资本资产定价:风险条件下的市场均衡理论
威廉.夏普
Ⅰ引言
人们在试图预测资本市场行为时受阻，问题之一是没有一套关于风险条件的积极的微观经济理论。尽管在确定性条件下，我们可以从传统的投资模式中获得许多有用的见解，但是风险在金融交易中的普遍影响已经迫使那些在这一领域工作的人采用价格行为模型，而这些模型只不过是断言。确定均衡纯利率的一个典型的课堂解释之后，通常是这样的断言，以某种方式，市场风险溢价也被确定，资产的价格相应调整，以说明风险的差异。
在图1中示出了一种有用表示, 即在这样的讨论中暗示的资本市场的观点。在均衡中，资本资产价格进行了调整，使得投资者如果遵循合理的程序（主要是多元化），能够沿资本市场线达到任何期望的点。他只能通过招致额外的风险才能获得他持有的更高的期望回报率。实际上，市场给他两种价格：时间价格或纯利率（以横轴线与线的交点表示）和风险价格，每单位风险承担的额外预期回报线的斜率的倒数）。
*许多人对本文的早期版本提出了意见，导致了阐述的重大改进。作者希望对除了裁判以外最有帮助的教授表示感谢。加利福尼亚大学洛杉矶分校的Jack Hirshleifer教授和华盛顿大学的Yoram Barzel教授，George Brabb教授，Bruce Johnson教授，Walter Oi教授和R. Haney Scott教授。
1. 虽然一些讨论也与非线性（但单调）曲线一致。
目前，没有任何理论描述风险价格产生于投资者偏好的基本影响，资本资产的物理属性等的方式。此外，由于缺乏这样的理论，很难对单一资产的价格与其风险之间的关系给出任何真正的意义。通过多元化，可以避免资产中的一些固有风险，使其总风险显然不会对其价格产生相关影响;不幸的是，对于与之相关的特定风险组成部分，一直没有提及。
Capital market line 资本市场线 Pure interest rate 纯利率 Expected rate of return 预期回报率
在过去十年中，一些经济学家已经开发了标准模型，处理在风险条件下的资产选择。Markowitz在Von Neumann和Morgenstern之后开发了一个基于预期效用指标的分析，并提
出了投资组合选择问题的一般解决方案。Tobin表明，在某些条件下，Markowitz的模型意味着投资选择的过程可以分为两个阶段：第一，选择独特的风险资产的最佳组合; 第二，关于这种组合与单一无风险资金之间的资金分配的单独选择。
2.Harry M. Markowitz，投资组合选择，投资多元化的高效（纽约：John Wiley和Sons，公司，1999）。该
理论的主要元素首先出现在他的文章“投资组合选择”，“财经杂志”（1952年3月），77-91 3.James Tobin，“流动性偏好作为行为的风险，”经济学研究评论，（1958年2月），65-86。
最近，Hicks使用了类似于托宾提出的模型，得出了关于个人投资者行为的相应结论，更明确地处理了投资选择过程可以被二分的条件的性质。对这一过程的更详细的讨论，包括在彩票选择的上下文中的严格证明已经由Gordon和Gangolli提出。 虽然所有引用的作者使用几乎相同的投资者行为模型，但没有人试图将其扩展到在风险条件下构建资产价格的市场均衡理论。我们将展示这样的扩展提供了一个与上述传统金融理论的断言一致的应用的理论。此外，它揭示了资产价格与总体风险的各种组成部分之间的关系。由于这些原因，它需要考虑作为确定资本资产价格的模型。 第二部分提供了风险条件下个人投资者行为的模型。在第三部分，考虑资本市场的均衡条件，并得出资本市场线。第四部分描述了个人资本资产价格与风险各个组成部分之间关系的影响。
Ⅱ.个人优选投资政策
投资者的偏好功能
假设个人观察任何投资的概率条件的结果; 也就是说，他认为在一些概率分布的可能结果。然而，他愿意基于这个分布的两个参数 - 它的预期值和标准偏差来行动。这可以由以下形式的总效用函数表示：
4.John R. Hicks，“流动性”，经济杂志，（1962年12月），797-802
5.M.J.Gordon和Ramesh Gangolli，“彩票上的选择和规模类型替代“罗彻斯特大学工商管理学院，1962年。关于这种关系的另一个讨论，见WF Sharpe，“一个关于相关讨论的简化模型可以在F.Modigliani和MHMiller中找到，”资本成本，公司财务和投资理论“，美国经济评论(1958年6月），261-297
6. 最近Hirshleifer建议，引用的文章中使用的均值方差方法最好被认为是一个更一般的公式的特殊情况，这是由于Arrow的“Le Role des Valeurs Boursieres pour Ia Repartition la Meilleure des Risques”，国际学术讨论会计量经济学，1952。
7.撰写本文后，笔者了解到，Arthur D. Little，Inc的Jack L. Treynor先生已经独立开发了一个在许多方面类似于此处所述的模型。不幸的是，Treynor先生关于这个问题的出色工作目前尚未发表。
其中Ew表示预期未来财富，σw表示实际未来财富与Ew的可能偏差的预测标准偏差。 投资者被认为倾向于将较高的期望未来财富提高到较低的价值（Du / d Ew> 0）。此外，他们展示风险厌恶，选择一个投资提供较低的σw值给一个较高的水平，给定Ew的水平（Du / d Ew <0）。这些假设意味着与Ew和σw相关的无差异曲线将是向上倾斜的。
为了简化分析，我们假设投资者已决定将其现有财富的给定金额（Wi）投入投资。让Wt是他的终端财富，R是他的投资回报率：
我们有
这种关系使得可以用R表示投资者的效用，因为终端财富与回报率直接相关：
图2总结了无差异曲线族中投资者偏好的模型; 连续的曲线表示当向下/向右移动时较高的效用水平。 8.在某些条件下，平均方差方法可以显示导致不令人满意的行为预测。Markowitz建议，基于半方差（低于均值的平方偏差的平均值）的模型将是更可取的; 然而，鉴于强大的计算问题，他的分析基于方差和标准差。
9. 虽然只需要这些特性进行分析，但通常假设曲线具有减小Ew和σw之间的边际替代率的性质，如我们的图中那些。
10. 这样的无差异曲线也可以通过假设投资者希望最大化预期效用并且他的总效用可以由具有递减边际效用的R的二次函数表示来导出。马克维茨和托宾都提出了这种推导。Donald E. Farrar在“不确定性下的投资决策”（Prentice-Hall，1962）中使用了类似的方法。不幸的是，Farrar在他的推导中犯了一个错误; 他呼吁Von-Neumann-Morgenstern基数效用公理转换形式的函数： 成一种形式：
这种变换与公理不一致真的可以在这种形式中看到，因为第一个方程意味着在ER中的非线性无差异曲线，σR2.Plane，而第二个意味着线性关系。 显然，没有三个（不同的）点可以位于线和非线性曲线（具有单调导数）上。 因此，这两个函数必须暗示至少在某些情况下的替代选择之间的不同排序。
投资机会曲线
投资者行为模型认为投资者从一组最大化其效用的投资机会中进行选择。 对他可用的每个投资计划可以由ER中的点表示，σR平面。 如果所有这样的计划都涉及一些风险，则由这样的点组成的区域将具有类似于图2所示的外观。投资者将从所有可能的计划中选择一个将他置于表示最高效用水平的无差异曲线 点F）。 该决定可以分为两个阶段：首先，找到集合。 如果（并且只有）没有替代方案，（1）相同的ER和较低的σR，（2）相同的σR，以及较高的ER和较低的σR，则计划被认为是有效的。 因此，投资Z是低效的，因为投资B，C，D（尤其是）占主导地位。 唯一需要选择的计划必须沿着右下方的边界（AFBDCX） - 投资机会曲线。
为了理解这条曲线的性质，考虑两个投资计划--- A和B，每个包括一个或多个资产。 他们的预期期望值和回报率的标准偏差如图3所示。
如果将个人财富按一定比例划分为α和1-α，将占比为α份额的财富投资于计划A,将剩下的1-α份额投资于计划B，则该组合的期望报酬率将会处于分别投资A、B计划所取得的期望报酬之间：
该组合收益的预期标准差为：
注意该关系式包含rab，表示这两种投资计划预期报酬率之间的相关系数。+1值表明该投资者相信这两种投资成果之间存在一种显著的正相关关系，0值表明他们之间是完全独立的，-1值表明他们之间有显著的负相关关系。在一般情况下，rab会介于0到+1之间。
图三显示出在r的两种不同假设下，A和B不同组合可能获得的ERC和σRC的值。如果这两种投资完全相关，则组合将会在两点之间形成一条直线，在这种情况下ERC和σRC都将与这两种计划的投资比例呈线性相关11。如果它们不是完全正相关，任何组合的标准偏差必须小于用完全相关获得的标准偏差（因为rab将较小）。因此，组合必须沿着线AB下方的曲线12。 AZB示出了完全独立的情况下的这种曲线（rab = 0）。具有负相关性的轨迹甚至更U形13。形成投资机会曲线的方式在概念上相对简单，但是精确的解决方案通常是相当困难的14。首先跟踪指示E，σ值的曲线，其具有单个资产的简单组合，然后考虑资产组合的组RR
合。右下边界必须是线性或增加速率（d2σR / DE2R> 0）。如前所述，个别资产的特征与投资机会曲线的位置之间的关系的复杂性使得难以提供用于评估个别资产的合意性的简单规则，因为资产对投资者的影响 整体投资机会曲线不仅取决于其预期收益率（ERi）和风险（QRi），
而且还取决于其与其他可用机会（ri1，ri2，`````，rin）的相关性。然而，这种规则是由模型的平衡条件所强加的，我们将在第四部分中说明。 纯利率
我们还没有处理无风险资产。假设P是这样的资产; 其风险为零（σRP = 0），其预期回报率ERP等于（按定义）纯利率。
11．
但是rab=1，因此可以将平方根符号下的表达式分解：
12.这种曲率本质上是多样化的理由。
13.当rab=0, 曲线在A点的斜率是条直线到水平轴上的点。
，在B点是。当rab=-1时，曲线退化为两
14.马克维茨已经表明这是参数二次规划中的问题。在他的文章《对线性约束的二次函数的优化》中描述了一种有效的解决方案技术，《海军研究物流季刊》。一种特殊情况的解决方法在作者的《用于投资组合分析的简化模型》提出。
如果投资者将他的财富放在P中，剩余部分投资在某些风险资产A中，他将获得预期回报率：
这种组合的标准偏差将是：
但由于σRP= 0，这样可减少到：
这意味着涉及任何风险资产或资产组合加上无风险资产的所有组合必须具有沿表示两个分量的点之间的直线的ERC和QRC的值。因此，在图4中，沿着线PA的ER和σR的所有组合可以获得，如果一些货币以纯利率借出，一些放在A中。类似地，通过以纯利率贷款并投资于B，可以获得沿PB的组合。然而，在所有这些可能性中，将主导：投资计划位于原始投资机会曲线的点，其中来自点P的射线与曲线相切。在图4中，沿着从X到Φ的原始曲线的所有投资由纯利率的投资和贷款的某种组合支配。
接下来考虑借用的可能性。 如果投资者可以以纯利率借款，这相当于在P中取消投资。借贷购买更多的任何给定投资的效果比可能与给定数量的财富的效果可以简单地通过让负取 在贷款情况下得出的方程中的值。如果借款用于购买更多的A，这显然将给出沿着线PA的延伸的点; 如果资金用于购买B等，沿PB的延伸的点。
然而，在贷款的情况下，一个投资计划将支配所有其他的，当借款是可能的。 当资金可以借入的利率等于贷款利率时，如果贷款要发生，这个计划将是相同的。在这些条件下，投资机会曲线变为一条线。 此外，如果原始投资机会曲线在点Φ处不是线性的，则投资选择的过程可以被二分法如下：首先选择风险资产（点Φ）的（唯一）最优组合，以及第二次借用或借出，以获得PZ上无差异曲线与线相切的特定点15。在进行分析之前，考虑替代假设可能是有用的，在该假设下，只有位于原始投资机会曲线和来自P的射线之间的切点处的资产的组合可以是有效的。即使借款是不可能的，如果投资者的风险厌恶导致他在线PΦ上的点低于Φ，投资者将选择Φ（和借贷）。由于大量投资者选择将他们的一些资金放在相对无风险的投资，这不是不太可能的可能性。 或者，如果借款是可能的，但只有一些限制,Φ的选择将由除了那些愿意承担相当大的风险的投资者之外做出。这些替代路径导致主要结论，从而使得纯利率下的借款或贷款的假设比起初看起来更不繁重。 III 资本市场的均衡
为了得出资本市场均衡的条件，我们引用两个假设。 首先，我们假设一个普通的纯利率，所有投资者都能够平等借入或借出资金。第二，我们假设投资者期望的一致性：16假设投资者就各种投资的前景达成一致 - 第二部分中描述的预期值，标准差和相关系数。
15.这个证明首先由托宾提出，其中纯利率为零（现金）。希克斯在可比条件下考虑贷款情况，但不允许借款。 两位作者使用表达为等式的约束来表示其最大化的分析。希克斯的分析假设独立性，从而确保解决方案将不包括风险资产的负面持有；托宾涵盖一般情况，因此他的解决方案通常包括一些资产的负持有。 本文中的讨论基于马科维茨的公式，其中包括对所有资产持有量的非否定性约束。 16. 一个裁判建议的术语
不用说，这些是高度限制性的，毫无疑问是不切实际的假设。然而，由于理论的适当测试不是其假设的现实主义，而是其影响的可接受性，并且由于这些假设暗示作为经典金融理论的主要部分的平衡条件，所以远不清楚这个公式应该是特别是考虑到导致类似结果的替代模型的缺乏。
在这些假设下，给定一些资本资产价格，每个投资者将以相同的方式查看他的替代品。在这种情况下，具有无差异曲线A1至A4所指示的偏好的投资者将试图以纯利率借出他的一些资金，并将余数投资在由点Φ表示的资产组合中。因为这将给他优选的全部位置A *。 具有由曲线B1到B4所指示的偏好的投资者将寻求将所有他的资金组合投资，而具有无差异曲线C1到C4的投资者将投资所有他的资金加上组合Φ中的额外（借入）资金，以便到
达他的首选位置（C *）。在任何情况下，所有人都将试图仅购买进入组合Φ的风险资产。
投资者们对组合Ø中资产的购买以及对持有组合外其他资产兴趣的缺乏毫无疑问会导致这些资产价格的调整。这些资产的价格将会上升，同时，由于资产的期望回报与其未来的收益与现在的价格相关，因此，它们的预期收益将会减少。这将会导致投资组合，包括其中的那些资产对投资者的吸引力减少；点Ø移动到原来位置的左边。在另一方面，不在组合Ø里的资产价格将会下降，其预期收益也将增加，表示包括这些资产投资组合的点将会右移。这些价格的改变会导致投资者行为的变化；一些新的投资组合会受到投资者的注意，从而导致新的需求以及资产价格进一步的变动。随着这个过程的持续，投资机会曲线会变得更加具有线性，代表投资组合Ø的点向左移动，而先前一些没有意义的点比如F和G将会向右移动。
直到所有资产都至少包括在资本市场线上的一个投资组合中，这些资产价格可以确定前，资本资产的价格都会持续改变。图6阐述了这样一个平衡关系。在阴影部分的所有投资机会都可以通过风险资产组合获取，则在线PZ上的点可以通过以纯利率借入或贷出资金和投资某些风险资产组合。任何机会(在线PZ点A到点B间）都可以以同样的方式获得。例如，点A表示的ER，σR的价值可以由一些风险资产组合单独获得；同样，也可以通过贷出和投资风险资产组合获得。
图6中的许多可替代的风险资产组合都是有意义的（在线PZ),认识到这一点十分重要。因此，论文并没有表示所有的投资者都持有着同样的资产组合。但在另一方面，由于这些组合都在一样的区域中，他们之间都有着一定的联系。这对研究资本资产的价格与不同类型的风险之间具有重要意义。
17.如果投资者认为未来的收益与现在的价格无关，点ER，σR都会下降，在这种情况下，代表资产未来收益的点会沿着其现在价格变动的起点引出的射线移动。
18.仅仅通过风险资产获取的表示ER，σR的价值的区域已经在图6中水平轴上距离原点一定距离表示出来。更精确的表示也可能使其离原点更近。
19.这种说法和Tobin的结论相矛盾，即存在独特的最优风险资产组合。如果连接点ER，
σR的线将不经过点P，那么Tobin的结论可以被证明是不正确的。在本文第83页的图中，在这种情况下，恒定风险轨迹将从一系列椭圆退化为平行于恒定返回轨迹的直线之一，从而给出多个最优。
资本资产的价格
我们认为在均衡中，有效风险资产组合的期望收益和回报标准差之间存在简单的线性关系。因此到目前为止，关于资产之间这样的关系还没有被谈到过。通常与单一资产相关的 ER，σR值位于资本市场线的上方，反映了非多样化持有资产的低效率。此外，可以散布在整个可行区域中，它们的预期收益与风险之间不具有一致的关系。然而，它们的预期收益和系统风险之间将存在一致的关系，如我们现在所示。
图7示出了单个资本资产（点i）与其作为其一部分的资产（点g）的有效组合之间的典型关系。曲线igg'表示可以用资产i和（1-α）的组合g的可能组合获得的所有ER，σR值。曲线igg'表示可以用资产i和组合g的可行组合获得的所有ER，σR值。如前所述，我们根据资产i的比例α和组合g（1-α）的比率α来表示这样的组合。α= 1表示资产i的纯投资，而α= 0表示投资于组合g。 然而，注意，α= 0.5意味着资产i中的资金总额的一半以上的总投资，因为一半将投资于i本身，另一个用于购买组合g，其还包括一些资产i。这意味着其中完全不出现的资产i中的组合必须由α的一些负值表示。
在图7中，曲线igg'在点g处与资本市场线（PZ）相切。 这不是巧合。 所有这些曲线必须与平衡中的资本市场线相切，因为他们必须与表示有效组合的点相接触，并且它们在该点是连续的。在这些条件下，不相切将意味着曲线与PZ相交。然后，一些可行的资产组合将位于资本市场线的右边，这是一个明显的不可能性，因为资本市场线代表的可行值 ER，σR的有效边界。
21、只有当rlg = -1时，曲线在所讨论的范围上是不连续的。
igg'曲线与资本市场线相切的曲线的要求可以表示为导致一个相对简单的公式，其将组合中包含的所有资产的预期回报率与各种风险因素相关联。如果资产i的回报率与组合g的回报率之间的关系以与回归分析中使用的方式类似的方式被观察，则其经济意义可以最好地被看出。试想一下，我们得到了许多的关于两项投资的收益（事后）的意见。点可能如图8所示。Ri观察值围绕其均值的散布（其将近似ER1），当然，是资产σRi的总风险的证据。但分散的部分是由于与组合克返回，由B1g，回归线的斜率示出的基本关系。Ri对Rg变化（以及Rg本身的变化）的响应解释了Ri中的大部分变化。这是资产总风险的组成部分，我们称之为系统风险。余数与Rg不相关，是非系统风险。Ri和Rg之间的关系的这种表达式可以事先用作预测模型。B1g变成Ri对Rg变化的预测响应。然后，给定σRg（Rg的预测风险），可以确定每个资产的预测风险的系统部分。
这个模型被称为对角模型，因为其组合分析解可以通过重新排列数据来促进，使得方差协方差矩阵变成对角线。 该方法在前面引用的作者文章中描述。
这种解释允许我们用如图9所示的形式表示从曲线如igg'的切线与资本市场线的关系。进入有效组合g的所有资产必须具有（预测）位于线上的B1g和ER1值 PQ。
24. 事后，标准错误：
25.
右边的表达式是脚注22中最后一个方程式左边的表达式。因此：
图9所示的关系提供了对先前提出的关于资产风险与其预期收益之间的关系的问题的部分答案。 但到目前为止，我们仅仅认为这种关系适用于进入某种特定有效组合的资产（g）。 如果选择了另一个组合，则将导出不同的线性关系。 幸运的是，这个限制很容易克服。 如脚注26所示，我们可以任意选择任一有效组合，然后测量每个资产的回报率对所选组合的回报率的预测响应度; 并且这些系数将与图9中所示的方式的资产的预期回报率相关。
26. 考虑两个资产i和i *，前者包括在有效组合g中，后者在组合g *中。 如上图所示：
来自所有有效组合的回报率将是完全相关的事实提供了用于任意地选择它们中的任何一个的理由。 或者，我们可以选择与这种组合的回报率完全相关的任何变量。 图9中的垂直轴线将指示测量资本资产的回报率对所选变量的变化的敏感性的系数的替代水平。
这种可能性暗示了所有有效组合将完全相关的暗示，以及对单个资产的预期回报与其风险之间的关系的有用解释。虽然理论本身仅仅暗示高效组合的回报率将完全相关，但我们可以预期，这将是由于它们对整体经济活动水平的共同依赖。如果是这样，多元化使投资者能够逃脱所有经济活动的风险，这种类型的风险甚至在有效的组合中仍然存在。而且，由于所有其他类型都可以通过多元化来避免，只有资产的回报率对经济活动水平的响应与评估其风险相关。价格将进行调整，直到这种反应的程度与预期回报之间存在线性关系。不受经济活动变化影响的资产将承诺适当提高预期回报率。
这个讨论提供了对本文中提出的两个问题中的第二个的答案。 在第三部分中，表明对于作为一个整体的资本市场的均衡条件，理论导致结果与古典原则（即资本市场线）一致。 我们现在已经表明，对于单独考虑的资本资产，它也产生与传统概念一致的影响：投资顾问通常接受来自防御性证券（对经济变化的响应不大的预期回报）的预期回报低于他们需要积极的证券（表现出显着的反应）。 如前所述，对影响的熟悉程度不必被视为一个缺点。 为生产传统金融理论的一些主要内容提供一个逻辑框架应该是其自身权利的有益贡献。
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容