绝对值函数的问题解决

绝对值函数的问题解决

张家港高级中学 储聪忠

有一道某地高三模拟考试题，涉及到绝对值函数，用来说明数学中的分类讨论思想非常有代表性。

2f(x)x1，g(x)a|x1|. 试题 已知函数

（1） 若关于x的方程|f(x)|g(x)只有一个实数解，求实数a的取值范围；

（2） 若当xR时，不等式f(x)g(x)恒函数成立，求实数a的取值范围；

（3） 求函数h(x)|f(x)|g(x)在区间[-2,2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算．．．．．．．．．．．．步骤）. ．．

解答

2（1）方程|f(x)|g(x)，即|x1|a|x1|，变形得|x1|(|x1|a)0，显然，x1已是该

方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|x1|a，有且仅有一个等于1的解或无解 ，结合图形得a0.

（2）不等式

f(x)≥g(x)对xR恒成立，即(x21)≥a|x1|（*）对xR恒成立，

①当x1时，（*）显然成立，此时aR；

x21x1,(x1),x21(x)a|x1||x1|(x1),(x1). ②当x1时，（*）可变形为，令

因为当x1时，(x)2，当x1时，(x)2，

所以(x)2，故此时a≤2.

综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤2.

x2axa1,(x≥1),2xaxa1,(1≤x1),x2axa1,(x1).2h(x)|f(x)|g(x)|x1|a|x1|（3）因为=

a1,即a22① 当时，结合图形可知h(x)在[2,1]上递减，在[1,2]上递增，

且h(2)3a3,h(2)a3，经比较，此时h(x)在[2,2]上的最大值为3a3.

aa0≤≤1,即0≤a≤2[,1]2② 当时，结合图形可知h(x)在[2,1]，2上递减，

aaa2h()a1[1,]h(2)3a3,h(2)a3[1,2]2，在上递增，且，24，

经比较，知此时h(x)在[2,2]上的最大值为3a3.

aa1≤0,即-2≤a0[,1]2③ 当时，结合图形可知h(x)在[2,1]，2上递减，

aaa2h()a1[1,]h(2)3a3,h(2)a3[1,2]242在，上递增，且，，

经比较，知此时h(x) 在[2,2]上的最大值为a3.

3aaa≤1,即-3≤a2[2,][1,]2，2上递减， ④ 当22时，结合图形可知h(x)在

aa[,1][,2]在2，2上递增，且h(2)3a30, h(2)a3≥0，

经比较，知此时h(x) 在[2,2]上的最大值为a3.

a3,即a3当22时，结合图形可知h(x)在[2,1]上递增，在[1,2]上递减，

故此时h(x) 在[2,2]上的最大值为h(1)0.

综上所述，

当a≥0时，h(x)在[2,2]上的最大值为3a3；

当3≤a0时，h(x) 在[2,2]上的最大值为a3；

当a3时，h(x) 在[2,2]上的最大值为0.