几何模型 小学奥数必会 大模型

定义：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。如果固定三角形的底（或高）不变，另一者变大（小）n倍，三角形的面积也就变大（小）n倍。

六种基本类型：

两个三角形高相等，面积比等于底之比；两个三角形底相等，面积比等于高之比公式：

SABDBD

；SADCDC

SABDED

SABCFC

其中，BC=EF且两三角形的高相等公式：

SABC1SDEF夹在一组平行线之间的等积变形公式：

SACDSABC1SBCDSABD等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可看作特殊的平行四边形）公式：

SABCD1SCDEF三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半

1

公式：SEDCSABCD2

两个平行四边形高相等，面积比等于他们底的比公式：

SABCDAB

SDEFGEF例题：长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？

如图，连接BH、HCAEEBSAEHSBEH同理，SBFHSCFH，SDGHSCGH111

SABH，SBFHSBCH，SDGHSCDH222SABCDSABHSBCHSCDH36SBEH

1

SABHSBCHSCDH136182211

SBEHSBFHSDGHS阴影SBEF，SBEFBEBF364.5

28S阴影18SBEF184.513.5SBEHSBFHSDGH

模型二：相似模型

定义：形状相同，大小不相同的两个三角形，一切对应线段的长度成比例的模型。

两种基本类型：（一）金字塔模型（二）沙漏模型

相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于他们的相似比；ADAEDEAF

公式：

ABACBCAG相似三角形的面积比等于他们相似比的平方；公式：SADE:SABCAF2:AG2连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。）

1

公式：当DE为中点时，DEBC

2例题：如图，DE平行BC，且AD=2，AB=5，AE=4，求AC的长.

由金字塔模型得AD:ABAE:ACDE:BC2:5，所以AC42510

模型三：鸟头模型（共角模型）

定义：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

四种基本类型：

公式：

SADEADAE



SABCABAC例题：如图，三角形ABC的面积是1，延长BA到D,使DB=AB;延长CA到E,使EA=2AC;延长CB至F，使FB=3BC，求三角形DEF的面积？

SABC与SADEBACEADSABC与SCEFBCAFCE

ABAD AE2AC CF3BC CE3CA

SADEADAESCEFCECF

122 3412

SABCABACSABCCACBS总 SCEFSADE12214SABC与SDBFABCDBF180SDBFBABC

236

SABCBDBF

SDEFSADESCEFSDBFSABC212617

解：

模型四：风筝模型

定义：两个共底的三角形，其面积之比等于其顶点到顶点连线与底边所在直线交点的线段长度之比。

两种基本类型：（同侧风筝模型、异侧风筝模型）

公式：同侧风筝模型：

OBSODC



ABSADC异侧风筝模型：

AOSABC



ODSBCD例题：如图，正方形ABCD的面积为1，E、F分别是BC和DC的中点，DE与BF相交于M点，DE与AF相交于N点，那么阴影三角形MFN的面积是多少？

图1图2

SABCD1ABBCCDAD1

连接AE、EF（如图1） 连接BD、EF（如图2）

1111111111

ECBF  SBEFECBF  2222822228111111

SBEASABCD SBEDBC ED 1

22222411

AN SBEA24DM SBED42

  SBEF

NFSBEF181MF SBEF通过鸟头模型得到： SMFNFMFN111

SFAFD53 

FAD15 S 1111

MFN15SFAD15  230

181模型五：蝴蝶模型

定义：1、任意四边形蝴蝶模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，可以了解四边形的内部的四个三角形的面积关系。

2、梯形的蝴蝶模型研究的是被梯形对角线分成的四块三角形面积之间的关系以及三角形面积比和线段比之间的相互转化。

公式：任意四边形：S1:S4S2:S3S1S3S4S2梯形：

反复运用等高模型，有如下结论（上底与下底之比为a:b）1.S2S42.S1:S2S1:S4S2:S3S4:S3OA:OCOB:ODAD:BCa:b3.S1:S3a2:b2总结：

2.梯形蝴蝶模型题目中重点是：1 找平行线 2 找到上底与下底之比为a:b3.梯形蝴蝶模型关于面积的结论：小：中中：大a:b小：大a2:b2小：中：大：总a2:ab:b2:ab21.任意四边形中的蝴蝶模型结论可记为：“两对翅磅，面积乘积相等”，或“上下左右”。

4.设份数：按比例条件设出合适三角形的面积份数，进而表示出所有部分的面积份数，这是解决梯形蝴蝶模型面积问题，以及其他比例模型面积问题的重要思想。5.其他平行线模型：沙漏模型，金字塔模型。这两个模型的主要作用是线段长度之比的位置的转移。

例题：如图ABCD和CEGF是两个正方形，AG和CF相交于H，已知CH等于CF的三分之一，三角形CHG的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF的面积。

如图，连接AC、FG,则AC平行于FG，四边形ACEG是梯形1

由已知得：CHCFCH:HF1：2

3由梯形蝴蝶模型可以得到如下结论SAHFSCHG6cm21122

SCHG63cm2 SGHFSGFH612cm222111

SCFG12618 SEFGSCFG SCGEF18cm22SCGEF36cm26cmSAHC

由AC:FGCH:HF1：2BC3cm

11

ADDF3(63)4.522 SAGEF62324.549.5 SADF

如图，梯形ABCD中，AD与BC平行，AD=BE=EC,O是AC与BD的交点，P点是AE与BD的交点。若已知三角形AOD的面积为10，那么阴影部分（即四边形OPEC）的面积是多少？

四边形ADEC为平行四边形，ADBEECAD//BC AD由蝴蝶模型可得

SAOD:SOCD1：2SOCD20SADC30SADEC2SADC60AO:OD1：2连接CP

四边形ADEC为平行四边形,AO:OD1：2AE//CD 由蝴蝶模型可得

AO:OD1：2AP:CD1：2P为AE中点SAOP:SOCD1：4SAOP5SPOECSAECSAPO30525

1

BC2模型六：燕尾模型

定义：燕尾定理：在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，有

S△AOB∶S△AOC=BD∶CDS△AOB∶S△COB=AE∶CES△BOC∶S△AOC=BF∶AF因此图类似燕尾而得名。

公式：

SAGB:SAGCSEGB:SEGCEB:ECSBGA:SBGCSFGA:SFGCFA:FCSCGA:SCGBSDGA:SDGBDA:DB

例题：如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，E是AC的三等分点，AE=2EC.三角形ABC的面积是60平方厘米，那么三角形ABF的面积是多少平方厘米？

D是BC中点，E是AC的三等分点由燕尾模型可得：

SABFSBFD

BD:DC1:1

SAFCSFDCSABFSEFA

AE:EC2:1

SBFCSFEC设：SABFaSAFCaSABFaSBFCSBFD

1a211SBFCa2411

SABCaaaa60

44a24

SABFa24cm2