人教A版新教材高一上学期期末考试数学试卷(共五套)

人教版新教材高一上学期期末考试数学试卷（一）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合Ax2x10，Bx0x1，那么AB等于（ ） A．xx0

C．x0x1 2

B．xx1

D．x0x1 22．若cosx12，且x为第四象限的角，则tanx的值等于（ ） 13B．A．

12 512 5C．

5 12D．5 123．若alog20.5，b20.5，c0.52，则a,b,c三个数的大小关系是（ ） A．abc C．acb

B．bca D．cab

14．已知f(x1)2x3，且f(m)6，则m等于（ ）

21A．

4

1B． 43C．

23D． 2

5．已知f(x)atanxbx5cx3,f(3)7，则f(3)的值为（ ） A．13

B．13

C．7

D．7

6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)f(1)．则下列各式中一定成立的是（ ） A．f(1)f(3) C．f(3)f(2)

B．f(0)f(5) D．f(2)f(0)

7．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)5xm（m为常数)，则f(log57)的值为（ ） A．4 8．函数yB．4

C．6

D．6

1的图象与函数y2sinπx(2x4)的图象所有交点的横坐标之1x和等于（ ） A．8

B．6

C．4

D．2

1722x3ππ，tan9．已知，是关于的方程xkxk30的两个实根， tan2则cossin（ ） A．3

B．2

C．2

D．3

ax,x110．若函数f(x)，且满足对任意的实数x1x2都有a(4)x2,x12f(x1)f(x2)0成立，则实数a的取值范围是（ ）

x1x2A．(1,) B．(1,8) C．(4,8) D．[4,8)

ππ11．已知f(x)sin(2019x)cos(2019x)的最大值为A，若存在实数x1,x2，

63使得对任意实数x总有f(x1)f(x)f(x2)成立，则Ax1x2的最小值为（ ）

A．

π 2019B．

2π 2019C．

4π 2019D．

π 403812．已知f(x)是定义在[4,4]上的奇函数，当x0时，f(x)x24x，则不等式f[f(x)]f(x)的解集为（ ） A．(3,0)(3,4]

B．(4,3)(1,0)(1,3) D．(4,3)(1,2)(2,3)

C．(1,0)(1,2)(2,3)

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．2log32log332log3825log53160.75_______． 9xx114．已知fx423，则fx0的解集为_______．

15．方程x22mxm210的一根在(0,1)内，另一根在(2,3)内，则实数m的取值范围是______．

16．若实数a，b满足a0，b0，且ab0，则称a与b互补．记 (a,b)a2b2ab，那么“(a,b)0”是“a与b互补”的 条件．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知集合Axm1x2m3，函数f(x)lg(x22x8)的定义域为B．

（1）当m2时，求AB、(RA)B；

（2）若ABA，求实数m的取值范围．

18．（12分）已知函数f(x)loga(x1)loga(1x)，a0且a1． （1）求f(x)的定义域；

（2）判断f(x)的奇偶性并予以证明； （3）当a1时，求使f(x)0的x的解集．

π319．（12分）已知函数fxcosxsin(x)3cos2x1(xR)．

34（1）求f(x)的最小正周期；

ππ（2）求f(x)在区间[,]上的最大值和最小值，并分别写出相应的x的值．

44

20．（12分）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x22x． （1）求f(0)及f(f(1))的值；

（2）求函数f(x)在(,0)上的解析式；

（3）若关于x的方程f(x)m0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围．

21．（12分）设函数yf(x)的定义域为R，并且满足f(xy)f(x)f(y)，且f21，当x0时，fx0． （1）求f(0)的值；

（2）判断函数f(x)的奇偶性；

（3）如果f(x)f(x2)2，求x的取值范围．

2xb22．（12分）已知定义域为R的函数f(x)x1是奇函数．

22（1）求b的值；

（2）判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；

1（3）当x[,3]时，f(kx2)f(2x1)0恒成立，求实数k的取值范围．

2

【答案解析】 第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D

11【解析】因为Axx，Bx0x1，所以ABx0x．

222．【答案】D

【解析】因为x为第四象限的角，所以sinx3．【答案】C

【解析】alog20.50，b20.51，0c0.521，则acb，故选C． 4．【答案】B

55，于是tanx，故选D． 131211【解析】因为f(x1)2x3，设x1t，则x2t2，所以f(t)4t7，

221因为f(m)6，所以4m76，解得m，故选B．

45．【答案】A 【解析】

f(x)atanxbx5cx3，f(x)f(x)6，

f(3)7，f(3)6713．故选A． 6．【答案】A

【解析】∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)f(1)， 又f(3)f(1)，∴f(3)f(1)，故选A． 7．【答案】D

【解析】由奇函数的定义可得f(0)1m0，即m1，

log7则f(log57)f(log57)551716．故选D．

8．【答案】A 【解析】函数y11，y22sinπx(2x4)的图象有公共的对称中心(1,0)， 1x如图在直角坐标系中作出两个函数的图象，

当1x4时，y10，

而函数y2在(1,4)上出现1.5个周期的图象，

357357且在(1,)和(,)上是减函数，在(,)和(,4)上是增函数．

222222∴函数y1在(1,4)上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H， 相应地，y1在(2,1)上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D， 且xAxHxBxGxCxFxDxE2， 故所求的横坐标之和为8，故选A． 9．【答案】C 【解析】∵tan，

1

是关于x的方程x2kxk230的两个实根， tan∴tan11k，tank231， tantan7π，∴k0， 2π， 4∵3π∵k24，∴k2，∴tan1，∴3π

则cos22，sin，则cossin2，故选C． 2210．【答案】D

f(x1)f(x2)0成立， 【解析】∵对任意的实数x1x2都有

x1x2ax,x1∴函数f(x)a在R上单调递增， (42)x2,x1a141a0，解得a[4,8)，故选D． 2a1(412a)1211．【答案】B

【解析】f(x)sin(2019xππ6)cos(2019x3)，

32sin2019x12cos2019x132cos2019x2sin2019x 3sin2019xcos2019x2sin(2019xπ6)，

∴f(x)的最大值为A2， 由题意得，xTπ1x2的最小值为

22019， ∴Ax2π1x2的最小值为2019，故选B． 12．【答案】B

【解析】∵f(x)是定义在[4,4]上的奇函数，∴当x0时，

f(0)0，

先求出当x[4,0)时f(x)的表达式， 当x[4,0)时，则x(0,4]，

又∵当x0时，f(x)x24x，∴f(x)(x)24(x)x24x， 又f(x)是定义在[4,4]上的奇函数，∴f(x)f(x)x24x，

2x4x,x[4,0]∴f(x)2，

x4x,x(0,4]令f(x)0，解得x4或0或4，

当x[4,0]时，不等式f[f(x)]f(x)，即(x24x)24(x24x)x24x， 化简得(x24x)23(x24x)0，解得x(4,3)(1,0)；

当x(0,4]时，不等式f[f(x)]f(x)，即(x24x)24(x24x)x24x， 化简得(x24x)23(x24x)0，解得x(1,3)， 综上所述，x(4,3)(1,0)(1,3)，故选B．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】1

332log25944(2) 【解析】原式=log34log3log38259log3(498)98log3911． 32

14．【答案】{x|xlog23}

【解析】当fx0，即4x2x130,02x3，解得xlog23． 15．【答案】(1,2)

【解析】设f(x)x22mxm21，

则由题意知：函数f(x)的一个零点在(0,1)内，另一个零点在(2,3)内，

2f(0)0m102f(1)0m2m02则有，解得1m2，

f(2)0m4m302f(3)0m6m80m的取值范围是(1,2)．

16．【答案】充要条件

【解析】若(a,b)0，则a2b2ab，两边平方整理，得ab0，且a0，

b0，所以a与b互补；

若a与b互补，则a0，b0，且ab0，所以ab0， 此时有(a,b)(ab)22ab(ab)(ab)(ab)0， 所以“(a,b)0”是“a与b互补”的充要条件．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）ABx2x7，(RA)Bx2x1；（2）

1(,4)(1,)．

2【解析】根据题意，当m2时，Ax1x7，Bx2x4， 则ABx2x7， 又

RAxx1或x7，则(RA)Bx2x1．

（2）根据题意，若ABA，则AB， 分2种情况讨论：

①当A时，有m12m3，解可得m4； ②当A时，

m12m31若有AB，必有m12，解可得1m，

22m341综上可得：m的取值范围是(,4)(1,)．

218．【答案】（1）x1x1；（2）奇函数，证明见解析；（3）x(0,1)． 【解析】f(x)loga(x1)loga(1x)，若要式子有意义，

x10则，即1x1，所以定义域为x1x1．

1x0（2）f(x)的定义域为(1,1)，

且f(x)loga(x1)loga(1x)[loga(1x)loga(1x)]f(x)， 所以f(x)是奇函数．

（3）又f(x)0，即loga(x1)loga(1x)0， 有loga(x1)loga(1x)．

x10当a1时，上述不等式1x0，解得x(0,1)．

x11x19．【答案】（1）Tπ；（2）xπ3π3时，f(x)max；x时，f(x)min． 44122π3【解析】（1）f(x)cosxsin(x)3cos2x1

34133cosx(sinxcosx)3cos2x1

224

133131cos2x3sinxcosxcos2x1sin2x1 2244224131πsin2xcos2x1sin(2x)1， 4423所以f(x)的最小正周期为T2ππ． 2πππ5ππx[,]2x[,]， （2）∵，∴

44366当2xπππ113，即x时，f(x)max1， 364224πππ13，x时，f(x)min11． 321222当2x20．【答案】（1）f(0)0，f(f(1))1；（2）fxx22x；（3）1m0． 【解析】（1）f(0)0，f(f(1))f(1)f(1)1． （2）设x0，则x0，f(x)(x)22(x)x22x，

2∵f(x)偶函数，f(x)f(x)x22x，∴当x0时，fxx2x．

（3）设函数y1f(x)及y2m，

方程f(x)m0的解的个数，就是函数y1f(x)与y2m图象交点的个数． 作出简图

利用数形结合思想可得1m0．

21．【答案】（1）f(0)0；（2）奇函数；（3）{x|x1}． 【解析】（1）令xy0，则f(00)f(0)f(0)，∴f(0)0． （2）∵f(xy)f(x)f(y)，∴f0xf0fx，

由（1）知f(0)0，f(x)f(x)， ∴函数f(x)是奇函数．

（3）设x1,x2R，且x1x2，则x1x20，

fx1x2fx1fx2，

∵当x0时，fx0，∴fx1x20，即fx1fx20， ∴fx1fx2，

∴函数f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)f(x)f(y)， ∴f(x)f(xy)f(y)，

211f(2)f(2)f(2)f(42)f(4)， ∵f(x)f(x2)2，∴f(x)f(x2)f(4)， ∴f(x2)f4fxf4x，

∵函数fx是定义在R上的增函数，∴x24x，∴x1， ∴不等式f(x)f(x2)2的解集为{x|x1}．

22．【答案】（1）b1；（2）单调递减，证明见解析；（3）(,1)． 【解析】（1）因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)0，即

1b0，则b1， 222xb经检验，当b1时，f(x)x1是奇函数，所以b1．

2212x11x（2）f(x)x1，f(x)在R上是减函数，

22221证明如下：在R上任取x1,x2，且x1x2，

112x12x2x1x2则f(x2)f(x1)x2， 2121(21)(2x11)

因为y2x在R上单调递增，且x1x2，则2x12x20， 又因为(2x11)(2x21)0，所以f(x2)f(x1)0， 即f(x2)f(x1)，所以f(x)在R上是减函数．

（3）因为f(kx2)f(2x1)0，所以f(kx2)f(2x1)， 而f(x)是奇函数，则f(kx2)f(12x)， 又f(x)在R上是减函数，所以kx212x， 即k12x1221()[,3]上恒成立， 在x2xx21112t[,2]t[,2]， g(t)t2t，，，x33令t因为g(t)ming(1)1，则k1． 所以k的取值范围为(,1)．

人教版新教材高一上学期期末考试数学试卷（二）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U{1,2,3,4,5,6,7}，集合A{1,3,5,6}，则UA（ ）

A．{1,3,5,6}

B．{2,3,7}

C．{2,4,7}

D．{2,5,7}

2．命题“x0，x2x0”的否定是（ ）

A．x200，x0x00 B．x，x2000x00 C．x0，x2x0 D．x0，x2x0

3．若x0，则x1x的最小值为（ ） A．2

B．4

C．6

D．8

4．已知A[1,)，B[0,3a1]，若AB，则实数a的取值范围是（ A．[1,)

B．[12,1]

C．[23,)

D．(1,)

5．下列等式一定成立的是（ ） 13A．a3a2a

B．a111112a20

C．(a3)2a9

D．a2a3a66．函数f(x)2x6,x[1,2]x7,x[1,1)，则f(x)的最大值与最小值分别为（ ）A．10，6

B．10，8

C．8，6

D．以上都不对

7．下列各式正确的是（ ） A．

ππ290 B．

1810 C．360π D．3838π 8．已知f(x)ax2，g(x)2x，且f(2)g(2)，M{x|f(x)g(x)}，则M（ A．[2,2]

B．(2,2) C．(,0)(2,)

D．(,0](2,)

．当0a1时，函数f(x)1ax91ax是（ ）

））

A．奇函数 B．偶函数 D．非奇非偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

10．函数yloga(x2)1(a0,a1)的图象过定点（ ） A．(1,2)

B．(2,1)

C．(2,1)

D．(1,1)

11．设不等式x22ax10的解集为M，若M[2,2]，则实数a的取值范围是（ ） A．[2,2]

B．(2,2)

33C．[,]

4433D．(,)

4412212．函数f(x)cosx3sinxcosx2sinx的最小正周期为（ ）

2πA．

2

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

250.527213．计算：()()3 ．

964B．π

C．2π D．4π

14．已知关于x的一元二次不等式ax2bx20的解集为{x|1x2}，则

ab ．

15．设ln3a，ln7b，则eaeb ．

16．函数y3cos2x4cosx1，(xR)的值域为 ．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）方程x22ax40的两根一个大于1，一个小于1，求实数a的范围．

18．（12分）已知扇形的周长是3cm，面积是

1cm2，试求扇形圆心角的弧度数． 219．（12分）若1a0，比较3a，a3，a3的大小．

20．（12分）某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系

10t25,tNt20,是p，该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数

t100,25t30,tN关系是Qt40(0t30,tN)，求这种商品的日销售额的最大值，并指出日销售额最大的那天是30天中的第几天?

121．（12分）已知函数f(x)cosx(sinxcosx)．

2（1）若0π2，且sin，求f()的值； 22（2）求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．

22．（12分）已知函数f(x)是定义在(0,)上的减函数，且满足

1f(xy)f(x)f(y)，f()1．

3（1）求f(1)；

（2）若f(x)f(2x)2，求x的取值范围．

【答案解析】

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C

【解析】从全集U{1,2,3,4,5,6,7}中剔除掉集合A中的元素，剩下的即为故选C． 2．【答案】B

【解析】根据命题的否定规则，“x0，x2x0”的否定是“x00，

2x0x00”，故选B．

UA，

3．【答案】A 【解析】x112x2，当且仅当x1时取等号，因此最小值为2． xx4．【答案】C

【解析】由题意可得3a11，解不等式有a5．【答案】D

【解析】因为aaa因为aaa121211221332133222，即实数a的取值范围是[,)． 33aa，所以A错；

116a010，所以B错；

因为(a3)2a6a9，所以C错； 因为aaa6．【答案】A

【解析】画出分段函数的图象（图略），知f(x)在区间[1,2]上单调递增， 那么f(x)的最大值为f(2)10，最小值为f(1)6． 7．【答案】B

【解析】∵弧度π180，∴

12131123a，所以D对．

16π10． 18

8．【答案】C

【解析】由题意，得a1， 4122当x0时，x显然成立；当x0时，x2．故选C．

4x9．【答案】A

【解析】∵ax1，故x0，即定义域关于原点对称，

1ax又f(x)1axax1xax1axf(x)，故选A． a1ax1ax10．【答案】D

【解析】由函数图象的平移规则，我们可得：

将函数ylogax(a0,a1)的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位， 即可得到函数yloga(x2)1(a0,a1)的图象． 又∵ylogax(a0,a1)的图象恒过(1,0)点，

由平移规则，易得函数yloga(x2)1(a0,a1)的图象恒过(1,1)点． 11．【答案】C

【解析】令x22ax10，Δ4a240， ∴该方程一定有两个不同的实数根，

2a2233若M[2,2]，则22a210，解得a．

44(2)22a21012．【答案】B 【解析】

f(x)cos2x3sinxcosx2sin2x11cos2x31sin2x1cos2x 2222π1sin(2x)．

6

该函数的最小正周期为

2ππ，故选B． 2第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】

31 9250.52725431【解析】()()3()2．

96433914．【答案】0

b12a1a【解析】根据韦达定理可得，解得，所以ab0．

2b112a15．【答案】10

【解析】eaebeln3eln73710．

116．【答案】[,8]

3221【解析】y3(cosx)，

33所以当cosx21时，函数取得最小值；当cosx1时，函数取得最大值8， 331所以函数的值域为[,8]．

3

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

517．【答案】(,)．

2【解析】令f(x)x22ax4．

因为方程x22ax40的两根一个大于1，一个小于1， 则f(1)52a0，解得a5， 25即实数的取值范围是(,)．

218．【答案】1或4．

【解析】设扇形半径为r，圆心角为，

x， 2π则πxr21121，2r2πxr3，解得r11，x1或r2，x2， 22ππ2∴1或4．

a319．【答案】3aa．

13【解析】由1a0，考察指数函数y3a，∴y0，故3a0， 因为1a0，所以0a1，

设f(x)(a)x，则f(x)在xR时单调递减，

故0(a)(a)，即0(a)(a)，即0aa， 所以30aa，即3aa． 20．【答案】见解析．

【解析】设日销售额为y(元)，则ypQ，

2t20t800,(0t25,tN)则y2，

t140t4000,(25t30,tN)2(t10)900,(0t25,tN)即y， 2(t70)900,(25t30,tN)313313313a313a313当0t25，tN，t10时，ymax900 (元)； 当25t30，tN，t25时，ymax1125 (元)．

由1125900，知ymax1125(元)，且第25天，日销售额最大．

21．【答案】（1）

13π；（2）Tπ，[kππ,kπ],kZ． 288π22，sin，所以cos， 222【解析】（1）因为0所以f()22211()． 222222（2）因为f(x)cosxsinxcosx111cos2x1sin2x 2222112πsin2xcos2xsin(2x)， 2224所以T2ππ， 2πππ3π2x2kπ,kZ，得kππxkπ,kZ． 24288由2kπ3π所以f(x)的单调递增区间为[kππ,kπ],kZ．

8822．【答案】（1）0；（2）(12222,1)． 33【解析】（1）令xy1，知f(1)0．

1111xyf()2f()2f[x(2x)]f()， （2）令，得，∴

39391x(2x)92222∴x0，解得1． x1332x0故x的取值范围是(12222,1)． 33

人教版新教材高一上学期期末考试数学试卷（三）

(满分：150分，时间：120分钟)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝( ) A．{x|－2＜x＜－1} C．{x|－1＜x＜1}

B．{x|－2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}

A [在数轴上表示出集合A，B，如图所示．

由图知A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．]

2．已知命题p：x为自然数，命题q：x为整数，则p是q的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

A [若x为自然数，则它必为整数，即p⇒q.

但x为整数不一定是自然数，如x＝－2，即qp.故p是q的充分不必要条件．] 103．若cos α＝－，sin 2α＞0，则tan(π－α)等于( )

1033

A．－3 B．3 C．－ D.

44A [∵sin 2α＝2sin αcos α＞0，cos α＝－∴sin α＝－

310sin α，∴tan α＝＝3， 10cos α10

， 10

∴tan(π－α)＝－tan α＝－3，故选A.]

4．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是( ) A．1 B．3 C．4 D．8

C [根据题意，满足条件的集合B可以为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}中的任意一个．]

5．若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是( ) A.

11＞ a－ba11B.＞

abC．|a|＞|b|

A [取a＝－2，b＝－1，则

D．a2＞b2

11

＞不成立．] a－ba6．若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的取值范围是( ) A．(0,4) C．(0,4]

B．[0,4) D．[0,4]

D [当a＝0时，满足条件；当a≠0时，由题意知a＞0且Δ＝a2－4a≤0，得0＜a≤4，所以0≤a≤4.]

7．已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，则xy( ) A．有最大值为1 1

C．有最大值为

2

C [因为x＞0，y＞0，x＋2y＝2，

1

所以x＋2y≥2x·2y，即2≥22xy，xy≤，

21

当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时，等号成立．

21

所以xy有最大值，且最大值为.]

2

11x8．函数f(x)＝x2－的零点个数是( )

2

A．0 B．1 C．2 D．3 11x11xB [函数f(x)＝x2－的零点个数是方程x2－＝0的解的

22

x11x11

个数，即方程x2＝的解的个数，也就是函数y＝x2与y＝

22

B．有最小值为1 1

D．有最小值为

2

的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示，可得交点个数为1.]

9．若函数y＝a＋sin bx(b＞0且b≠1)的图象如图所示，则函数y＝logb(x－a)

的图象可能是( )

C [由题图可得a＞1，且y＝a＋sin bx的最小正周期T＝

2π

b＜π，所以b＞2，

则y＝logb(x－a)是增函数，排除A和B；当x＝2时，y＝logb(2－a)＜0，排除D，故选C.]

1

10．已知a＝log29－log23，b＝1＋log27，c＝＋log213，则a，b，c的大

2小关系为( ) A．a＞b＞c C．c＞a＞b

B．b＞a＞c D．c＞b＞a

B [a＝log29－log23＝log233，

b＝1＋log27＝log227，c＝＋log213＝log226， 因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数， 且27＞33＞26，所以b＞a＞c.]

11．已知函数①y＝sin x＋cos x，②y＝22sin xcos x，则下列结论正确的是( )

π

A．两个函数的图象均关于点－，0成中心对称图形

4B．两个函数的图象均关于直线x＝－

π

成轴对称图形 4

12

ππ

C．两个函数在区间－，上都是单调递增函数

44D．两个函数的最小正周期相同

ππ

C [①y＝2sinx＋，图象的对称中心为－＋kπ，0，k∈Z，对称轴为x44ππ3π

＋2kπ，＋2kπ，k∈Z，最小正周＝＋kπ，k∈Z，单调递增区间为－444π1

期为2π；②y＝2sin 2x图象的对称中心为kπ，0，k∈Z，对称轴为x＝

42π1π

＋kπ，k∈Z，单调递增区间为－＋kπ，＋kπ，k∈Z，最小正周期为π.

442故选C.]

12．函数y＝sin x与y＝tan x的图象在[－2π，2π]上的交点个数为( ) A．3 B．5 C．7 D．9 y＝sin x，

B [由

y＝tan x，

得sin x＝tan x，

1

＝0. 即sin x1－

cos x1

∴sin x＝0或1－＝0，

cos x即x＝kπ(k∈Z)，

又－2π≤x≤2π，∴x＝－2π，－π，0，π，2π， 从而图象的交点个数为5.]

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．命题p：“∀x∈{x|x是三角形}，x的内角和是180°”的﹁p是________． ∃x0∈{x|x是三角形}，x0的内角和不是180° [因为p是全称量词命题，则﹁p为存在量词命题．]

14．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，∁UB∩A＝{9}，则A＝________.

{3,9} [由题意画出Venn图，如图所示．

由图可知，A＝{3,9}．]

15．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中

k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．

1 024 [当t＝0.5时，y＝2，所以2＝e，

2所以k＝2ln 2，所以y＝e2tln 2， 当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.]

kkx＋3，x≥0，

16．已知函数f(x)＝1

，x＜0，2

x

若方程f(f(x))－2＝0恰有三个实数

根，则实数k的取值范围是________．

1

－1，－ [∵f(f(x))－2＝0，∴f(f(x))＝2，

3

1

∴f(x)＝－1或f(x)＝－(k≠0)．

k

① ② ③

(1)当k＝0时，作出函数f(x)的图象如图①所示， 由图象可知f(x)＝－1无解，∴k＝0不符合题意； (2)当k＞0时，作出函数f(x)的图象如图②所示， 1

由图象可知f(x)＝－1无解且f(x)＝－无解，

k即f(f(x))－2＝0无解，不符合题意；

(3)当k＜0时，作出函数f(x)的图象如图③所示， 由图象可知f(x)＝－1有1个实根，

∵f((x))－2＝0有3个实根， 1

∴f(x)＝－有2个实根，

k11

∴1＜－≤3，解得－1＜k≤－.

k31

综上，k的取值范围是－1，－.]

3

三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝3. (1)求m的值；

(2)判断函数f(x)的奇偶性．

[解] (1)∵f(1)＝3，即1＋m＝3，∴m＝2.

(2)由(1)知，f(x)＝x＋，其定义域是{x|x≠0}，关于坐标原点对称，又f(－

2

mxx22

x)＝－x＋＝－x＋＝－f(x)，

x－x∴函数f(x)是奇函数．

18．(本小题满分12分)已知p：A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：B＝{x|x2－2mx＋m2－9≤0，x∈R，m∈R}． (1)若A∩B＝[1,3]，求实数m的值；

(2)若﹁q是p的必要条件，求实数m的取值范围． [解] (1)A＝{x|－1≤x≤3，x∈R}，

B＝{x|m－3≤x≤m＋3，x∈R，m∈R}， ∵A∩B＝[1,3]，∴m＝4. (2)∵﹁q是p的必要条件 ∴p是﹁q的充分条件， ∴A⊆∁RB，∴m＞6或m＜－4.

19．(本小题满分12分)设α，β是锐角，sin α＝

4311

，cos(α＋β)＝－，714

求证：β＝

π. 3

ππ

，0＜β＜，知0＜α＋β＜π， 2211， 14

[证明] 由0＜α＜又cos(α＋β)＝－

故sin(α＋β)＝1－cos2α＋β ＝2

11531－－＝.

1414

由sin α＝

43

，可知 7

4321

＝， 1－77

cos α＝1－sin2α＝

∴sin β＝sin[(α＋β)－α]

＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α 53111433

＝×－－×＝， 1471472∴β＝

π

. 3

20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋2x＋c(a∈N*，c∈N*)满足： ①f(1)＝5；②6＜f(2)＜11. (1)求函数f(x)的解析式；

(2)若对任意x∈[1,2]，都有f(x)≥2mx＋1成立，求实数m的取值范围． [解] (1)∵f(1)＝5，∴5＝a＋c＋2，∴c＝3－a. 14

又6＜f(2)＜11，∴6＜4a＋c＋4＜11，∴－＜a＜. 33又a∈N*，∴a＝1，c＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋2.

(2)设g(x)＝f(x)－2mx－1＝x2－2(m－1)x＋1，x∈[1,2]，则由已知得 当m－1≤1，即m≤2时，g(x)min＝g(1)＝4－2m≥0，此时m≤2.

当1＜m－1＜2，即2＜m＜3时，g(x)min＝g(m－1)＝1－(m－1)2≥0，此时无解． 当m－1≥2，即m≥3时，g(x)min＝g(2)＝9－4m≥0，此时无解． 综上所述，实数m的取值范围是(－∞，2]．

21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos(πx＋

φ)0＜φ＜的部分图象如图所示． (1)求φ及图中x0的值；

111

(2)设g(x)＝f(x)＋fx＋，求函数g(x)在区间－，上的最大值和最小值．

323[解] (1)由题图得f(0)＝因为0＜φ＜

33

，所以cos φ＝， 22



π2

ππ，故φ＝. 26

由于f(x)的最小正周期等于2， 所以由题图可知1＜x0＜2， 7ππ13π

故＜πx0＋＜. 666

π33

πx＋＝， 由f(x0)＝，得cos0

622π11π5

所以πx0＋＝，x0＝.

663

1π1π

(2)因为fx＋＝cosπx＋＋＝cosπx＋＝－sin πx，

3632

1ππ

所以g(x)＝f(x)＋fx＋＝cosπx＋－sin πx＝cos πxcos－sin

366πxsin

π

－sin πx 6

33

＝cos πx－sin πx 22π＝3sin－πx.

6

ππ2π11

当x∈－，时，－≤－πx≤.

663231π

所以－≤sin－πx≤1，

26

ππ1

故－πx＝，即x＝－时，g(x)取得最大值3； 623

ππ13当－πx＝－，即x＝时，g(x)取得最小值－ 6632

22．(本小题满分12分)已知f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)为偶函数． (1)求k的值；

(2)若方程f(x)＝log4(a·2x－a)有且只有一个根，求实数a的取值范围． [解] (1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)， 即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx，

4－x＋1化简得log4x＝2kx，log44－x＝－x＝2kx，则有(2k＋1)x＝0.对任意的x∈R

4＋11

恒成立，于是有2k＋1＝0，k＝－. 2

1x(2)∵f(x)＝log4(4＋1)－x，f(x)＝log4(a·2－a)有且只有一个根，

2

x1

∴log4(4＋1)－x＝log4(a·2x－a)，

2

x即(1－a)(2x)2＋a·2x＋1＝0有唯一实根．

令t＝2x，则关于t的方程(1－a)t2＋at＋1＝0有唯一的正根．

①当1－a＝0即a＝1时，方程(1－a)t＋at＋1＝0，则t＋1＝0，即t＝－1，不符合题意．

②当1－a≠0即a≠1时，Δ＝a2－4(1－a)＝a2＋4a－4＝(a＋2)2－8. 若Δ＝0，则a＝－2±22， 此时，t＝

2

a2a－1

.

当a＝－2＋22时，则有t＝符合题意；

a＜0，方程(1－a)t2＋at＋1＝0无正根，不

2a－1

a

－1当a＝－2－22时，则有t＝＞0，且a·2－a＝a(t－1)＝a·

2a－12a－1

axa2－a

＝＞0，方程(1－a)t2＋at＋1＝0有两个相等的正根，符合题意． 2a－1

若Δ＞0，则方程(1－a)t2＋at＋1＝0有两个不相等的实根，则只需其中有一正根即可满足题意．

Δ＞0，于是有1

1－a＜0，

由此解得a＞1.

综上所述，a＞1或a＝－2－22.

人教版新教材高一上学期期末考试数学试卷（四）

一．选择题（共10小题）

1．设集合A{x|x210}，则( ) A．A

B．1A

C．{1}A

D．{1，1}A

2．命题“x[1，2]，2x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A．a1

B．a2

C．a3

D．a4

3．若命题“x[1，4]时，x24xm0”是假命题，则m的取值范围( ) A．[4，3]

B．(,4)

C．[4，)

D．[4，0]

a的x1x24．已知函数f(x)x24axa2(a0)的两个零点分别为x1，x2，则x1x2最小值为( ) A．8

B．6

x2C．4 D．2

5．已知动点(a,b)的轨迹为直线l:( )

y则ab的最大值为1在第一象限内的部分，

4A．1 B．2 C．22 D．4

6．设函数f(x)的图象与y2xa的图象关于直线yx对称，若mn2020，

f(2m)f(2n)2，则a( )

A．1011

2B．1009 C．1009 D．1011

7．已知(，0)，且cos2cos(3)0，则sin()( ) 24

23 4118．已知函数f(x)sin(x)cos(x)(0，0)，若点(，0)为

1263A．62 4B．23 4C．62 4D．函数f(x)的对称中心，直线x

6

为函数f(x)的对称轴，并且函数f(x)在区间(4，33)上单调，则f(2)( ) 2A．1 B．3 2C．

12D．

12二．多选题（共4小题）

9．设集合M{y|yex4}，N{x|ylg[(x2)(3x)]}，则下列关系正确的是(

)

A．RMRN

B．NM C．MN

D．RNM

10．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明．如图，在AB上取一点C，使得ACa，BCb，过点C作CDAB交以AB为直径，O为圆心的半圆周于点D，连接OD．下面不能由ODCD直接证明的不等式为( )

A．ab2ab(a0,b0) 22B．ababD．

22ab(a0,b0) abC．ab2ab(a0,b0)

a2b2(a0,b0) 211．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)0，且当x0时，f(x)x22x，则可作为方程f(x)f(1x)实根的有( ) A．13 2B．

12C．13 2D．33 212．给出下列四个结论，其中正确的结论是( ) A．sin()sin成立的条件是角是锐角

B．若cos(n)(nZ)，则cos C．若1 (Z)，则tan()22tan1313D．若sincos1，则sinncosn1 三．填空题（共4小题）

13．对于正数a，aaa可以用有理数指数幂的形式表示为 ．

log(1x),1x0114．若函数y2的值域为[1，则实数m的取值范围为 ． 1]，

|x1|21,0xm15．已知log2alog2b16sin12cos12，则ab的最小值为 ．

2M[a,2a]，

16．用MI表示函数ysinx在闭区间I上的最大值．若正数a满足M[0,a]则a的最大值为 ． 四．解答题（共8小题）

17．某居民小区欲在一块空地上建一面积为1200m2的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m，东西的人行通道宽

4m，如图所示（图中单位：m)，问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占

地面积最小？最小面积是多少？

18．已知a，b(0,)，且2a4b2． （Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若存在a，b(0,)，使得不等式|x1|3围．

log(1x)&x0219．已知函数f(x)log(1x)&x0．

1221成立，求实数x的取值范ab2a

1b

（1）判断函数yf(x)的奇偶性；

（2）对任意的实数x1、x2，且x1x20，求证：f(x1)f(x2)0；

（3）若关于x的方程[f(x)]2af(x)a0有两个不相等的正根，求实数a取值范围．

20．已知函数f(x)sinx(cosx3sinx)3343． 2（1）求f()的值及函数f(x)的单调增区间； （2）若x[12，]，不等式mf(x)m2恒成立，求实数m的取值集合．

221．已知函数f(x)Asin(x)B(A0，0，||)在一个周期内的最高点

2和最低点分别为(2,1)，(8,3)． （1）求函数f(x)的表达式；

（2）求函数f(x)在区间[0，6]的最大值和最小值； （3）将yf(x)图象上的点的横坐标变为原来的

6t倍(t0)，纵坐标不变，再向

上平移1个单位得到yg(x)的图象．若函数yg(x)在[0，]内恰有4个零点，求t的取值范围．

22．已知函数f(x)4cosxsin(x)1(xR)，将函数yf(x)的图象向左平移

6个6单位，得到函数yg(x)的图象． （1）求f()的值；

3（2）求函数yg(x)的解析式； （3）若f(0)3，求g(x0)．

【参考答案与试题解析】

一．选择题（共10小题）

1．设集合A{x|x210}，则( ) A．A

x2B．1A C．{1}A D．{1，1}A

【分析】根据题意，用列举法表示集合A，据此判断各选项，即可得答案． 【解答】解：根据题意，A{x|x210}{1，1}， 对于A，A，A错误， 对于B，1A，B正确， 对于C，{1}A，C错误， 对于D，{1，1}A，D错误， 故选：B．

【点评】本题考查元素与集合的关系，涉及集合的表示方法，属于基础题． 2．命题“x[1，2]，2x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A．a1

B．a2

C．a3

D．a4

【分析】求出函数恒成立的充要条件，根据集合的包含关系判断即可． 【解答】解：若x[1，2]，2x2a0恒成立， 则a(2x2)min2，

故命题“x[1，2]，2x2a0”为真命题的充要条件是a2， 而(，1)(，2]，

故命题“x[1，2]，2x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是a1， 故选：A．

【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及函数恒成立问题，是一道基础题．

3．若命题“x[1，4]时，x24xm0”是假命题，则m的取值范围( ) A．[4，3]

B．(,4)

C．[4，)

D．[4，0]

【分析】根据全称命题是假命题，得到命题的否定是真命题，利用参数分离法进行求解即可．

【解答】解：若命题“x[1，4]时，x24xm0”是假命题， 则命题“x[1，4]时，x24xm0”是真命题

则mx24x，

设f(x)x24x(x2)24， 当1x4时，4f(x)0 则4m0， 故选：D．

【点评】本题主要考查命题真假的应用，利用全称命题的否定是特称命题转化为特称命题是解决本题的关键．难度中等．

4．已知函数f(x)x24axa2(a0)的两个零点分别为x1，x2，则x1x2最小值为( ) A．8

B．6

C．4

D．2

a的x1x2【分析】由韦达定理求出x1x24a，x1x2a2，再根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．

【解答】解：由题意得：x1x24a，x1x2a2， 故x1x2a114a24a4， x1x2aa12当且仅当a时“”成立， 故选：C．

【点评】本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质，是一道基础题． 5．已知动点(a,b)的轨迹为直线l:( )

x2y则ab的最大值为1在第一象限内的部分，

4A．1 B．2 C．22 D．4

【分析】直接利用基本不等式的应用求出结果． 【解答】解：动点(a,b)的轨迹为直线l:所以1， 由基本不等式1a2bab，解得ab2， 2424x2y1在第一象限内的部分， 4a2b4

当且仅当时，等号成立，故ab的最大值为2． 故选：B．

【点评】本题考查的知识要点：基本不等号式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

6．设函数f(x)的图象与y2xa的图象关于直线yx对称，若mn2020，

f(2m)f(2n)2，则a( )

a2b412A．1011 B．1009 C．1009 D．1011

【分析】在函数yf(x)的图象上取点(x,y)，则关于直线yx对称点为(y,x)，代入y2xa，结合题目条件可得答案．

【解答】解：因为函数yf(x)的图象与y2xa的图象关于直线yx对称， 令f(2m)p，f(2n)q，则pq2； 故(p，2m)，(q，2n)在y2xa的图象上， 所以2m2pa，2n2qa，即mpa，

nqa两式相加得mn(pq)2a， 所以2amnpq202022022， 解得a1011， 故选：A．

【点评】本题考查图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 7．已知(，0)，且cos2cos(23)0，则sin()( ) 24A．62 4B．23 4C．62 4D．23 4【分析】由已知结合二倍角公式可先求sin，进而可求cos，然后结合两角和的正弦公式可求．

【解答】解：因为(，0)，且cos2cos(23)0， 2所以cos2sin0，

即2sin2sin10，

解得，sin1（舍)或sin， 所以cos43 2223162 (sincos)222412则sin()故选：A．

【点评】本题主要考查了诱导公式，同角平方关系，和差角公式在三角求值中的应用，属于基础题．

8．已知函数f(x)sin(x)cos(x)(0，0)，若点(6311，0)为124，3函数f(x)的对称中心，直线x

6

为函数f(x)的对称轴，并且函数f(x)在区间(3)上单调，则f(2)( ) 2A．1 B．3 2C．

12D．

12【分析】利用两角和差和辅助角公式化简函数函数

f(x)sin(x)cos(x)sin(x)，再利用三角函数的单调性、周期

63性和对称性可得(21)，N．2且06．解得解得：， 62366又因为l，IZ．

30，

即(43，)(3，3)符合单调性条件，所以函数33236621f(x)sin(2x)，即可得f(2)f()．

632【解答】解：函数f(x)sin(x)cos(x)sin(x)，并且函数f(x)63在区间(因此

643，)上单调， 32T，所以06． 211，0)为函数f(x)的对称中心，直线x为函数f(x)的对称轴， 126又因为点(因此

113TT，N， 1264422所以T

3， 21

解得(21)，N． 将x

6236

代入函数f(x)时函数有最值，

3即32m，mZ，即66m，mZ．

又因为0，且06．

2解得：， 6即(43，)(3，3)符合单调性条件， 332366所以函数f(x)sin(2x)，则f(2)f(621)， 32故选：C．

【点评】本题考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换、二倍角公式，考查推理论证能力和运算求解能力，考查逻辑推理、直观想象、数学运算核心素养． 二．多选题（共4小题）

9．设集合M{y|yex4}，N{x|ylg[(x2)(3x)]}，则下列关系正确的是(

)

A．RMRN

B．NM C．MN

D．RNM

【分析】由指数函数的性质求出函数的值域即集合A，由对数函数的性质即真数大于0，解一元二次不等式得到集合B，判断两个集合的关系，结合选项可得正确答案．

【解答】解：集合M{y|yex4}{y|y4}(,4)，

集合N{x|ylg[(x2)(3x)]}{x|(x2)(3x)0}{x|(x2)(x3)0}(2，3)，

NM，即CRMCRN，

故选：AB．

【点评】本题考查了集合间的关系，以及指数函数和对数函数的性质，属于基础题．

10．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形

实现证明．如图，在AB上取一点C，使得ACa，BCb，过点C作CDAB交以AB为直径，O为圆心的半圆周于点D，连接OD．下面不能由ODCD直接证明的不等式为( )

A．ab2ab(a0,b0) 22B．ababD．

2122ab(a0,b0) abC．ab2ab(a0,b0)

a2b2(a0,b0) 2【分析】由题意得，OD(ab)，然后结合射影定理可得，CD2ACBCab，从而可判断．

【解答】解：因为ACa，BCb， 所以OD(ab)， 由题意得，ADB90，

12由射影定理可得，CD2ACBCab， 由ODCD，得(ab)确．

故选：BCD．

【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理，属于基础题．

11．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)0，且当x0时，f(x)x22x，则可作为方程f(x)f(1x)实根的有( ) A．13 212ab，当且仅当ab时取等号，A正确，B，C，D不正

B．

12C．13 2D．33 2【分析】由已知求得函数解析式，得到f(1x)，进一步写出分段函数

g(x)f(x)f(1x)，求解方程g(x)0得答案．

【解答】解：f(x)f(x)0，f(x)为定义在R上的奇函数，

当x0时，f(x)x22x，设x0，则x0， 得f(x)x22xf(x)，即f(x)x22x．

x22x,x0x21,x1f(x)2，则f(1x)2，

x2x,x0x2x,x12x26x3,x1令g(x)f(x)f(1x)2x1,0x1，

2x22x1,x0当g(x)0时，解得x故选：ABD．

33131或x或x． 222【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，考查函数与方程思想，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．

12．给出下列四个结论，其中正确的结论是( ) A．sin()sin成立的条件是角是锐角 B．若cos(n)(nZ)，则cos C．若1 (Z)，则tan()22tan13

13D．若sincos1，则sinncosn1

【分析】由诱导公式二即可判断A；分类讨论，利用诱导公式即可判断B；利用同角三角函数基本关系式即可判断C；将已知等式两边平方，可得sin0，或

cos0，分类讨论即可判断D．

【解答】解：由诱导公式二，可得R时，sin()sin，故A错误； 当n2，Z时，cos(n)cos()cos，此时cos，

当n21，Z时，cos(n)cos[(21)]cos()cos，此时

1cos，故B错误；

313sin()cos12若，Z，则tan()，故C正确；

2sintan2cos()2

将sincos1，两边平方，可得sincos0，所以sin0，或cos0， 若sin0，则cos1，此时sin2cos21；

若cos0，则sin1，此时sin2cos21，故sinncosn1，故D正确． 故选：CD．

【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了函数思想和分类讨论思想，属于中档题． 三．填空题（共4小题）

13．对于正数a，aaa可以用有理数指数幂的形式表示为 a ． 【分析】根据指数幂的运算法则即可求出．

【解答】解：原式(a(aa))(a(a))(aa)(a)a． 故答案为：a．

【点评】本题考查了指数幂的运算法则，属于基础题．

log(1x),1x0114．若函数y2的值域为[1，则实数m的取值范围为 [1，1]，

|x1|21,0xm787811122231122231427142782] ．

【分析】可求出1x0时，1y0，然后根据原函数的值域为[1，1]可得出

0xm时，0|x1|1，0y1，这样即可求出m的范围．

【解答】解：1x0时，11x2，1log1(1x)0，且原函数的值域为[1，

21]，

0xm时，0|x1|1，即0x2，

1m2，

m的取值范围为：[1，2]．

故答案为：[1，2]．

【点评】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，函数值域的定义及求法，考查了计算能力，属于中档题．

15．已知log2alog2b16sin12cos12，则ab的最小值为 8 ．

【分析】由已知结合对数的运算性质及二倍角公式进行化简可求ab，然后结合基本不等式即可求解．

【解答】解：因为log2alog2b16sin所以log2ab4， 故ab16， 则ab2ab8，

当且仅当ab4时取等号，ab的最小值8． 故答案为：8．

【点评】本题主要考查了对数的运算性质，二倍角公式及基本不等式，属于基础题．

16．用MI表示函数ysinx在闭区间I上的最大值．若正数a满足M[0,a]则a的最大值为

9． ． 82M[a,2a]，

12cos128sin64，

【分析】分a在不同区间进行讨论，得出符合条件的a取值范围，即可求得a的最大值．

【解答】解：当a[0，]时，2a[0，]，M[0,a]sina，M[a,2a]1，

2由M[0,a]22M[a,2a]，得sina2，此时不成立；

当a[，]时，2a[，2]，M[0,a]1，M[a,2a]sina， 由M[0,a]2M[a,2a]，得12sina，即sina23，所以24a；

当a[，由M[0,a]当a[3]时，2a[2，3]，M[0,a]1，M[a,2a]sin2a或1， 22M[a,2a]，得12sin2a，即sin2a29且2a2，解得a； 2823，)时，2a[3，)，M[0,a]1，M[a,2a]1，不合题意． 29． 8综上，a得最大值为故答案为：

9． 8

【点评】本题主要考查三角函数的最值的求法，考查分类讨论的数学思想，考查计算能力，属于中档题． 四．解答题（共8小题）

17．某居民小区欲在一块空地上建一面积为1200m2的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m，东西的人行通道宽

4m，如图所示（图中单位：m)，问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占

地面积最小？最小面积是多少？

【分析】设矩形车场南北侧边长为xm，则其东西侧边长为面积为S(x6)(81200m，人行道占地x12007200)12008x48，然后结合基本不等式即可求解． xx1200m， x【解答】解：设矩形车场南北侧边长为xm，则其东西侧边长为人行道占地面积为S(x6)(8当且仅当8x120072007200)12008x4828x4896， xxx72001200，即x30(m)时取等号，Smin96(m2)，此时40(m)， xx所以矩形停车场的南北侧边长为30m，则其东西侧边长为40m，才能使人行通道占地面积最小，最小面积是528m2．

【点评】本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，体现了转化思想的应用．

18．已知a，b(0,)，且2a4b2． （Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若存在a，b(0,)，使得不等式|x1|3围．

【分析】(I)由已知结合指数的运算性质可得，a2b1，然后结合

21成立，求实数x的取值范ab2a

1b

2121()(a2b)，展开后利用基本不等式可求， abab(II)存在a，b(0,)，使得|x1|321成立，则结合(I)得|x1|34成立，ab解不等式可求．

【解答】解：因为a，b(0,)，且2a4b2a2b2， 所以a2b1，

21214ba4ba(I)()(a2b)4428， abababab当且仅当

2a

1b

14ba1且a2b1，即b，a时取等号，

2ab4故的最小值8，

21(II)由(I)的最小值4，

ab又存在a，b(0,)，使得|x1|3所以|x1|34， 所以|x1|1， 解得，x2或x0， 故x的范围{x|x2或x0}．

21成立， ab【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值及不等式的存在性问题与最值的相互转化关系的应用，属于中档题．

log(1x)&x0219．已知函数f(x)log(1x)&x0．

12（1）判断函数yf(x)的奇偶性；

（2）对任意的实数x1、x2，且x1x20，求证：f(x1)f(x2)0；

（3）若关于x的方程[f(x)]2af(x)a0有两个不相等的正根，求实数a取值范围．

【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性；

（2）证明函数ylog2(1x)在[0，)上是严格增函数，结合函数的奇偶性可得

34

ylog1(1x)在(,0)上也是严格增函数，从而yf(x)在R上是严格增函数，由

2x1x20，即可证明f(x1)f(x2)0；

（3）由（1）知，故原方程可化为[f(x)]2af(x)a0，yf(x)是R上的奇函数，把原方程有两个不等正根转化为关于a的不等式组求解． 【解答】解：（1）f(0)log2(10)0．

当x0时，x0，有f(x)log1[1(x)]log2(1x)f(x)，

234即f(x)f(x)．

当x0时，x0，有f(x)log2[1(x)]log1(1x)f(x)，

2即f(x)f(x)．

综上，函数f(x)是R上的奇函数；

证明：（2）函数ylog2x是(0,)上的严格增函数，

函数u1x在R上也是严格增函数，故函数ylog2(1x)在[0，)上是严格增函数．

由（1）知，函数yf(x)在R上为奇函数，由奇函数的单调性可知，ylog1(1x)

2在(,0)上也是严格增函数，从而yf(x)在R上是严格增函数． 由x1x20，得x1x2，f(x1)f(x2)f(x2)， 即f(x1)f(x2)0；

解：（3）由（1）知，yf(x)是R上的奇函数，故原方程可化为

[f(x)]2af(x)a30． 4令f(x)t，则当x0时，tf(x)0，于是，原方程有两个不等正根等价于： 关于t的方程t2at(a)0有两个不等的正根．

34

32a4(a)0a1,或a343a0a1或a3． 即a0433aa044因此，实数a的取值范围是(，1)(3，)．

【点评】本题考查函数奇偶性的判定及应用，考查函数的单调性，考查函数零点与方程根的关系，考查化归与转化思想，是中档题． 20．已知函数f(x)sinx(cosx3sinx)3343． 2（1）求f()的值及函数f(x)的单调增区间； （2）若x[12，]，不等式mf(x)m2恒成立，求实数m的取值集合．

2【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，代入计算可求f()3的值，结合正弦函数的单调性列出不等式解出单调区间； （2）求出f(x)在[12，]上的值域，根据题意列出不等式组即可解出m的范围．

2【解答】解：（1）

f(x)sinx(cosx3sinx)3311cos2x3sinxcosx3sin2xsin2x3sin(2x)222223，

3， f()sin(2)sin33332令22x2322，解得12x5，Z． 12f(x)的单调递增区间是[12，

5]，Z． 122]， 3（2）x[当2x212，]，可得2x[，

2363时，f(x)取得最大值1，当2x36时，f(x)取得最小值．

1211mmf(x)m2恒成立，2，解得1m．

2m21实数m的取值范围是(1，1)． 2【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的单调性，三角函数的值域，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．

21．已知函数f(x)Asin(x)B(A0，0，||)在一个周期内的最高点

2和最低点分别为(2,1)，(8,3)． （1）求函数f(x)的表达式；

（2）求函数f(x)在区间[0，6]的最大值和最小值； （3）将yf(x)图象上的点的横坐标变为原来的

6t倍(t0)，纵坐标不变，再向

上平移1个单位得到yg(x)的图象．若函数yg(x)在[0，]内恰有4个零点，求t的取值范围．

【分析】（1）由最值求出A、B，由周期求，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．

（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．

（3）利用函数yAsin(x)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的性值，求得t的取值范围．

【解答】解：（1）由题意可得，AB1，AB3，故A2，B1．

1282，．

62根据五点法作图，262，7666，f(x)2sin(x)1．

66（2）x[0，6]，故当x66x6[]，

62时，f(x)取得最大值为211；当x667时，f(x)取得最小6值为2()12．

（3）将yf(x)图象上的点的横坐标变为原来的可得y2sin(6126t倍(t0)，纵坐标不变，

6tx)12sin(tx)1的图象； 66再向上平移1个单位得到yg(x)2sin(tx)的图象．

6当x[0，]，tx[，t]，

666若函数yg(x)在[0，]内恰有4个零点，则4t65，

求得

2329． t66【点评】本题主要考查由函数yAsin(x)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数

yAsin(x)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．

22．已知函数f(x)4cosxsin(x)1(xR)，将函数yf(x)的图象向左平移

6个6单位，得到函数yg(x)的图象． （1）求f()的值；

3（2）求函数yg(x)的解析式； （3）若f(0)3，求g(x0)．

【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，可得f()的值．

3x2（2）由题意利用函数yAsin(x)的图象变换规律，得出结论．

（3）由题意求得sin(x0)的值，再利用诱导公式、二倍角公式，求得g(x0)的值．

6【解答】解：（1）函数

f(x)4cosxsin(x)123sinxcosx2cos2x13sin2xcos2x2sin(2x)，

66故f()2sin322．

（2）将函数yf(x)2sin(2x) 的图象向左平移

6个单位， 6得到函数yg(x)2sin(2x)的图象，

6（3）若f(0)32sin(x0)，则sin(x0)6x263， 2g(x0)2sin(2x0)2cos(2x0)2cos(2x0)2[12sin2(x0)]

633632[12]1．

4【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数yAsin(x)的图象变换规律，属于中档题．

人教版新教材高一上学期期末考试数学试卷（五）

一．选择题（共10小题） 1．若集合A{xN|xA．{a}A

15}，a23，则下面结论中正确的是( )

B．aA C．{a}A D．aA

2．已知实数a1，b1，则ab4是log2alog2b1的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3．若命题“x[0，3]，都有x22xm0 “是假命题，则实数m的取值范围是( ) A．(，3]

B．[1，)

C．[1，3]

D．[3，)

4．若函数f(x)x24xm4在区间[3，5)上有零点，则m的取值范围是( ) A．(0,4)

B．[4，9)

1的( ) x2C．[1，9) D．[1，4]

5．已知x2，则yxA．最小值是2

B．最小值是4 C．最大值是2 D．最大值是4

6．已知函数y2x1的图象与函数yf(x)的图象关于直线xy0对称，则函数

yf(x)的反函数是( )

A．y1log2(x) 7．已知cos()3B．ylog2(1x) C．y2x1

3，则sin( ) (为锐角）

3D．y2x1

A．223 6B．223 6C．63 6D．36 68．设函数f(x)sinx3cosx，x[0，2]，若0a1，则方程f(x)a的所有根之和为( ) A．

4 3

B．2 C．

8 3D．

7 3

二．多选题（共4小题）

9．若集合MN，则下列结论正确的是( ) A．MNN

B．MNN C．M(MN) D．(MN)N

10．下列说法中正确的有( ) A．不等式ab2ab恒成立 B．存在a，使得不等式aC．若a，b(0,)，则ba1 2成立

aa 2 bD．若正实数x，y满足x2y1，则11．已知函数f(x)|x|，则( ) x12x18 yA．f(x)是奇函数

B．f(x)在[0，)上单调递增 C．函数f(x)的值域是(,1)[0，) D．方程f(x)x210有两个实数根

12．下列选项中，与sin()的值相等的是( ) A．2cos2151

B．cos18cos42sin18sin42 C．2sin15sin75

tan30otan15oD．

1tan30otan15o116

三．填空题（共4小题） 13．化简：(a)2323bb1312 （其中a0，b0)．

ab14．高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用[x]表示不超过x的最大整数，则y[x]称为高斯函数，例如：[3.4]4，

2ex1，则函数y[f(x)]的值域是 ． [2.7]2．已知函数f(x)1ex52515．若lgxlgy1，则的最小值为 ．

xy16．若

4x2，则函数y2tan2xtan3x的最大值为 ．

四．解答题（共8小题）

17．已知x0，y0，且x4y40． （Ⅰ）求xy的最大值； （Ⅱ）求1x1的最小值． y18．已知函数f(x)x22ax1a，aR． （Ⅰ）若a2，试求函数yf(x)(x0)的最小值； 2x（Ⅱ）对于任意的x[0，2]，不等式f(x)a成立，试求a的取值范围； （Ⅲ）存在a[0，2]，使方程f(x)2ax成立，试求x的取值范围． 19．解方程 （1）9x3x21 81（2）log4(3x)log4(2x1)log4(3x) 20．设函数f(x)3x3x． sincos2323（1）求f(x)的最小正周期；

（2）若函数yg(x)与yf(x)的图象关于x轴对称，求当x[0，]时，yg(x)的最大值．

21．已知函数f(x)Acos(x)B(A0,0,||)的部分图象如图所示．

232（Ⅰ）求f(x)的解析式及对称中心坐标；

个单位，最后将图63象向上平移1个单位后得到g(x)的图象，求函数yg(x)在x[,]上的单调减

124（Ⅱ）先将f(x)的图象纵坐标缩短到原来的，再向右平移

12区间和最值．

22．已知函数f(x)3sinx2cos21． （Ⅰ）若f()23f()，求tan的值；

6x2（Ⅱ）若函数f(x)图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍得函数g(x)的图象，且关于x的方程g(x)m0在[0,]上有解，求m的取值范围．

212

【参考答案与试题解析】

一．选择题（共10小题） 1．若集合A{xN|xA．{a}A

15}，a23，则下面结论中正确的是( )

B．aA C．{a}A D．aA

【分析】利用元素与集合的关系直接求解． 【解答】解：集合A{xN|xa23，

15}{0，1，2，3}，

aA．

故选：D．

【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意元素与集合的关系的合理运用．

2．已知实数a1，b1，则ab4是log2alog2b1的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】根据充分必要条件的定义以及基本不等式的性质判断即可． 【解答】解：a1，b1，

log2a0，log2b0，

ab2ab，ab4，

故ab4，log2alog2b(15log2alog2b2log2(ab)2log242)[]()1， 22215反之，取a16，b2，则log2alog2blog216log221， 但ab4，故ab4是log2alog2b1的充分不必要条件， 故选：A．

【点评】本题考查了充分必要条件，考查基本不等式的性质，是一道基础题． 3．若命题“x[0，3]，都有x22xm0 “是假命题，则实数m的取值范围是( ) A．(，3]

B．[1，)

C．[1，3]

D．[3，)

45【分析】直接利用命题的否定和一元二次方程的解的应用求出结果．

【解答】解：命题“x[0，3]，都有x22xm0 “是假命题，则命题“x[0，

3]，使得x22xm0 “成立是真命题，

故mx22x(x1)21．

由于x[0，3]，所以m[1，3]． 故选：C．

【点评】本题考查的知识要点：命题的否定的应用，一元二次方程的根的存在性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 4．若函数f(x)x24xm4在区间[3，5)上有零点，则m的取值范围是( ) A．(0,4)

B．[4，9)

C．[1，9)

D．[1，4]

【分析】判断出在区间[3，5)上单调递增，f(3)01m0得出即即可． f(5)09m0【解答】解：函数f(x)x24xm4，对称轴x2， 在区间[3，5)上单调递增

在区间[3，5)上有零点，

f(3)0

f(5)0即1m0

9m0解得：1m9， 故选：C．

【点评】本题考查了二次函数的单调性，零点的求解方法，属于中档题． 5．已知x2，则yxA．最小值是2

1的( ) x2B．最小值是4 C．最大值是2 D．最大值是4

【分析】直接利用不等式的基本性质和关系式的恒等变换的应用求出结果． 【解答】解：已知x2，所以x20， 故yx111x222(x2)24（当x3时，等号成立）． x2x2(x2)故选：B．

【点评】本题考查的知识要点：不等式的基本性质，关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

6．已知函数y2x1的图象与函数yf(x)的图象关于直线xy0对称，则函数

yf(x)的反函数是( )

A．y1log2(x) B．ylog2(1x) C．y2x1

D．y2x1

【分析】设P(x,y)为yf(x)的反函数图象上的任意一点，则P关于yx的对称点P(y,x)一点在yf(x)的图象上，

P(y,x)关于直线xy0的对称点P(x,y)在函数y2x1的图象上，代入解析式

变形可得．

【解答】解：设P(x,y)为yf(x)的反函数图象上的任意一点， 则P关于yx的对称点P(y,x)一点在yf(x)的图象上，

又函数yf(x)的图象与函数y2x1的图象关于直线xy0对称，

P(y,x)关于直线xy0的对称点P(x,y)在函数y2x1的图象上，

必有y2x1，即y2x1，yf(x)的反函数为：y2x1；

故选：C．

【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题 7．已知cos()33，则sin( ) (为锐角）

32236336 C． D． 66611【分析】由sinsin[()]，结合已知及两角差的正弦公式即可求解．

33A．223 6B．【解答】解：cos()3sin()3， (为锐角）

3136， 31313121331cos()， 23则sinsin[()]sin()1633()， 232336 6故选：C．

【点评】本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题．

8．设函数f(x)sinx3cosx，x[0，2]，若0a1，则方程f(x)a的所有根之和为( ) A．

4 3B．2 C．

8 3D．

7 3【分析】把已知函数解析式利用辅助角公式化积，求得函数值域，再由a的范围可知方程f(x)a有两根x1，x2，然后利用对称性得答案． 【解答】解：

13 f(x)sinx3cosx2(sinxcosx)2sin(x)，x[0，2]，

223f(x)[2，2]，又0a1，

方程f(x)a有两根x1，x2，

由对称性得

(x13)(x22)33，解得xx7．

1223故选：D．

【点评】本题考查两角和与差的三角函数，考查函数零点的判定及应用，正确理解题意是关键，是基础题． 二．多选题（共4小题）

9．若集合MN，则下列结论正确的是( ) A．MNN

B．MNN C．M(MN) D．(MN)N

【分析】利用子集、并集、交集的定义直接求解． 【解答】解：集合MN，

在A中，MNM，故A错误； NN，故B正确；

N)，故C错误；

在B中，M在C中，M(M在D中，M故选：BD．

NNN，故D正确．

【点评】本题考查了子集、并集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

10．下列说法中正确的有( ) A．不等式ab2ab恒成立 B．存在a，使得不等式aC．若a，b(0,)，则ba1 2成立

aa 2 bD．若正实数x，y满足x2y1，则2x18 y【分析】结合基本不等式的一正，二定三相等的条件检验各选项即可判断． 【解答】解：不等式ab2ab恒成立的条件是a0，b0，故A不正确； 当a为负数时，不等式a

12成立．故B正确； a

由基本不等式可知C正确； 对于2x1214yx4yx()(x2y)4428， yxyxyxy当且仅当

4yx11，即x，y时取等号，故D正确． xy24故选：BCD． 【点评】

本题考查基本不等式的应用，要注意应用条件的检验．

|x|，则( ) x111．已知函数f(x)A．f(x)是奇函数

B．f(x)在[0，)上单调递增 C．函数f(x)的值域是(,1)[0，) D．方程f(x)x210有两个实数根

【分析】根据函数的奇偶性判断A，根据函数的单调性判断B，结合图象判断C，

D即可．

【解答】解：对于A:f(x)对于B:x0时，f(x)|x|f(x)，f(x)不是奇函数，故A错误； x1x1在[0，)递增，故B正确； 1x1x1对于C，D，画出函数f(x)和y1x2的图象，如图示： ，

显然函数f(x)的值域是(,1)[0，)，故C正确，

f(x)和y1x2的图象有3个交点，故D错误；

故选：BC．

【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查数形结合思想，转化思想，是一道中档题．

12．下列选项中，与sin()的值相等的是( ) A．2cos2151

B．cos18cos42sin18sin42 C．2sin15sin75

116tan30otan15oD． oo1tan30tan1511【分析】求出sin()的值．利用二倍角的余弦求值判断A；利用两角和的余弦

6求值判断B；利用二倍角的正弦求值判断C；利用两角和的正切求值判断D． 【解答】解：sin()sin(2)sin611661． 2对于A，2cos215o1cos303； 212对于B，cos18cos42sin18sin42cos(1842)cos60； 对于C，2sin15sin752sin15cos15sin30；

tan30otan15o对于D，tan(3015)tan451． oo1tan30tan1511与sin()的值相等的是BC．

612故选：BC．

【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式、倍角公式及两角和的三角函数，是基础题．

三．填空题（共4小题） 13．化简：(a)2323bb1312 a （其中a0，b0)．

ab【分析】根据指数幂的运算法则即可求出． 【解答】解：bb(bb)b311233123b

12原式a21()33b1122a，

故答案为：a．

【点评】本题考查了指数幂的运算，属于基础题．

14．高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用[x]表示不超过x的最大整数，则y[x]称为高斯函数，例如：[3.4]4，

2ex1，则函数y[f(x)]的值域是 {1，0，1} ． [2.7]2．已知函数f(x)x1e592【分析】先利用分离常数法将函数化为f(x)，进而求出f(x)的值域，x51e再根据[x]的定义可以求出[f(x)]的所有可能的值，进而得到函数的值域．

2ex12(1ex)212192【解答】解：f(x)， 21ex51ex51ex551ex21929，， ex0，1ex1，021ex551ex5即f(x)，

①当f(x)0时，[f(x)]1， ②当0f(x)1时，[f(x)]0， ③当1f(x)时，[f(x)]1，

函数y[f(x)]的值域是：{1，0，1}，

15951595故答案为：{1，0，1}．

【点评】本题主要考查了新定义运算的求解，关键是能通过分离常数的方式求得已知函数的值域，是中档题．

15．若lgxlgy1，则2x5的最小值为 2 ． y【分析】根据对数的基本运算，结合不等式的解法即可得到结论． 【解答】解：lgxlgy1，

lgxy1，且x0，y0，

即xy10，



252510222， xyxy10当且仅当2x5，即x2，y5时取等号， y故答案为：2

【点评】本题主要考查不等式的应用，利用对数的基本运算求出xy10是解决本题的关键，比较基础． 16．若

4x2，则函数y2tan2xtan3x的最大值为 16 ．

【分析】直接利用三角函数的性质和关系式的恒等变换的应用及二次函数的性质的应用求出结果． 【解答】解：若另tan2x4x2，则tanx(1,)，

2tanx， 21tanx设tanxt，(t1)，

4t444则y1t2(1)21(11)21t2t2t22416，

当且仅当t2时，等号成立． 故答案为：16．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，关系式的变换和二次函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 四．解答题（共8小题）

17．已知x0，y0，且x4y40．

（Ⅰ）求xy的最大值； （Ⅱ）求1x1的最小值． y【分析】（1）由已知得，40x4y24xy4xy，解不等式可求， （2）由题意得，1x1111()(x4y)，展开后结合基本不等式可求． y40xy【解答】解：（1）x0，y0，

40x4y24xy4xy，

当且仅当x4y且x4y40即x20，y5时取等号， 解得，xy100， 故xy的最大值100．

（2）因为x0，y0，且x4y40． 所以1x111114yx14yx9()(x4y)(5)(52)， y40xy40xy40xy40当且仅当x2y且x4y40即x所以1x19的最小值． y404020，y时取等号， 33【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题 18．已知函数f(x)x22ax1a，aR． （Ⅰ）若a2，试求函数yf(x)(x0)的最小值； 2x（Ⅱ）对于任意的x[0，2]，不等式f(x)a成立，试求a的取值范围； （Ⅲ）存在a[0，2]，使方程f(x)2ax成立，试求x的取值范围． 【分析】（Ⅰ）对式子变形后，利用基本不等式即可求得结果；

（Ⅱ）先由题设把问题转化为：x22ax10对于任意的x[0，2]恒成立， 构造函数g(x)x22ax1，x[0，2]，利用其最大值求得a的取值范围； （Ⅲ）由题设把问题转化为：方程a1x2在a[0，2]有解，解出x的范围．

f(x)x24x1111【解答】解：（Ⅰ）当a2时，y(x)2221（当

2x2x2x2且仅当x1时取“ “)，

ymin1；

（Ⅱ）由题意知：x22ax1aa对于任意的x[0，2]恒成立， 即x22ax10对于任意的x[0，2]恒成立， 令g(x)x22ax1，x[0，2]， 则g(0)103，解得：a，

4g(2)34a03a的取值范围为[，)；

4（Ⅲ）由f(x)2ax可得：x21a0， 即a1x2，

a[0，2]， 01x22，

解得：1x1，

即x的取值范围为[1，1]．

【点评】本题主要考查基本不等式的应用、函数的性质及不等式的解法，属于中档题． 19．解方程 （1）9x3x21 81（2）log4(3x)log4(2x1)log4(3x)

【分析】（1）直接利用有理指数幂的运算法则求解方程的解即可． （2）利用对数运算法则，化简求解方程的解即可． 【解答】解：（1）9x3x21，可得x23x2，（2分） 81解得x2或x1；（4分）

（2）log4(3x)log4(2x1)log4(3x)， 可得log4(3x)log4(2x1)(3x)， （2分） 3x(2x1)(3x)，

得x4或x0，经检验x0为所求．（4分）

【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，对数方程的解法，考查计算能力． 20．设函数f(x)3x3x． sincos2323（1）求f(x)的最小正周期；

（2）若函数yg(x)与yf(x)的图象关于x轴对称，求当x[0，]时，yg(x)的最大值．

【分析】（1）利用辅助角公式化积，再由周期公式求周期； （2）由对称性求得g(x)的解析式，再由x的范围求得函数最值． 【解答】解：（1）

f(x)3x3xsincos3sin(x)． 232333232f(x)的最小正周期为T36；

（2）函数yg(x)与yf(x)的图象关于x轴对称，

g(x)f(x)3sin(x)． 333xx[0，]，[，]，

233363313，]，g(x)[，]． )[33222233当x[0，]时，yg(x)的最大值为．

22sin(x【点评】本题考查yAsin(x)型函数的图象和性质，考查三角函数最值的求法，是中档题．

21．已知函数f(x)Acos(x)B(A0,0,||)的部分图象如图所示．

2（Ⅰ）求f(x)的解析式及对称中心坐标；

（Ⅱ）先将f(x)的图象纵坐标缩短到原来的，再向右平移

12个单位，最后将图6

象向上平移1个单位后得到g(x)的图象，求函数yg(x)在x[,区间和最值．

3124]上的单调减

【分析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，B，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，可得函数的解析式，再根据余弦函数的图象的对称性，得出结论．

（Ⅱ）由题意利用函数yAsin(x)的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，得出结论．

【解答】解：（Ⅰ）由函数f(x)Acos(x)B(A0,0,||)的部分图象知：

2A1(3)1(3)T72，B1，2， 22212f(x)2cos(2x)1，把点(,1)代入得：cos()1，

126即

62k，kZ． 又

||2，，

6f(x)2cos(2x6)1．

由图可知(,1)是其中一个对称中心，

3故所求对称中心坐标为：(3k,1)，kZ． 212（Ⅱ）先将f(x)的图象纵坐标缩短到原来的，可得ycos(2x)的图象，

612再向右平移个单位，可得ycos(2x)sin2x 的图象，

261212最后将图象向上平移1个单位后得到g(x)sin2x的图象． 由2k2x21222k，kZ，可得增区间是[k4，k]，

4当x[,]时，函数的增区间为[,]． 1241243

则2x[,当2x362]，当2x2即，x4时，g(x)有最大值为，

323311，即x时，g(x)有最小值为1． 2422【点评】本题主要考查由函数yAsin(x)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A、B，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，余弦函数的图象的对称性．函数yAsin(x)的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．

22．已知函数f(x)3sinx2cos21． （Ⅰ）若f()23f()，求tan的值；

6x2（Ⅱ）若函数f(x)图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍得函数g(x)的图象，且关于x的方程g(x)m0在[0,]上有解，求m的取值范围．

212【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换，化简f(x)的解析式，根据条件，求得tan的值．

（Ⅱ）根据函数yAsin(x)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得g(x)的范围，可得m的范围． 【解答】解：（Ⅰ）

f(x)3sinx2cos2x13sinxcosx2sin(x)， 26f()23f()，sin()23sin，

66313． sincos23sin，即33sincos，tan2291（Ⅱ）把f(x)图象上所有点横坐标变为原来的倍得到函数g(x)的图象，

2

所以函数g(x)的解析式为g(x)f(2x)2sin(2x)，

6关于x的方程g(x)m0在[0,]上有解，

2等价于求g(x)在[0,]上的值域，

2因为0x2，所以62x65， 6所以1g(x)2，故m的取值范围为[1，2]．

【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数yAsin(x)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．