laplace方程极坐标形式的推导
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发布时间：2024-10-23 21:53
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时间：2024-11-22 00:46
用极坐标、直角坐标变换公式+拉普拉斯方程得来。
推倒过程如下：
u''xx+u''yy=0
x=ρcosα，y=ρsinα
?u/?ρ=?u/?x.?x/?ρ+?u/?y.?y/?ρ=u'x.cosα+u'y.sinα
?2u/?ρ2=cosα(u''xx.x'ρ+u''xy.y'ρ)+sinα(u''yy.y'ρ+u''yx.x'ρ)
=cosα(u''xx.cosα+u''xy.sinα)+sinα(u''yy.sinα+u''yx.cosα)
=u''xx.cos2α+2u''xy.sinαcosα+u''yy.sin2α
ρ2?2u/?ρ2=ρ2u''xx.cos2α+2ρ2u''xy.sinαcosα+ρ2u''yy.sin2α.....（1）
?u/?α=?u/?x.?x/?α+?u/?y.?y/?α=u'x.（-ρsinα）+u'y.ρcosα
?2u/?α2=（-ρsinα）（u''xx.x'α+u''xy.y'α）+ρcosα(u''yx.x'α+u''yy.y'α)-u'x.（ρcosα）-u'y.ρsinα
=（-ρsinα）（u''xx.（-ρsinα）+u''xy.ρcosα）+ρcosα(u''yx.（-ρsinα）+u''yy.ρcosα)-ρ[u'x.cosα+u'y.sinα]
=（-ρsinα）（u''xx.（-ρsinα）+u''xy.ρcosα）+ρcosα(u''yx.（-ρsinα）+u''yy.ρcosα)-ρ?u/?ρ
=ρ2sin2αu''xx-2ρ2u''xysinαcosα+ρ2u''yy.cos2α-ρ?u/?ρ.........（2）（1）+（2）
ρ2?2u/?ρ2+?2u/?α2=ρ2u''xx（cos2α+sin2α）+ρ2u''yy.（cos2α+sin2α）+2ρ2u''xy.sinαcosα-2ρ2u''xysinαcosα-ρ?u/?ρ
=ρ2u''xx+ρ2u''yy-ρ?u/?ρ
=ρ2（u''xx+u''yy）-ρ?u/?ρ
=-ρ?u/?ρ
ρ2?2u/?ρ2+?2u/?α2+ρ?u/?ρ=0
?2u/?ρ2+(1/ρ2)?2u/?α2+(1/ρ)?u/?ρ=0
基本概述
一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。
通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。
若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：
式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。
在数理方程中
拉普拉斯方程为：
其中?2为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ：
其中?2称为拉普拉斯算子。
拉普拉斯方程的解称为调和函数。
如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即：
则该方程称为泊松方程。 拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子
（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian
