单自由度体系列运动方程习题

1.1-1.3 根据刚度的基本定义，确定图P1.1至P1.3中所示的弹簧—质量系统中组合弹簧的有效刚度，并写出运动方程。

图P1.1 图P1.2

图P1.3

1.4 图P1.4所示的单摆由一个可绕O点转动的无质量刚性杆和在其端部的质量m组成。推导控制单摆自由运动的方程，对于微幅振动，将运动方程线性化，并求其固有频率。

图P1.4

1.5 考虑xy平面内复摆的自由运动，复摆由一个刚性杆悬挂于一个点组成(图P1.5)。杆长为L，质量为m，沿杆长均匀分布，宽度为b，厚度为t。摆中心线从y轴开始量测的角位移记为(t)。

(a) 推导控制t的方程； (b) 对微小的，将方程线性化； (c) 确定微幅振动时的固有频率。

图P1.5 图P1.6

1.6 对图P1.6所示体系重复问题1.5，所不同的只有一点：杆件的宽度从O点的0变化到自由端的b。

1.7 建立图P1.7所示体系控制竖向运动的方程。杆件由弹性模量为E的弹性材料制造，横截面面积为A，长度为L。忽略杆件质量，位移u从静平衡位置开始量测。

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图P1.7

1.8 一个质量为m的刚性圆盘装在一个弹性轴的一端(图P1.8)。不计轴的重量和阻尼，推导圆盘扭转自由振动方程。轴的剪切模量(刚性的)为G。

图P1.8

1.9-1.11 写出图P1.9至P1.11所示体系控制自由振动的方程。假设梁无质量，长为L，弯曲刚度为EI，每个体系均有一个自由度（定义为在重物w作用下的竖向变形）。

图P1.9 图P1.10

图P1.11

1.12 重物w悬挂在简支梁跨中的一个弹簧上（图P1.12），梁长为L，弯曲刚度为EI，弹簧刚度为k，假定梁无质量，试求其固有频率。

图P1.12

1.13 推导图P1.13所示框架的运动方程。梁和柱的弯曲刚度如图标注。梁上所集中的质量为m，且假设框架无质量并忽略阻尼。通过将结果与式(1.3.2)的比较，评价基础刚性的影响。

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图P1.13

1.14 写出如图P1.14所示单层单跨框架的运动方程，梁和柱的弯曲刚度如图标注。梁上所集中的质量为m，且假设框架无质量并忽略阻尼。将此运动方程与例题1.1的结果比较，评价基础刚性的影响。

图P1.14

1.15-1.16 写出图P1.15和图P1.16所示单层单跨框架的运动方程。梁和柱的弯曲刚度如图标注，梁上所集中的质量为m，且假设框架无质量并忽略阻尼。对照式(1.3.5)检查习题1.15的结果，通过两个运动方程的比较评价基础刚性的影响。

图P1.15 图P1.16

1.17 一个重量为w的重型刚性平台由四个上下端均为铰接的柱子支撑，每个侧面用两根钢丝绳对角斜向拉紧，如图P1.17所示。每根钢丝绳预张到高应力，其横截面面积为A，弹性模量为E。忽略柱与绳的质量，推导控制自由振动的运动方程：(a)沿x方向；(b)沿y方向。（提示：由于高预张力，所有钢丝绳均对结构刚度有贡献，与例题1.2不同，这里受压的支撑不提供刚度。）

图P1.17

1.18 推导图P1.17所示体系绕通过平板中心的竖轴控制扭转振动的运动方程。

1.19 将汽车粗略地理想化为一个集中质量支撑在一个弹簧—阻尼器系统上，如图P1.19所示。汽车以恒定不变的速度v通过路面，已知路面的粗糙度为沿路所在位置的一个函数。推导运动方程。

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图P1.19

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