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.
1.集合A{1,2,3,4,5},B{x|x3x0},则AB( ) A.{1,2} B.{2,3} C.{3,4} D.{4,5} 2.设
2i,则模|xyi|( ) xyi(x,yR,i为虚数单位)
1iA.1 B.
21 C.2 D.
223xy903.若实数x,y满足xy30,则使得zy2x取得最大值的最优解为( )
y3A.(3,0) B.(3,3) C.(4,3) D.(6,3)
11an,则an( ) 221112111A.()n1 B.()n1 C.2()n D.()n
3223333115.去Sn城市旅游有三条不同路线,甲、乙两位同学各自选择其中一条线路去2()n城
334.设Sn是数列{an}的前n项和,且Sn市旅游,若每位同学选择每一条线路的可能性相同,则这两位同学选择同一条路线的概率为( ) A.
1121 B. C. D. 32393226.已知f(x)在R上是偶函数,且满足f(x3)f(x),当x[0,]时,f(x)2x,则f(5)( )
A.8 B.2 C. 2 D.50 7.已知函数f(x)3cos(2x3)(xR),下列结论错误的是( )
5,0)对称 12A.函数f(x)的最小正周期为 B.函数f(x)图象关于点(C. 函数f(x)在区间[0,
2
]上是减函数 D.函数f(x)的图象关于直线x6对称
8.执行如图的程序框图,则输出的n是( ) A.5 B.4 C.3 D.2
1
9.某单位为了了解用电量(55,0)度与气温(,0)之间的关系,随机统计了某4天的用电121216 64 12 28 4 42 量与当天气温,并制作了对照表 气温(C) 用电量(度) 20 14 由表中数据得回归直线方程(555,0)中(,0),预测当气温为(,0)时,用电量的度数是 121212A.70 B.68 C. 64 D.62 10.下列判断错误的是( )
A.命题“x1,x10”的否定是“x1,x10” B.“x2”是“x2x20”的充分不必要条件 C. 若“pq”为假命题,则p,q均为假命题
D.命题“若ab0,则a0或b0”的否命题为“若ab0,则a0且b0” 11.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为23,AB2,AC1,BAC60,则此球的表面积等于( ) A.5 B.20 C. 8 D.16 12.已知函数f(x)cosx2x221(x0)与g(x)cosxlog2(xa)图象上存在关于2y轴对称的点,则a的取值范围是( )
A.(,2) B.(,22) C. (2,) D.(,2) 222
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知向量a(1,m),b(1,2m1),且a//b,则m . 14.一个几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图是两个全等的三角形,俯视图是则该几何体的体积等于 .
3个圆,4
15.已知为第二象限角,且tan(4)3,则sincos .
log2(x2),x1f(x)16.已知函数,若m0,n0,且mnf[f(ln2)],则xe1,x112的最小值为 . mn三、解答题 (本大题共6小题,共70分.)
17. (本小题满分12分)
已知{an}是等差数列,满足a11,a45,数列{bn}满足b11,b421,且{anbn}为等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前n项和Sn.
3
18. (本小题满分12分)
在
ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
sinB(acosBbcosA)3ccosB.
(1)求B;
(2)若b23,ABC的面积为23,求ABC的周长.
19. (本小题满分12分)
已知如图正四面体SABC的侧面积为483,O为底面正三角形ABC的中心. (1)求证:SABC;
(2)求点O到侧面SABC的距离.
20.(本小题满分12分)
某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个,每个生日蛋糕成本为50元,每个蛋糕的售价为100元,如果当天卖不完,剩余的蛋糕作垃圾处理.现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量(单位:个),得到如图所示的柱状图.100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.
(1)若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕17个,设当天的需求量为n(nN),则当天的利润y(单位:元)是多少?
4
(2)若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕.
①求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n的函数解析式; ②求当天的利润不低于600圆的概率.
(3)若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕,请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据,应该制作16个还是17个生日蛋糕?
21.(本小题满分12分)
设函数f(x)12x(a1)xalnx,a0. 2(1)求函数f(x)的单调区间; (2)讨论函数f(x)的零点个数.
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请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2cos4sin40,直线l的方程为xy10. (1)写出曲线C的参数方程;
(2)在曲线C上求一点P,使点P到直线l的距离最大,并求出此最大值.
23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)|x1||2xm|,mR. (1)当m4时,解不等式f(x)0;
(2)当x(1,)时,f(x)0恒成立,求m的取值范围.
2
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高三级文科数学考试答题卷
班级___________姓名_____________ 座号____________得分_______________
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分. 题号 答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
13、____________________ 14、____________________
15、____________________ 16、____________________
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演
算步骤.
17.(本小题满分12分)
7
18.(本小题满分12分)
19.(本小题满分12分)
8
20.(本小题满分12分)
21.(本小题满分12分)
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请考生在第22~23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
选做题号(22)(23)(本小题满分10分)
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文科数学答案 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分. 题 号 答 案 1 A 2 D 3 C 4 D 5 A 6 B 7 C 8 B 9 A 10 C 11 B 12 D 二、填空题:每小题5分,满分20分. 13.; 14.9; 15.135; 16.322. 5三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.解:(1)设an的公差为d,anbn的公比为q,
da4a12, 41ana1(n1)d,
1(n1)(2)2n3.
a1b12,a4b416,
q41a4b48q2,
a1b1anbn22n12n,
bn2nan2n2n3.
(2)Snb1b2b3123bn
n (21)(21)(23)(22n3)
(2122232n)(1132n3) 2(12n)(12n3)n
1222n1n22n2
18.解:(1)根据正弦定理得:
sinB(sinAcosBsinBcosA)3sinCcosB sinBsin(AB)3sinCcosB
11
sinBsinC3sinCcosB
C(0,),sinC0
sinB3cosB即tanB3
B(0,)
B3
(2)SABC13acsinBac23 24ac8
根据余弦定理得:
b2a2c22accosB
12a2c28,即a2c220
ac(ac)2a22acc26
ABC的周长为:623.
19.解:(1)证明:取BC的中点D,连结AD,SD
ABC是等边三角形D是BC的中点 ADBC
SBC是等边三角形D是BC的中点 SDBC
ADSDD,AD,SD平面SAD
BC平面SAD
SA平面SADSABC
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(2)解法一:由(1)可知BC平面SAD
BC平面SBC,
平面SAD平面SBC 平面SAD平面SBCSD
过点O作OESD,则OE平面SBC
OE就是点O到侧面SBC的距离.
由题意可知点O在AD上,设正四面体SABC的棱长为a,
SSBC132SBSCsin600a 24正四面体SABC的侧面积为483
3SSBC332a483,a8 4在等边三角形ABC中,D是BC的中点
ADACsinC3a 2同理可得SD3a 2O为底面正三角形ABC的中心
AO2313ADa,ODADa 33366a 313
在RtSAO中,SOSA2AO2
由
11ODSOSDOE 22得:
13613aaaOE 2632268686,即点O到侧面SBC的距离为. a999OE解法二: 连结SO,则SO平面ABC 由题意可知点O在AD上, 设正四面体SABC的棱长为a,
SSBC132SBSCsin600a 24正四面体SABC的侧面积为483
3SSBC332a483, 4a8
在等边三角形ABC中,D是BC的中点
ADACsinC3a43 2O为底面正三角形ABC的中心
AO231343 ADa,ODADa33363686 a33在RtSAO中,SOSA2AO21143163 SOBC|BC||OD|8223311163861282 VSOBCSOBC|SO|333391SSBC483163
3设点O到侧面SBC的距离为h,
14
由VSOBCVOSBC得,
1281SSBCh 9312812828686h33,即点O到侧面SBC的距离为.
SSBC9916320.解:(1)当n17时,Y17(10050)850, 当n16时,Y100n1750100n850,
(2)①由(1)得当天的利润Y关于当天需求量n的函数解析式为:
100n850(n16)Y(nN)
850(n17)②设“当天利润不低于600”为事件A,由①知,“当天利润不低于600”等价于 “需求量不低于15个”
P(A)11222 1002522 25所以当天的利润不低于600元的概率为:
(3)若一天制作16个蛋糕,则平均利润为:
x11(600127001880070)758; 1001(55012650187501885052)760; 100若一天制作17个蛋糕,则平均利润为:
x2x1x2蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕.
21.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,)
f(x)x(a1)a xx2(a1)xa x(xa)(x1)(x0)
x当0a1时,令f(x)0得ax1;令f(x)0得0xa或x1, 所以函数f(x)的单调增区间为(0,a)和(1,),单调减区间为(a,1);
15
(x1)2当a1时,f(x)0恒成立,所以函数f(x)的单调增区间为(0,),无减区
x间;
当a1时,令f(x)0得1xa;令f(x)0得0x1或xa, 所以函数f(x)的单调增区间为(0,1)和(a,),单调减区间为(1,a). (2)由(1)可知,当0a1时,
函数f(x)的单调增区间为(0,a)和(1,),单调减区间为(a,1), 所以f(x)极大值f(a)a2a+alna0,f(x)极小值f(1)注意到f(2a2)aln(2a2)0,
所以函数f(x)有唯一零点,当a1时,函数f(x)在(0,)上单调递增, 又注意到f(1)121a0, 230,f(4)ln40 所以函数f(x)有唯一零点; 2当a1时,函数f(x)的单调递增是(0,1)和(a,)上,单调递减是(1,a)上, 所以f(x)极大值f(1)11a0,f(x)极小值f(a)a2a+alna0, 22注意到f(2a2)aln(2a2)0, 所以函数f(x)有唯一零点, 综上,函数f(x)有唯一零点.
22.解:(1)由2cos4sin+4=0及xcos,ysin,2x2y2得:
x2y22x4y+4=0,即(x1)2(y2)2=1,
所以曲线C的参数方程为:x1cos(为参数);
y2sin(2)设点P(1cos,2sin)(R),则点P到直线l的距离为:
|2sin()2||1cos(2sin)1|4|sin()d2242|
所以当sin()1时,点dmax12,
416
此时
32k,即2k,kz424
32322k)1,2sin2sin(2k)2 424222,2),点P到直线l的距离最大值为122所以1cos1cos(所以点P坐标为(12.
法2:圆心C(2,1)到直线l的距离为d2
故圆上的点P到直线l的最大距离dmax12
设过C(2,1)与直线l垂直的直线为l0,则l0的方程为y2(x1),即yx3 代入(x1)(y2)=1得(x1)(x1)1 解得x222221 2由图可得取最大值点P的横坐标为x21 2故点P的纵坐标为所以点P坐标为(122 222,2),点P到直线l的距离最大值为1222.
当x2时,3x0,即x3,解得:x3, 所以不等式f(x)0的解集为x|x5或x3; 3(2)因为x(1,),所以不等式f(x)0恒成立, 等价为x1|2xm|0恒成立,即x1|2xm|, 解得:2xm1x或x12xm
1m即x或x1m恒成立,
3因为x(1,),所以1m1,即m2, 故m的取值范围为:[2,).
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